蘇科版2024-2025學年八年級數(shù)學上冊1.24 全等三角形（全章重難考點題型分類）（培優(yōu)練）（含答案）

專題1.24全等三角形（全章重難考點題型分類專題）（培優(yōu)練）【考點目錄】【考點1】平移中的全等三角形問題；【考點2】全等三角形中的動點問題；【考點3】全等三角形中的最值問題；【考點4】全等三角形中的折疊問題；【考點5】全等三角形中的旋轉(zhuǎn)問題.單選題【考點1】平移中的全等三角形問題；1．（23-24八年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，正方形的頂點B在直線l上，將直線l向上平移線段的長得到直線m，直線m分別交，于點E，F(xiàn)，若求的周長，則只需知道（

）A．的長 B．的長 C．的長 D．的長2．如圖，已知于點，平分，平移恰好到，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分平分；④．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【考點2】全等三角形中的動點問題；3．（23-24八年級上·河北邢臺·階段練習）題目：“如圖，直線，平分，過點作交于點，且．動點從點出發(fā)，沿射線運動，作，交直線于點．關(guān)于和的關(guān)系，下列說法正確的是（

）A．點只有在線段上運動時，和才相等B．點只有在線段的延長線上時，和才相等C．點在運動過程中，和一直相等D．無法判斷4．（21-22八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，D為x軸正半軸上一點，A為第一象限內(nèi)一動點，且，于M．下列說法正確的是（

）①；②平分；③；④A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④【考點3】全等三角形中的最值問題；5．（23-24八年級上·四川綿陽·期末）如圖，正五邊形中，點是邊的中點，的延長線交于點，點是上一個動點，點是上一個動點，當?shù)闹底钚r，（

）A． B． C． D．6．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖所示，中，，M、N分別為、上動點，且，連、，當最小時，（）．A．2 B． C． D．1【考點4】全等三角形中的折疊問題；7．（21-22八年級上·河南平頂山·期末）勾股定理是一個古老的定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載，數(shù)學家曾建議用圖1作為與“外星人”聯(lián)系的信號．如圖1，以的各邊為邊分別向外作正方形，再把最大的正方形紙片按圖2的方式向上折疊，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（

）A．正方形的面積 B．四邊形的面積C．正方形的面積 D．的面積8．（2022·重慶銅梁·模擬預(yù)測）如圖，在正方形紙片中，點為正方形邊上的一點不與點，點重合，將正方形紙片折疊，使點落在點處，點落在點處，交于點，折痕為，連接、，交于點下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【考點5】全等三角形中的旋轉(zhuǎn)問題.9．（23-24八年級下·海南海口·期中）如圖，點P在的平分線上，且與互補，將繞點P旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；④的長不變，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，兩邊、分別交、于點、，當在內(nèi)繞點旋轉(zhuǎn)時，下列結(jié)論正確的有①EF=AP；

②△EPF為等腰直角三角形；

③AE=CF；

④S四邊形AEPF＝S△ABCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個填空題【考點1】平移中的全等三角形問題；11．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，沿方向平移得到，連接交于F，的面積為3，則的面積為．

12．（21-22八年級下·安徽宿州·期末）如圖，點，，，在一條直線上，若將的邊沿方向平移，平移過程中始終滿足下列條件：，于點，于點，且．則當點，不重合時，與的關(guān)系是．【考點2】全等三角形中的動點問題；13．（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在四邊形中，，．動點P以的速度從點A出發(fā)沿邊向點D勻速移動，動點Q以的速度從點B出發(fā)沿邊向點C勻速移動，動點M從點B出發(fā)沿對角線向點D勻速移動，三點同時出發(fā)．連接，當動點M的速度為時，存在某個時刻，使得以P、D、M為頂點的三角形與全等．14．如圖，，垂足為C，，射線，垂足為B，動點P從C點出發(fā)以的速度沿射線運動，點N為射線上一動點，滿足，隨著P點運動而運動，當點P運動秒時，與點P、N、B為頂點的三角形全等．【考點3】全等三角形中的最值問題；15．（23-24八年級上·陜西商洛·期中）如圖，在中，，平分，P為線段上一動點，Q為邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為．16．（23-24八年級上·北京西城·期末）如圖，動點與線段構(gòu)成，其邊長滿足，，．點在的平分線上，且，則的取值范圍是，的面積的最大值為．

【考點4】全等三角形中的折疊問題；17．（23-24七年級下·重慶·期中）如圖，將沿折疊，點落在點處，連接，若平分，平分，且，則的度數(shù)為．18．（23-24七年級下·河南平頂山·期末）如圖，在中，，，將沿過點B的直線折疊，使點C落在點處，折痕是，延長交邊于點M，若是的中點，則圖中的的度數(shù)為．【考點5】全等三角形中的旋轉(zhuǎn)問題.19．（2018·江蘇南通·一模）如圖，點G是△ABC的重心，CG的延長線交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，將△ADG繞點D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE，△ABC的面積=cm2．20．一副三角板如圖擺放，點F是45°角三角板△ABC的斜邊的中點，AC＝4．當30°角三角板DEF的直角頂點繞著點F旋轉(zhuǎn)時，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①MF＝NF；②CF與MN可能相等嗎；③MN長度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變；⑤△CMN面積的最大值為2．其中正確的個數(shù)是.（填寫序號）.解答題【考點1】平移中的全等三角形問題；21．（22-23七年級下·山東青島·期末）已知，在中，，．在內(nèi)部作，交于點D．將一個含有45°角的三角板如圖放置，使直角邊與重合，三角板沿平移．

（1）如圖1，當三角板的另一條直角邊過點A時，試證明；（2）將三角板沿平移至圖2的位置，與交于點M，過點M作，垂足為點N，試判斷線段之間的關(guān)系．【考點2】全等三角形中的動點問題；22．（23-24七年級下·江西吉安·期末）如圖，在中，，，為直線上一動點，連接．在直線的右側(cè)作，且．

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，當點在線段上時，過點作的垂線，垂足為，判斷線段與之間的關(guān)系，并說明理由；探究遷移：（2）將如圖①中的，連接，交直線于點，我們很容易發(fā)現(xiàn)．如圖②，當點在線段的延長線上時，連接交直線于點，線段和線段之間的關(guān)系有沒有變化？此時嗎？說說理由．拓展應(yīng)用：（3）如圖③，當點在線段的延長線上時，當，時，求和的面積．【考點3】全等三角形中的最值問題；23．（23-24七年級下·江蘇南通·期末）已知中，，，動點，分別在邊和射線上，連接，．（1）如圖1，點在延長線上，且．①若，求的長；②判斷和的關(guān)系，并證明；（2）如圖2，，，點在邊上，且，當?shù)闹底钚r，求的長．【考點4】全等三角形中的折疊問題；24．（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）已知：如圖①，紙片，．

（1）將沿著折疊，使得與重合，為折痕，展開后如圖②所示．試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）在（1）的條件下，連接，過點M作，點E為垂足，如圖③所示．①將沿折疊，點B能與點C重合嗎？請說明理由；②圖中與全等的三角形有______個；（3）將圖②中紙片沿剪開得，如圖④所示，將另一張紙片與拼接，邊與邊恰好重合（點O與點C重合），若，且的面積與的面積相等，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【考點5】全等三角形中的旋轉(zhuǎn)問題.25．（23-24七年級下·上海閔行·期末）如圖，已知在中，射線點P為射線上的動點（點P不與點A重合），連接，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角度α后，得到線段，連接、．（1）試說明的理由；（2）延長交射線于點D，在點P的移動過程中，的大小是否發(fā)生變化？若改變請說明理由，若不改變，請求出的大小(用含α的代數(shù)式表示）；（3）當時，過點Q作垂直射線，垂足為E，那么(用m、n的代數(shù)式表示）．參考答案：1．A【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，同時也利用了三角形周長的定義，掌握平移的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．過作于，連接，，然后利用已知條件可以證明)，)，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：過作于，連接，，直線向上平移線段的長得到直線，，而，，)，，同理)，，的周長為：．求的周長，則只需知道的長．故選：A．2．D【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的判定和性質(zhì)、平角的定義、直角三角形兩銳角互余等進行推理即可得解．【詳解】解：∵∴，故說法①正確；∵平移恰好到∴，∴∵∴∴，故說法②正確；∵∴∵，∴∴在四邊形中，，故說法④正確；∴∵∴∴∵平分∴∴∴平分∵∴∴平分同理，平分，故說法③正確．故選：D【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的判定和性質(zhì)、平角的定義、直角三角形兩銳角互余等知識點，屬于中檔題型，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．C【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，由，，得到，從而有，分兩種情況：點E在線段上運動時，點E在線段的延長線上運動時，分別證明即可，熟練掌握判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，點在線段上運動時，∵，，∴，即，∴，∵平分，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，點在線段的延長線上時，∵，，，∴，即，∴，∵平分，∴，∴，在和中，，∴，∴，綜上可知：點在運動過程中，和一直相等，故選：．4．D【分析】①根據(jù)點B和點C的坐標可得，從而可知是的垂直平分線，可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)證明，易得，最后利用三角形內(nèi)角和證明；②要證明平分，想到利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，所以過D作于F，只要證明即可，易證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；③要使，就要使，由②得，而，，由①得，所以只要判斷與是否相等即可；④根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，易證，得到，由于，，于是得到，求得，于是得到結(jié)論．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故①正確，過D作于F，如圖：∵，，∴，∴，∴是的角平分線，故②正確，③∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故③不正確；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選D．5．C【分析】本題考查了正多邊形的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．連接，，，，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得，則當E、P、M三點共線，且時，的值最小，過點E作于H，交于，分別求出和的度數(shù)，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接，，，，∵正五邊形，∴，，∵點是邊的中點，∴，∴，∴，又，，∴，∴，∴∴，∴，∴當E、P、M三點共線，且時，的值最小，過點E作于H，交于，同理可求，∴，即當?shù)闹底钚r，．故選：C．6．D【分析】過B點在下方作，且，鏈接，，先證明，即有，則，當A、M、H三點共線時，值最小，再證明，問題隨之得解．【詳解】如圖，過B點在下方作，且，鏈接，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，當A、M、H三點共線時，值最小，如圖，此時∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．7．D【分析】本題根據(jù)全等三角形的判定，可得，故可得，即，可得答案．【詳解】依題意，在和中，，在中，，又，，在和中，，，，，，故答案選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的證明及性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明方法，是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】利用翻折的性質(zhì)，正確；過點作于，設(shè)交于，證≌，判斷正確；結(jié)合折疊判斷正確、錯誤；證≌，判斷正確．【詳解】解：根據(jù)翻折不變性可知：，是等腰三角形，故正確；如圖，過點作于設(shè)交于．，四邊形是矩形，，由折疊可知：，，，，，≌，，故正確；，，由折疊可知：，，，，平分，故正確；≌，，與不全等，，故錯誤；如圖，過點作于點，平分，，又，，≌，，，，，，≌，，，故正確．綜上所述：結(jié)論正確的有：，共個．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定；能夠利用折疊構(gòu)造全等三角形，并利用去等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．作于，于．只要證明，，即可一一判斷．【詳解】解：如圖作于，于，，，，，，平分，于，于，，在和中，，，，在和中，，，，，故①正確，，定值，故③正確，，為定值，故②正確，在旋轉(zhuǎn)過程中，是頂角不變的等腰三角形，的長度是變化的，的長度是變化的，故④錯誤，故選：C．10．C【分析】根據(jù)題意△PCF可看作△PAE順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，逐一判斷正確性．【詳解】①、∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CP＝BP，∴∠APC＝∠EPF＝90°，∠APF＝90°?∠APE＝∠BPE，又AP＝BP，∠FAP＝∠EBP＝45°，∴△FAP≌△EBP，∴PE＝PF，不能證明EF＝AP，錯誤；②、由①可知△EPF為等腰直角三角形，正確；③、由△FAP≌△EBP，可知AF＝BE，又AC＝AB，故AE＝CF，正確；④、∵△FAP≌△EBP，∴S四邊形AEPF＝S△FAP＋S△APE＝S△EBP＋S△APE＝S△APB＝S△ABC，正確；故選C.【點睛】本題結(jié)合等腰直角三角形考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，要學會運用旋轉(zhuǎn)的知識解答幾何問題．11．【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，由平移的性質(zhì)可得，，證明，得到，根據(jù)三角形中線平分三角形面積可得，則．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．12．BD與EF互相平分【分析】先根據(jù)DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可．【詳解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED=BF．設(shè)EF與BD交于點G，由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，∴∠EDG=∠GBF，∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，∴△DEG≌△BFG，∴EG=FG，DG=BG，∴BD與EF互相平分．【點睛】此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強的中檔題．13．或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解二元一次方程組，設(shè)運動的時間為，動點M的速度為，則，進而得到，再分當時，當時，兩種情況根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)運動的時間為，動點M的速度為，由題意得，，∴．∵，∴．當時，則，∴，解得，∴，解得．當時，則，∴，解得，∴，解得．綜上所述，動點M的速度為或，故答案為：或．14．0或4或8或12【分析】本題考查三角形全等的判定方法．此題要分兩種情況：①當P在線段上時，②當P在射線上，再分別分兩種情況或進行計算即可．【詳解】解：①當P在線段上，時，與全等，∵，∴，∴，∴點P的運動時間為（秒）；②當P在線段上，時，與全等，這時，，因此時間為秒；③當P在射線上，時，與全等，∵，∴，∴，∴點P的運動時間為（秒）；④當P在射線上，時，與全等，∵，∴，∴，點P的運動時間為（秒），故答案為：0或4或8或12．15．/66度【分析】在上截取，連接，證明得出，從而證明當點A、P、E在同一直線上，且時，的值最小，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出結(jié)果【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：平分，，在和中，，，，，，∴當點A、P、E在同一直線上，且，的值最小，即的值最小，∴當點A、P、E在同一直線上，且時，，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義、全等三角形的性質(zhì)和判定、垂線段最短及三角形的內(nèi)角和定理，確定使最小時點P的位置是解題的關(guān)鍵．16．【分析】在中，由三角形三邊關(guān)系“在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”可知，代入數(shù)值即可確定的取值范圍；延長交于點，首先利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，進而可求得，結(jié)合三角形中線的性質(zhì)易知，確定面積的最大值，即可獲得答案．【詳解】解：∵在中，，∴，解得；如下圖，延長交于點，

∵為的平分線，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，當時，的面積取最大值，即，∴．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系、解一元一次不等式、角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．17．/度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學知識．連接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，平分，平分，，，，，，，，平分，平分，，平分，，沿折疊，，，故答案為：．18．/度【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由三角形內(nèi)角和定理求出，再由折疊的性質(zhì)可得由折疊的性質(zhì)可得，，證明，即可得到．【詳解】解：∵在中，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∵是的中點，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．19．18【分析】三角形的重心是三條中線的交點，根據(jù)中線的性質(zhì)，S△ACD=S△BCD；再利用勾股定理逆定理證明BG⊥CE，從而得出△BCD的高，可求△BCD的面積．【詳解】∵點G是△ABC的重心，∴∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，∴，即BG⊥CE，∵CD為△ABC的中線，∴∴故答案為18.【點睛】考查三角形重心的性質(zhì)，中線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理逆定理等，綜合性比較強，對學生要求較高.20．①②④⑤【分析】利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個結(jié)論，找到正確的即可．【詳解】解：①連接CF，∵F為AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴AF=BF=CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM=90°．∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，∴∠AFM=∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，∴∠A=∠FCN，在△AMF與△CNF中，∴△AMF≌△CNF（ASA），∴MF=NF．故①正確；∴②∵F是AB中點，△ABC是等腰直角三角形，,當M，N分別是AC，BC中點時，,CF=MN，故正確；③連接MN，當M為AC的中點時，CM=CN，根據(jù)邊長為4知CM=CN=2，此時MN最小，最小值為，故③錯誤；④當M、N分別為AC、BC中點時，四邊形CMFN是正方形．∵△AMF≌△CNF，∴S△AMF=S△CNF∴S四邊形CDFE=S△AFC．故④正確；⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此當FM最小時，F(xiàn)N也最??；即當DF⊥AC時，F(xiàn)M最小，此時，，當△CMN面積最大時，此時△FMN的面積最?。藭rS△CMN=S四邊形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2，故⑤正確．【點睛】此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性強，難度較大，是一道難題．21．(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)過A作于P，于Q，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，得到，由(1)知，，等量代換得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）.理由：過A作于P，于Q，

則四邊形是矩形，，∴，∵，∴，∵，∴，由(1)知，，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了作圖一平移變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（1）且；理由見解析；（2）它們的關(guān)系沒有變化，此時；理由見解析；（3），【分析】本題是全等綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．（1）先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出結(jié)論；（2）先證明，再證明，可證結(jié)論；（3）由（2）可得，和仍然成立，可得，，再得，可得結(jié)論．【詳解】（1）且在與中,,（2）它們的關(guān)系沒有變化，此時，，，，在與中,,在與中（3）由（2）可得，和仍然成立23．(1)①8；②且，證明見詳解(2)3【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）①利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，然后由，即可獲得答案；②延長，交與，由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合，，易得，即可證明；（2）首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，易得，故當點在同一直線上時，取最小值，即取最小值，再證明，由全等三角形的性質(zhì)可