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1.2空間向量基本定理安徽淮南第四中學(xué)2024.7教學(xué)目標:教學(xué)重點:教學(xué)難點:會用基底表示空間向量.1.理解空間向量基本定理及其意義并會簡單應(yīng)用;2.會用基底表示空間向量;3.會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題.會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題.情境導(dǎo)入
我們學(xué)過的平面向量基本定理,可以概括為給出一個二維的基底可以生成平面中所有的向量;推廣到三維空間,仍然為給出一個三維的基底,可以生成空間中的所有向量.當(dāng)基底確定后,空間向量基本定理中實數(shù)組(x,y,z)是否唯一?知識點一
空間向量基本定理如圖,已知正方體ABCD
-A1B1C1D1的棱長為a,在AB,AD,AA1上分別取單位向量CDA1B1C1D1AB共面嗎?不共面.可不可以用
表示向量
?若能,如何表示?1.定理三個不共面的向量
和任意一個空間向量存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得2.基底三個向量
不共面,那么
叫做空間的一個基底,
都叫做基向量
.①基底中不能有零向量;②空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示,不同基底下,同一向量的表達式也有可能不同.知識點二空間向量的正交分解1.單位正交基底特別地,如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長
度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用
表示.2.正交分解把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量
進行正交分解.|i|=|j|=|k|=1.且i·j=j(luò)·k=i·k=0,這是其他一般基底所沒有的.題型一空間向量基本定理的理解此方程組無解,能構(gòu)成空間的一個基底(多選)已知A,B,C,D,E是空間中的五點,且任意三點均
不共線.若
與
均不能構(gòu)成空間的一個基底,則下列結(jié)論中正確的有(
)A.不能構(gòu)成空間的一個基底B.能構(gòu)成空間的一個基底C.不能構(gòu)成空間的一個基底D.能構(gòu)成空間的一個基底很明顯
A
,
B
,
C
,
D
,
E
共面.判斷基底的基本思維要點(1)判斷一組向量能否構(gòu)成空間的一個基底,實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面,若不共面,就可以構(gòu)成一個基底;(2)判斷基底時,常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體,用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的方向向量為基底,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷.題型二利用基底表示空間向量ABCDEFG如圖所示,取
BC
的中點
G
,連接
EG
,F(xiàn)G
,如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,點P在線段AN上,且ABCOMNPCDA1B1C1D1ABEF題型三空間向量基本定理的應(yīng)用例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分別是PA,BC的中點,PD⊥平面ABCD,且PD=AD(1)MN∥平面PCD;ABCDMNP又因為MN?平面PCD,DC,DP?平面PCD,DC∩DP=D,所以MN∥平面PCD.(2)MC⊥DB.ABCDMNP證明平行、垂直問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明直線平行,進一步證明線面平行.(2)將要證的線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,再轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的數(shù)量積為0.
ABCOFE如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA的長為2,且∠PAB=∠PAD=60°,點M是PC的中點,設(shè)(1)求證:ABCDMP(2)求BM的長.因為AB=AD=1,PA=2,所以
因為AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,求空間距離(長度)問題的步驟(1)選取空間基向量,將待求線段對應(yīng)的向量用基向量線性表示;(2)求該向量的模,利用空間向量的數(shù)量積運算求得線段的
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