第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末總結(jié)提升課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末總結(jié)提升北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引

知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升易錯易混·銜接高考知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在與切線方程相關(guān)的問題,是高考的熱點內(nèi)容之一,呈現(xiàn)形式為選擇、填空、解答,一般中等難度.2.導(dǎo)數(shù)幾何意義考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算和直觀想象.D規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵是找到切點,若切點未知需設(shè)出.常見的類型有兩種:一類是求“在某點處的切線方程”,此點一定為切點,易求斜率進而寫出直線方程;另一類是求“過某點的切線方程”,點(x0,y0)不一定是切點,可先設(shè)切點為Q(x1,y1),由

=f'(x1)和y1=f(x1),求出x1,y1的值,再轉(zhuǎn)化為第一種類型.變式訓(xùn)練1過點(0,-1)作曲線f()=ln

x(x>0)的切線,則切點坐標(biāo)為

.

專題二函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題1.函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值是函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考的熱點,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是研究此類問題的根本.2.掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,重點提升數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng),運用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.角度1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

已知函數(shù)f(x)=e2x+(1-2m)·ex-mx(m∈R),討論f(x)的單調(diào)性.解

f(x)的定義域為R,f'(x)=2e2x+(1-2m)ex-m=(2ex+1)(ex-m),∴當(dāng)m≤0時,f'(x)>0,即f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)m>0時,令f'(x)=0,解得x=ln

m,∴在區(qū)間(-∞,ln

m)上,f'(x)<0,在區(qū)間(ln

m,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)在區(qū)間(-∞,ln

m)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln

m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)m≤0時,f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)m>0時,f(x)在區(qū)間(-∞,ln

m)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln

m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為解不等式問題,常見的有解二次不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式.當(dāng)解含參不等式時需要進行分類討論,注意要做到不重不漏.變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2ln

x.(1)若a=1,求f(x)在(1,0)處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.①當(dāng)Δ≤0,即-4≤a≤4時,p(x)≥0,即f'(x)≥0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.②當(dāng)Δ>0,即a<-4或a>4時,當(dāng)a<-4時,p(0)=2,則p(x)>0,即f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.由f'(x)>0,即p(x)>0,得0<x<x1或x>x2;由f'(x)<0,即p(x)<0,得x1<x<x2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x1),(x2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(x1,x2).綜上所述,當(dāng)a≤4時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間;角度2.構(gòu)造法的應(yīng)用【例3】

已知定義在(0,)內(nèi)的函數(shù)f(x),f'(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有sin

x·f'(x)>cosx·f(x)成立,則(

)D【例4】

已知定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f(x)>f'(x),且f(0)=2,則不等式f(x)<2ex的解集為(

)A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞)C∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在定義域上為減函數(shù).∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,則不等式等價于g(x)<g(0).∵函數(shù)g(x)為減函數(shù),∴x>0,∴不等式f(x)<2ex的解集為(0,+∞),故選C.規(guī)律方法

導(dǎo)數(shù)問題中的構(gòu)造方法主要用于解決比較函數(shù)值大小或求解不等式.解決比較函數(shù)值大小的題目關(guān)鍵是構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用單調(diào)性進而確定函數(shù)值的大小;對于求解不等式則需構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)并判斷其單調(diào)性,利用單調(diào)性求解不等式.變式訓(xùn)練3已知定義域為R的奇函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f'(x),當(dāng)x≠0時,,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是(

)A.a<c<b B.b<c<aC.a<b<c D.c<a<bB解析

令g(x)=xf(x),則g(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函數(shù).g'(x)=f(x)+xf'(x),專題三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【例5】

設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln

x-x+a,a∈R.(1)設(shè)g(x)=f'(x),求函數(shù)g(x)的極值;(2)若a≥,試討論函數(shù)f(x)=(x+a)ln

x-x+a的零點個數(shù).解

(1)∵f(x)=(x+a)ln

x-x+a,a∈R,∴g(x)=f'(x)=ln

x+,定義域為(0,+∞).①當(dāng)a≤0時,g'(x)>0恒成立,g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,無極值.②當(dāng)a>0時,令g'(x)=0,解得x=a,∴當(dāng)x∈(0,a)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(a,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴g(x)的極小值g(a)=ln

a+1,無極大值.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的證明及函數(shù)的零點的求解與證明時,注意運用構(gòu)造函數(shù)和轉(zhuǎn)化思想,確定零點個數(shù)時多用零點存在定理.變式訓(xùn)練5[2024山東濰坊期末]已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-2lnx(a>0),f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x).(1)當(dāng)a=1時,解不等式f(x)>ex;(2)判斷f'(x)的零點個數(shù);(3)證明:f(x)≥4+a2+ln.令g(x)=axex-2(x>0),又a>0,則g'(x)=a(x+1)ex>0,所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有且只有一個零點x0.

專題四導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用1.利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題,多考查實際問題中的最優(yōu)解問題,主要體現(xiàn)在“多”“快”“好”“省”幾個方面,根據(jù)題目的情境建立函數(shù)模型是關(guān)鍵.2.利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模.【例6】

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.解

(1)因為蓄水池側(cè)面的建造成本為100·2πrh=200πrh(元),底面的建造成本為160πr2,所以蓄水池的總建造成本為(200πrh+160πr2)元,令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).當(dāng)r∈(0,5)時,V'(r)>0,故V(r)在區(qū)間(0,5)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)r∈(5,5)時,V'(r)<0,故V(r)在區(qū)間(5,5)內(nèi)單調(diào)遞減.由此可知,V(r)在r=5處取得極大值也為最大值,此時h=8,即當(dāng)r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大.規(guī)律方法

1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意,建立函數(shù)模型.由于是實際問題,要注意根據(jù)問題實際確定函數(shù)的定義域.2.根據(jù)所建立的函數(shù)模型,用導(dǎo)數(shù)求最大、最小值.變式訓(xùn)練6如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得點D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時,所得三棱錐的體積最大為

cm3.

易錯易混·銜接高考12345671.[2024全國新高考卷Ⅱ,6]設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(a為常數(shù)),當(dāng)x∈(-1,1)時,曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個交點,則a=(

)A.-1 B.

C.1 D.2D(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos

x.又x∈(-1,1),h(x)為偶函數(shù),唯一零點只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故選D.123456712345672.[2024安徽宣城模擬]已知實數(shù)a,b分別滿足ln(a+1)=0.01,eb=1.01,且則(

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.b<a<cC12345671234567B.f(x)有兩個不同的零點C.f(4)<f(π)<f(3)D.π4<4πAC1234567解析

對于A,f(x)的定義域為(0,+∞),且f'(x)=,令f'(x)<0,得x>e,令f'(x)>0,得0<x<e.所以f(x)在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)在x=e處取得極大值f(e)=,故A正確;對于B,令f(x)=0,解得x=1,又當(dāng)x>1時,f(x)>0,所以函數(shù)f(x)有且僅有一個零點,故B錯誤;對于C,由f(x)在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,得f(4)<f(π)<f(3),故C正確;對于D,因為f(4)<f(π),即所以ln

4π<ln

π4,則4π<π4,D錯誤.故選AC.12345674.(多選題)[2024河北邢臺二模]若關(guān)于x的不等式ex-2+x≥2ax2-xlnx在(0,+∞)內(nèi)恒成立,則實數(shù)a的值可以是(

)AB1234567令h(t)=et-t-1,h'(t)=et-1,故當(dāng)t∈(-∞,0)時,h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減,當(dāng)t∈(0,+∞)時,h'(t)>0,h(t)單調(diào)遞增,故h(t)≥h(0)=0,故ex-2-ln

x+1-x+ln

x≥0,則不等式成立;當(dāng)a>時,令u(x)=x-2-ln

x,因為u(1)=-1<0,u(4)=2-2ln

2>0,故u(x)在(1,4)內(nèi)必有零點,設(shè)為x0,故選AB.12345675.[2024廣東惠州檢測]設(shè)滿足方程(2alna-b)2+(c2-mc+3+d)2=0的點(a,b),(c,d)的運動軌跡分別為曲線M,N,若在區(qū)間

上,曲線M,N有兩個交點(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)m的最大值為

.

1234567解析

∵(2aln

a-b)2+(c2-mc+3+d)2=0,∴2aln

a-b=0,c2-mc+3+d=0.123456712345676.[2024全國新高考卷Ⅰ,18]已知函數(shù)f(x)=+ax+b(x-1)3.(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;(2)證明:曲線y=f(x)是中心對稱圖形;(3)若f(x)>-2,當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2,求b的取值范圍.12345671234567(2)證明∵f(2-x)=ln(2-x)-ln

x+a(2-x)+b(1-x)3,∴f(2-x)+f(x)=2a,∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,a)對稱.故曲線y=f(x)是中心對稱圖形.(3)解

由(2)知,f(x)的圖象關(guān)于點(1,a)對稱.若f(x)>-2,當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2,則f(1)=-2,∴a=-2.1234567123456712345677.[202