蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊1.10 三角形全等幾何模型（一線三等角）（專項(xiàng)練習(xí)）（含答案）

專題1.10三角形全等幾何模型（一線三等角）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（22-23七年級(jí)上·山東威?！て谀┤鐖D，直線l上有三個(gè)正方形A、B、C，若正方形A、C的邊長分別為2和3，則正方形B的面積為（）

A．13 B．15 C．17 D．192．（23-24八年級(jí)上·河南商丘·期中）如圖，已知，，，，若，，則的長為（

）A．8 B．7 C．6 D．53．（23-24八年級(jí)上·廣東東莞·期中）已知：如圖，，，則不正確的結(jié)論是（

）A．與互為余角 B． C． D．4．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·階段練習(xí)）如圖所示，且，且，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，可得圖中實(shí)線所圍成的圖形陰影部分的面積是(

)A．64 B．50 C．48 D．325．（22-23七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖為某單擺裝置示意圖，擺線長，當(dāng)擺線位于位置時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，測得，當(dāng)擺線位于位置時(shí)，與恰好垂直，則此時(shí)擺球到的水平距離的長為（

）

A． B． C． D．6．（18-19八年級(jí)上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在中，，，是經(jīng)過點(diǎn)的一條直線，且、在的兩側(cè)，于，于，交于點(diǎn)，，，則的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．87．（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長是（

）

A．5 B．3 C．7 D．28．（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．9．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期中）如圖，在和中，點(diǎn)，，在同一條直線上，，，若，，則的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．210．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）已知如圖：，且，于D，于D．，．連接，．則圖中陰影部分的面積為（

）．

A．5 B．6 C．9 D．10二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24七年級(jí)下·寧夏銀川·階段練習(xí)）為了測量一幢樓高，在旗桿與樓之間選定一點(diǎn)，使點(diǎn)到樓底距離與旗桿高度相等，等于8米．測得旗桿頂C視線與地面夾角，測樓頂視線與地面夾角，量得旗桿與樓之間距離米，樓高米．12．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在中，，，分別過點(diǎn)B、C作過點(diǎn)A的直線的垂線、，若，，則．

13．（23-24八年級(jí)上·浙江衢州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，分別是射線上的兩點(diǎn)，且，，，．則的值是；若，的面積為，則的面積是．14．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期中）在同一平面內(nèi)，有相互平行的三條直線，，，且，之間的距離為1，，之間的距離是2，若等腰的三個(gè)頂點(diǎn)恰好各在這三條平行直線上，如圖所示，，在的面積是．15．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在中，，．點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，°；（2）當(dāng)時(shí)，．

16．（23-24八年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，，，，于H，的延長線交于G，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論為．17．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的長為．

18．（22-23八年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在同一平面內(nèi)，直線l同側(cè)有三個(gè)正方形A，B，C，若A，C的面積分別為16和9，則陰影部分的總面積為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，若，求證：．20．（8分）（21-22七年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，，于點(diǎn)A，D是線段AB上的點(diǎn)，，．（1）判斷與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）如圖2，若點(diǎn)D在線段的延長線上，點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)，其他條件不變，試說明（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．21．（10分）（23-24七年級(jí)下·陜西·期中）（1）如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂直分別為點(diǎn)、證明：．（2）如圖，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．22．（10分）（2023八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）是經(jīng)過頂點(diǎn)C的一條直線，．E，F(xiàn)分別是直線上兩點(diǎn)，且．（1）若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線上，請解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若，，則___________；_________（填“〉”，“＜”或“=”）；②如圖2，若，請?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與關(guān)系的條件___________，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立．（2）如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，請?zhí)岢?，，三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．23．（10分）（2024·貴州·模擬預(yù)測）模型的發(fā)現(xiàn)：如圖（1）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，，，垂足分別為點(diǎn)，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；（2）模型的遷移1：位置的改變?nèi)鐖D2，在（1）的條件下，若兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，請說明和的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）模型的遷移2：角度的改變?nèi)鐖D3，在（1）的條件下，若三個(gè)直角都變?yōu)榱讼嗟鹊拟g角，即，其中，（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明和的關(guān)系，并證明．24．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠EDC＝______，∠DEC＝_____；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．參考答案：1．A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明．證，推出，，則，，再證，代入求出即可．【詳解】解：如圖，

正方形，的邊長分別為2和3，，，由正方形的性質(zhì)得：，，，，，在和中，，，，，，，正方形的面積為，故選A．2．A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，由直角三角形的性質(zhì)證出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，又，，，．故選：A．3．D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的兩銳角互余逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，故B正確，不符合題意；在和中，，，，故C正確，不符合題意；，，與互為余角，故A正確，不符合題意；，但不一定等于，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．4．D【分析】先證，得，，同理可得，，得，再求梯形的面積，由陰影部分的面積，可得結(jié)果【詳解】解：，，，，，在和中，，，，同理可得，，，梯形的面積，陰影部分的面積．故選D【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】利用證明，得．【詳解】解：，，，，，，，在和中，，，，擺球到的水平距離的長為，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】先根據(jù)AAS推出△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∵CE⊥AD于E，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD與△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE=BD=4，AD=CE=10，∴DE=AD-AE=6．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，利用余角的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACE是解題關(guān)鍵．7．B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵．利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，即可獲得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，，∴．故選：B．8．A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算，作，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，即可得到答案，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則，

∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，的面積，故選：．9．C【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，證明，由即可求出結(jié)果．【詳解】解：，，，，，在和中，，，，，，，故選：C．10．A【分析】先證明，利用梯形面積與直角三角形的面積差計(jì)算即可．【詳解】如圖，∵，，，∴，，∵，∴，∴，，∴圖中陰影部分的面積為，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定是解題的關(guān)鍵．11．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．證明，則，根據(jù)，計(jì)算求解，然后作答即可．【詳解】，，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．12．8【分析】此題重點(diǎn)考查同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．由于點(diǎn)，于點(diǎn)，得，因?yàn)?，所以，而，即可根?jù)““證明，得，，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，在和中，，，，，，故答案為：8．13．/【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定；依題意，，進(jìn)而得到．再證明，再由三角形內(nèi)角和定理可得，最后利用證明得出，，即可求得，進(jìn)而根據(jù)得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵且∴由外角定理可得，又∵，∴，∵∴在和中，∴（）．∴，∵，∴∵∴，∵的面積為，∴，∵，∴∴的面積是故答案為：，．14．5【分析】本題考查了平行線的距離，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，過作于，過作于，證明，則，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴，故答案為：5．15．3【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)；（1）根據(jù)平角定義求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定定理求出即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，，理由是：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，即當(dāng)時(shí)，．故答案為：3．16．①②④【分析】①如圖，過點(diǎn)分別作的垂線交及的延長線于點(diǎn)，證明，，即可得結(jié)論；②延長至，使，連接證明，取的中點(diǎn)，連接并延長至，使得，可得，證明，，則可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，則，由可得即可得【詳解】解：①如圖，過點(diǎn)分別作的垂線交及的延長線于點(diǎn)，，，，AH⊥BC同理可得又故①正確②如圖，延長至，使，連接，如圖，取的中點(diǎn)，連接并延長至，使得，是的中點(diǎn)，，，又③如圖，由①可知，故不一定等于故③不正確④如圖，由②可知，故④正確綜上所述，故正確的有①②④故答案為：①②④．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．10【分析】先證明，再證明，即可作答．【詳解】，又，，，，，，，，，，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．12【分析】如圖，先標(biāo)注各頂點(diǎn)，作垂足分別為P，N，E，于交于點(diǎn)D，則證明可得：同理利用三角形全等的性質(zhì)可得：從而可得答案.【詳解】如圖，先標(biāo)注各頂點(diǎn)，作垂足分別為P，N，E，于交于點(diǎn)D，則A，C的面積分別為16和9，正方形A，B，C，同理可得：故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵.19．見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)條件得出，，判定，即可得到．【詳解】證明：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴．20．(1)，(2)成立，見解析【分析】（1）根據(jù)題意可直接證明，即可得出結(jié)論；（2）仿照（1）的證明過程推出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，，在與中，，，，在中，，，，，綜上可知，；（2）解：成立，理由如下：，，在和中，，，，，，，即，；（1）中結(jié)論仍然成立．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形兩銳角互余等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．21．（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了正方形中線段的和差關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定．（1）由，，直線，直線，得，，得，得，，即可得．（2）由正方形和正方形，是邊上的高，同理得，得，同理得，得，同理，得，即是的中點(diǎn)．【詳解】（1）證明：如圖，由，，直線，直線，得，，得，得，，得．（2）證明：如圖，由正方形和正方形，是邊上的高，同理得，，得，，∵，∴，得，即是的中點(diǎn)．22．(1)①=；=，②(2)，見解析【分析】（1）①根據(jù)“同角的余角相等”可得，再根據(jù)證明，則可得，，由此可證．②同小問①，先證，再根據(jù)證明，則可得，，由此可證．（2）猜想：．同小問（1）根據(jù)平角的定義和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)證明，則可得，，由此可證．【詳解】（1）解：①，，，，，，；，，，．②所填的條件是：．證明：在中，．，．又，，又，，，，又，．（2）解：猜想：．證明過程：，，，，，又，．，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了“同角的余角相等”、平角的定義、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)，并能夠綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．23．(1)(2)，見詳解(3)結(jié)論成立，見詳解【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)．（1）利用AAS證明，由三角形全等的性質(zhì)即可得出，再根據(jù)圖中線段的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）通過證明得到，進(jìn)一步得到即可求解；（3）通過證明得到，進(jìn)一步得到．【詳解】（1）解：理由如下：∵∴在和中∴（AAS）∴∴（2）解：證明如下：∵∴∵∴在和中∴（AAS）∴∴（3）（1）的結(jié)論成立，理由如下：∵∴在和中∴（AAS）∴∴24．(1)25°，115°(2)當(dāng)DC＝2時(shí)，△ABD≌△DCE，證明見解析(3)可以，∠BDA的度數(shù)為110°或80°【分析】（1）根據(jù)平角的定義，利用角的和差關(guān)系可得∠EDC的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和即可求出∠DEC的度數(shù)；（2）根據(jù)外角性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠BAD=∠EDC，根據(jù)∠B＝∠C，要使△ABD≌△DCE，則CD=AB，即可得答案；（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得答案．【詳解】（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°，在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°，故答案為：25°，115°（2）當(dāng)DC＝2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由如下：