蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.1全等圖形與全等三角形(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題1.1全等圖形與全等三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】全等圖形的概念與性質(zhì)（1）全等圖形的概念：能夠完全重合的圖形叫做全等圖形；（2）全等圖形的性質(zhì)：兩個(gè)圖形全等，它們的形狀、大小相同.【要點(diǎn)提示】?jī)蓚€(gè)全等圖形的周長(zhǎng)和面積一定相等，但周長(zhǎng)和面積相等的兩個(gè)圖形不一定全等?！局R(shí)點(diǎn)二】全等圖形的概念（1）全等三角形：兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形；（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)元素：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角；兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.【知識(shí)點(diǎn)三】找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.【知識(shí)點(diǎn)四】全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.【要點(diǎn)提示】全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.

【知識(shí)點(diǎn)五】全等變換

（1）全等變換：只改變圖形的位置，而不改變其形狀、大小的變化叫全等變換.（2）幾種常見(jiàn)的全等幾何變換類(lèi)型第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形與全等圖形的識(shí)別【例1】（22-23八年級(jí)上·湖北荊州·階段練習(xí)）沿著圖中的虛線(xiàn)，用兩種方法將下面的圖形劃分為兩個(gè)全等的圖形．

【變式1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【變式2】（20-21七年級(jí)下·福建寧德·期末）在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．沿著圖中的虛線(xiàn)，可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形．在所有的分割方案中，最長(zhǎng)分割線(xiàn)的長(zhǎng)度等于．【題型2】利用全等圖形的性質(zhì)求邊或角【例2】如圖所示，兩個(gè)圖形是全等圖形，試根據(jù)所給的條件，求出兩個(gè)圖形中標(biāo)出的a，b，c，∠α，∠β的值．【變式1】（22-23八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【變式2】（23-24八年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，四邊形與四邊形是全等四邊形，若，，，則．

【題型3】全等三角形及相關(guān)概念的認(rèn)識(shí)【例3】（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知，指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角．

【變式1】（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，，和，和是對(duì)應(yīng)邊，則的對(duì)應(yīng)角是（

）A． B． C． D．【變式2】（22-23八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，已知AB=AC，D為∠BAC的角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接BD，CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的角平分線(xiàn)上的兩點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的角平分線(xiàn)上的三點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次規(guī)律，第5個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是．【題型4】利用全等三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段或角度【例4】（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知，點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)，時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（2）已知，，求的度數(shù)．【變式1】（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）如圖，用兩對(duì)全等的三角形紙片拼成如圖所示的六邊形，，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，，若，則BD的長(zhǎng)為．【題型5】利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例5】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知△，、、在同一直線(xiàn)上，試探究當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系，并證明．【變式1】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，若，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，已知，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）與CF的位置關(guān)系是；（2）若，，則的長(zhǎng)為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．【例2】（2023·四川成都·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線(xiàn)上．若，則的長(zhǎng)為．

2、拓展延伸（動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、分類(lèi)討論思想）【例1】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，在中，，，，為邊上的高，直線(xiàn)上一點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在直線(xiàn)上以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)秒時(shí)，能使與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等．【例2】（23-24七年級(jí)下·江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上以秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線(xiàn)段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使與全等．專(zhuān)題1.1全等圖形與全等三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】全等圖形的概念與性質(zhì)（1）全等圖形的概念：能夠完全重合的圖形叫做全等圖形；（2）全等圖形的性質(zhì)：兩個(gè)圖形全等，它們的形狀、大小相同.【要點(diǎn)提示】?jī)蓚€(gè)全等圖形的周長(zhǎng)和面積一定相等，但周長(zhǎng)和面積相等的兩個(gè)圖形不一定全等?！局R(shí)點(diǎn)二】全等圖形的概念（1）全等三角形：兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形；（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)元素：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角；兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.【知識(shí)點(diǎn)三】找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.【知識(shí)點(diǎn)四】全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.【要點(diǎn)提示】全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.

【知識(shí)點(diǎn)五】全等變換

（1）全等變換：只改變圖形的位置，而不改變其形狀、大小的變化叫全等變換.（2）幾種常見(jiàn)的全等幾何變換類(lèi)型第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形與全等圖形的識(shí)別【例1】（22-23八年級(jí)上·湖北荊州·階段練習(xí)）沿著圖中的虛線(xiàn)，用兩種方法將下面的圖形劃分為兩個(gè)全等的圖形．

【分析】根據(jù)全等圖形的定義：對(duì)應(yīng)邊都相等，對(duì)應(yīng)角都相等的圖形進(jìn)行構(gòu)造即可．解：如圖所示（任意兩種方法，正確即可）：

【點(diǎn)撥】本題考查全等圖形的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【變式1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等圖形的概念進(jìn)而得出答案．解：圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，如圖所示：故選B．【點(diǎn)撥】此題主要考查全等圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟知全等的性質(zhì).【變式2】（20-21七年級(jí)下·福建寧德·期末）在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．沿著圖中的虛線(xiàn)，可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形．在所有的分割方案中，最長(zhǎng)分割線(xiàn)的長(zhǎng)度等于．【答案】7【分析】沿著圖中的虛線(xiàn)，可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形，畫(huà)出所有的分割方案，即可得到最長(zhǎng)分割線(xiàn)的長(zhǎng)度．解：分割方案如圖所示：由圖可得，最長(zhǎng)分割線(xiàn)的長(zhǎng)度等于7．故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等形的性質(zhì).【題型2】利用全等圖形的性質(zhì)求邊或角【例2】如圖所示，兩個(gè)圖形是全等圖形，試根據(jù)所給的條件，求出兩個(gè)圖形中標(biāo)出的a，b，c，∠α，∠β的值．【答案】a＝3，b＝5.4，c＝7,∠α＝105°,∠β＝45°【分析】全等圖形的對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角均相等，據(jù)此進(jìn)行解答.解：根據(jù)全等多邊形的對(duì)應(yīng)角相等有∠α＝105°.又由四邊形的內(nèi)角和，得第四個(gè)角為360°－(120°＋90°＋105°)＝45°，所以∠β＝45°.根據(jù)全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊相等有a＝3，b＝5.4，c＝7.【點(diǎn)撥】本題考查了全等圖形的性質(zhì).【變式1】（22-23八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，可得出，，，進(jìn)而可求解．解：如圖，則，，，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查網(wǎng)格中的全等圖形、三角形的外角性質(zhì)，會(huì)利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和是解答的關(guān)鍵．【變式2】（23-24八年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，四邊形與四邊形是全等四邊形，若，，，則．

【答案】/60度【分析】本題考查了全等多邊形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，先根據(jù)全等圖形的性質(zhì)求得和，再由四邊形的內(nèi)角和求得即可；解：∵全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，∴，，又∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，故答案為：；【題型3】全等三角形及相關(guān)概念的認(rèn)識(shí)【例3】（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知，指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角．

【分析】根據(jù)全等三角形的概念，正確的確定對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角即可．解：∵，∴的對(duì)應(yīng)邊是，的對(duì)應(yīng)邊是，的對(duì)應(yīng)邊是，的對(duì)應(yīng)角是，的對(duì)應(yīng)角是，的對(duì)應(yīng)角是．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的概念．熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的概念，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，，和，和是對(duì)應(yīng)邊，則的對(duì)應(yīng)角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查全等三角形的概念，根據(jù)已知條件，和，和是對(duì)應(yīng)邊，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由此即可得到的對(duì)應(yīng)角，理解其概念是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴∠的對(duì)應(yīng)角是，故選：．【變式2】（22-23八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，已知AB=AC，D為∠BAC的角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接BD，CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的角平分線(xiàn)上的兩點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的角平分線(xiàn)上的三點(diǎn)，連接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次規(guī)律，第5個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是．【答案】15【分析】根據(jù)圖形得出當(dāng)有1點(diǎn)D時(shí)，有1對(duì)全等三角形；當(dāng)有2點(diǎn)D、E時(shí)，有3對(duì)全等三角形；當(dāng)有3點(diǎn)D、E、F時(shí)，有6對(duì)全等三角形；根據(jù)以上結(jié)果得出當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有個(gè)全等三角形，進(jìn)而即可求解．解：當(dāng)有1點(diǎn)D時(shí)，有1對(duì)全等三角形；當(dāng)有2點(diǎn)D、E時(shí)，有3對(duì)全等三角形；當(dāng)有3點(diǎn)D、E、F時(shí)，有6對(duì)全等三角形；當(dāng)有4點(diǎn)時(shí)，有10個(gè)全等三角形；…當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，圖中有個(gè)全等三角形．∴第5個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是：．故答案為：15．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的概念，關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但有一定的難度．【題型4】利用全等三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段或角度【例4】（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知，點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)，時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（2）已知，，求的度數(shù)．【答案】(1)4(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角的性質(zhì)；（1）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形的內(nèi)角和為，即可求解．（1）解：，≌，，故答案為：4；（2）解：，，，．【變式1】（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）如圖，用兩對(duì)全等的三角形紙片拼成如圖所示的六邊形，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】題目主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出，然后進(jìn)行等量代換求解即可，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵解：∵，，∴，∴，故選：B【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，，若，則BD的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【題型5】利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明【例5】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知△，、、在同一直線(xiàn)上，試探究當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系，并證明．【答案】，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，則，進(jìn)而根據(jù)平角的定義，即可得出，即可得證．解：．證明如下：，．，，．，，．【變式1】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，若，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：、∵，∴，原選項(xiàng)成立，不符合題意；、∵，∴，原選項(xiàng)成立，不符合題意；、∵，∴，∴，∴，原選項(xiàng)成立，不符合題意；、∵，∴，原選項(xiàng)不一定成立，符合題意；故選：．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，已知，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）與CF的位置關(guān)系是；（2）若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由，得到，即可得出；（2）由，得到，即可求解．解：（1）∵，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵，，∴，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．【答案】/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．解