第7章-線性離散系統(tǒng)的分析與校正

第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正7-1離散系統(tǒng)的基本概念7-2信號的采樣與保持7-3z變換理論7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析7-7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正7-1離散系統(tǒng)的基本概念

1.基本概念：控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號是一串脈沖或數(shù)字（數(shù)碼），由于信號在時間上是離散的這類系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。一、離散系統(tǒng)基本概念和分類（1）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)離散信號是脈沖序列（時間上離散）2.分類：采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖（2）數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機(jī)控制系統(tǒng)離散信號是數(shù)字序列（時間上離散、幅值上整量化）例2小口徑高炮高精度伺服系統(tǒng)A/DD/A數(shù)字控制器被控對象測量元件

e*(t)數(shù)字計算機(jī)r(t)e(t)

u*(t)uh(t)

c(t)

_數(shù)字控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖A/D:模數(shù)轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號。包括采樣與量化兩過程。D/A:數(shù)模轉(zhuǎn)換器，將離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬信號。包括解碼與復(fù)現(xiàn)兩過程。7-2信號的采樣與保持e(t)一、采樣過程：連續(xù)信號離散信號采樣開關(guān)二、采樣過程的數(shù)學(xué)描述：1.理想采樣過程的數(shù)學(xué)描述：2.采樣信號的拉氏變換：注意:由于e*(t)只描述了e(t)在采樣瞬時的數(shù)值，所以E*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)e(t)在采樣間隔之間的信息。例題：

設(shè)，求的拉氏變換。解:例題：

設(shè)為常數(shù)，求的拉氏變換解:3.采樣信號的頻譜δT(t)=ωs=2π/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為:δT(t)=連續(xù)信號的頻譜為采樣信號的頻譜為ωh-ωh0ωh-ωh0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωh-ωh0ωs-ωsωh-ωh0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωs=2ωh濾波器的寬度滿足什么條件時能從得到?ωs≥2ωh或:T≤π/ωh三、香農(nóng)采樣定理:如果采樣器的輸入信號e(t)具有有限帶寬，具有最高頻率為的分量，要從采樣信號中e*(t)完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號e(t)，必須滿足以下條件:四、采樣周期的選取采樣定理給出了采樣周期選擇的基本原則,未給出選擇采樣周期的具體計算公式。顯然,采樣周期選得越小,對控制過程的信息獲得越多,控制效果越好。但是采樣周期選得過小,將增加不必要的負(fù)擔(dān)；采樣周期選得過大,會給控制過程帶來較大誤差。五、信號保持信號保持是指將離散信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號的過程。用于這種轉(zhuǎn)換的元件稱為保持器。工程實踐中,普遍采用零階保持器。零階保持器把前一采樣時刻的采樣值保持到下一個采樣時刻到來之前。t零階保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=3零階保持器:當(dāng)給零階保持器輸入一個理想單位脈沖，則脈沖響應(yīng)（輸出）脈沖過渡函數(shù):幅值為1,持續(xù)時間為T對應(yīng)的拉氏變換零階保持器的特性:（1）低通特性（2）相角滯后特性（3）時間滯后特性令，得到零階保持器的頻率特性7-3Z變換理論一、Z變換定義采樣信號拉氏變換為：令z=esT，則稱E(z)為采樣信號e*(t)的Z變換，記做二、Z變換方法1.級數(shù)求和法級數(shù)求和法直接根據(jù)z變換定義求取。例題:試求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換解：2.部分分式法①先求出已知連續(xù)時間函數(shù)e(t)的拉氏變換E(s)；②將E(s)展開成部分分式之和的形式；③求拉氏反變換,再求Z變換E(z)。例題:已知，求相應(yīng)的E(z)解：三、z變換性質(zhì)1、線性定理2、實數(shù)位移定理超前定理滯后定理

3、復(fù)數(shù)位移定理

4、終值定理

5、初值定理

四、Z反變換1、Z反變換的定義由已知的Z變換E(z)，求相應(yīng)的離散時間序列e(nT)并表示為：2.Z反變換的求法求Z反變換的方法很多，常用的方法有：部分分式法，長除法。(1)部分分式法(2)長除法7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、線性常系數(shù)差分方程及其解法:1.差分定義：前向差分：后向差分：2.解法1.迭代法根據(jù)給定差分方程和輸出序列的初值,則可以利用遞推關(guān)系,一步一步算出輸出序列。2.Z變換法用Z變換法解差分方程的實質(zhì),是對差分方程兩端取Z變換,并利用Z變換的位移性質(zhì),得到以z為變量的代數(shù)方程,然后對代數(shù)方程的解E(z)取Z反變換即求得輸出序列。三、脈沖傳遞函數(shù)1.定義：零初始條件下，離散系統(tǒng)輸出脈沖序列Z變換與輸入脈沖序列Z變換之比。G(s)2、意義：理想脈沖輸出響應(yīng)的Z變換就是脈沖傳遞函數(shù)。3.求法（1）由差分方程求取（2）由連續(xù)部分的傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)4.開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（1）采樣拉氏變換的兩個重要性質(zhì)：采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性

（2）具有串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)注意：（3）帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)例題：設(shè)對象傳遞函數(shù)求帶零階保持器后系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。6.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(s)H(s)7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差一、s域到z域的映射關(guān)系S平面z平面虛軸單位圓周S左半平面單位圓內(nèi)S右半平面單位圓外二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:閉環(huán)特征根全部位于z平面單位圓內(nèi)。解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程結(jié)論：因為|z2|>1，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例題：采樣周期T=1(s)，試分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。G(s)H(s)三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判定:特征方程的根是否都在左半s平面。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性:特征根是否都在z平面的單位圓內(nèi)。將勞思-赫爾維茨判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要將z平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi)映射成w平面上的左半平面1.W變換（雙線性變換）與勞思穩(wěn)定判據(jù)令在z平面的單位圓上，滿足對應(yīng)在w平面上，，即w平面上的虛軸對應(yīng)于z平面上的單位圓周。在W域應(yīng)用勞思判據(jù)。Z平面單位圓內(nèi)w平面左半平面Z平面單位圓外w平面右半平面例題：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的臨界值。r(t)c(t)解：使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K取值范圍臨界增益勞思表2.朱利穩(wěn)定判據(jù)朱利穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的z域特征方程的系數(shù),直接判別特征根是否嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)。朱利穩(wěn)定判據(jù):特征方程的根，全部嚴(yán)格位于z平面上單位圓內(nèi)的充要條件是:以及下列（n-1）個約束成立:只有上述條件滿足,系統(tǒng)穩(wěn)定。四、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于:開環(huán)增益、閉環(huán)極點、傳輸延遲等。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性:除以上因素，還有采樣周期T。例題:設(shè)有零階保持器Gh(s)的離散系統(tǒng)如圖所示，求:T=1s和0.5s時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益解結(jié)論:（1）當(dāng)采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；（2）當(dāng)開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息就越多，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能不利。1.終值定理法2.誤差系數(shù)法(1)單位階躍輸入時r(t)=1(t)

(2)單位斜坡輸入時

r(t)=t

(3)單位加速度輸入時

r(t)=t2/2五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差000Ⅲ00Ⅱ0Ⅰ0系統(tǒng)型別解1：系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。例題：圖中試求連續(xù)系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解2：Ⅰ型系統(tǒng)8-6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析通常假定外作用為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),此時R(z)=z/(z-1),則系統(tǒng)輸出量的Z變換函數(shù)為一、離散系統(tǒng)時間響應(yīng)然后用長除法，將C(z)展成無窮冪級數(shù):C(z)=C0+C1z-1+C2z-2+…+Cnz-n則得單位階躍作用下的輸出序列為

C(kT)=Ck,k=0,1,2,…n閉環(huán)實極點分布與相應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)形式Z平面ImRe01二、閉環(huán)極點與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系