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文檔簡介
新知引入1
這是一個做滑翔傘運動的場景.可以想象,在滑翔過程中,飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力.新知引入1思考:類比平面向量,你認為本章我們需要研究空間向量哪些內容?概念——運算——基本定理——坐標表示——應用1.1.1空間向量及其線性運算新知探究2新知引入1教學目標:(1)經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程,了解空間向量的概念,發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng);(2)掌握空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其表示;(3)掌握空間向量加法、減法、數(shù)乘的運算律;(4)借助向量的線性運算的學習,提升數(shù)學運算素養(yǎng).教學重點:空間向量的概念和線性運算及其應用教學難點:空間向量的線性運算及其應用新知探究2問題1平面向量是什么?你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎?平面向量的概念空間向量的概念
平面內,既有大小又有方向的量,稱為平面向量,平面向量的大小叫做向量的長度或模,記作或|a|.空間中,既有大小又有方向的量,稱為空間向量,空間向量的大小叫做向量的長度或模,記作或|a|.一、空間向量的有關概念新知探究2問題2如何表示平面向量?你能類比平面向量的表示,給出空間向量的表示嗎?平面向量的表示法空間向量的表示法
(1)有向線段(1)有向線段A(起點)B(終點)a(2)字母a,b,c,…(3)坐標表示:a=(x,y)(2)字母a,b,c,…(3)坐標表示:a=(x,y,z)一、空間向量的有關概念新知探究2問題3在學習平面向量時,我們還學習了一些新的概念.你還記得有哪些嗎?你能把這些概念推廣到空間向量中嗎?平面向量的相關概念
零向量:單位向量:相等向量:相反向量:模為0的向量,記作0;零向量的方向任意;模為1的向量;模和方向都相同的兩個向量,記作a=b;模相同,方向相反的兩個向量,記作a=-b;空間向量的相關概念一、空間向量的有關概念新知探究2問題3在學習平面向量時,我們還學習了一些新的概念.你還記得有哪些嗎?你能把這些概念推廣到空間向量中嗎?平面向量的相關概念
空間向量的相關概念共線向量:方向相同或相反的兩個非零向量,叫做共線向量或平行向量,記作a∥b;規(guī)定,零向量和任意向量共線.共線向量:若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量,記作a∥b;規(guī)定,零向量和任意向量共線.一、空間向量的有關概念新知探究2
√√√××××一、空間向量的有關概念新知探究2ab.Oα
轉化平面向量的線性運算空間向量的線性運算空間向量是自由的,所以對于空間中的任意兩個非零向量我們都可以通過平移使他們的起點重合.因為兩條相交直線確定一個平面,所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面,也就是說任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內,成為同一平面內的兩個向量.這樣任意兩個空間向量的運算就可以轉化為平面向量的運算,由此我們把平面向量的線性運算推廣到空間,定義空間向量的加法,減法以及數(shù)乘運算.問題4空間向量的線性運算如何進行?二、空間向量的線性運算和運算律新知探究2(1)加減運算三角形法則:
首尾相連平行四邊形法則: 共起點減法法則: 共起點, 連終點, 指被減問題4空間向量的線性運算如何進行?二、空間向量的線性運算和運算律新知探究2問題4空間向量的線性運算有哪些?(1)加減運算(2)數(shù)乘運算實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量,記作λa,其長度和方向規(guī)定如下:①|λa|=|λ||a|;②若λ>0,λa與a的方向相同;若λ<0,λa與a的方向相反;若λ=0,λa=0.二、空間向量的線性運算和運算律新知探究2問題5空間向量線性運算的運算律有哪些?平面向量的線性運算空間向量的線性運算
①交換律:a+b=b+a;②結合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量,任意兩個空間向量的運算就可以轉化為平面向量的運算.二、空間向量的線性運算和運算律新知探究2問題5空間向量線性運算的運算律有哪些?平面向量的線性運算空間向量的線性運算
①交換律:a+b=b+a;②結合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.你能證明這些運算律嗎?證明結合律時,與證明平面向量的結合律有什么不同?二、空間向量的線性運算和運算律新知探究2
想一想:如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,分別標出
,
表示的向量.從中你能體會向量加法運算的交換律和結合律嗎?一般地,三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系?
可以發(fā)現(xiàn),.一般地,對于三個不共面的向量
,
,
,以任意點O為起點,
,
,
,為鄰邊作平行六面體,則
,
,
的和等于以O為起點的平行六面體對角線所表示的向量.二、空間向量的線性運算和運算律新知探究2二、空間向量的線性運算和運算律新知探究22.(多選)如圖,在正方體ABCD
-A1B1C1D1中,下列各式運算結果為
的是()二、空間向量的線性運算和運算律3.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設_x001A_??????_x001B_=a,_x001A_????_x001B_=b,_x001A_????_x001B_=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:(1)_x001A_????_x001B_;(2)_x001A_??????_x001B_;(3)_x001A_????_x001B_+_x001A_??????_x001B_.(3)因為M是AA1的中點,所以_x001A_????_x001B_=_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_=_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_??1??_x001B_+_x001A_????_x001B_=-_x001A_1_x001B_2_x001B_a+(a+_x001A_1_x001B_2_x001B_b+c)=_x001A_1_x001B_2_x001B_a+_x001A_1_x001B_2_x001B_b+c,又_x001A_????1_x001B_=_x001A_????_x001B_+_x001A_????1_x001B_=_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_????_x001B_+_x001A_????1_x001B_=_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_????_x001B_+_x001A_????1_x001B_=_x001A_1_x001B_2_x001B_c+a,所以_x001A_????_x001B_+_x001A_????1_x001B_=(_x001A_1_x001B_2_x001B_a+_x001A_1_x001B_2_x001B_b+c)+(_x001A_1_x001B_2_x001B_c+a)=_x001A_3_x001B_2_x001B_a+_x001A_1_x001B_2_x001B_b+_x001A_3_x001B_2_x001B_c.新知探究2新知探究2思考:對任意兩個空間向量
與
,如果
,
與
有什么位置關系?反過來,
與
有什么位置關系時,
?平面向量共線的充要條件
對任意兩個平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.三、共線定理、共面定理及其應用空間向量共線的充要條件新知探究2共線定理:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.
三、共線定理、共面定理及其應用新知探究2如圖,O是直線l上一點,在直線l上取非零向量a,則對于直線l上任意一點P,由數(shù)乘的定義及向量共線的充要條件可知,存在實數(shù)λ,使得.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.直線可以由其上一點和它的方向向量確定.注意:(1)方向向量一定是非零向量(2)一條直線的所有方向向量都互相平行三、共線定理、共面定理及其應用新知探究2如圖,如果表示向量的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合,那么稱向量平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內,那么稱向量平行于平面α.平行于同一個平面的向量叫做共面向量.三、共線定理、共面定理及其應用新知探究2問題6任意兩個空間向量都可以通過平移,移到同一平面內,任意三個向量是否共面呢?
abαcp可能共面,也可能不共面.O三、共線定理、共面定理及其應用新知探究2問題6如何判斷三個向量是否共面? 若向量a,b是平面α內兩個不共線的向量,則α內任意一個向量p,存在唯一的有序實數(shù)對(x,y),使得:p=xa+yb.向量a、b、p什么關系?平面向量基本定理:三、共線定理、共面定理及其應用新知探究2問題6如何判斷三個向量是否共面? 若向量a,b是平面α內兩個不共線的向量,則α內任意一個向量p,存在唯一的有序實數(shù)對(x,y),使得:p=xa+yb.平面向量基本定理:空間向量共面的充要條件:兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x,y),使得:p=xa+yb.三、共線定理、共面定理及其應用新知探究2共面向量定理推論:OACBP①空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數(shù)對(x,y),使②P、A、B.C四點共面的充要條件是對空間任意一點O,三、共線定理、共面定理及其應用課堂練習34.若非零空間向量_x001A_??_x001B_??_x001B_,_x001A_??_x001B_??_x001B_不共線,則使_x001A_2????_x001B_??_x001B_?_x001A_??_x001B_??_x001B_與_x001A_??_x001B_??_x001B_+2(??+1)_x001A_??_x001B_??_x001B_共線的??值為________.課堂練習3例1如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點O作射線OA,OB,OC,OD,在四條射線上分別取點E,F,G,H,使求證:E,F(xiàn),G,H四點共面課堂練習3證明:·追問:最終的結果你還有沒有其他的表示方法?能得到什么結論?課堂練習35.在下列條件中,使M與A、B.C一定共面的是()A._x001A_????_x001B_=2_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_ B._x001A_????_x001B_=_x001A_1_x001B_5_x001B__x001A_????_x001B_+_x001A_1_x001B_3_x001B__x001A_????_x001B_+_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_????_x001B_C._x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_=_x001A_0_x001B_
D._x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_=_x001A_0_x001B_【解析】空間的四點M、A、B.C四點共面,只需滿足_x001A_????_x001B_=??_x001A_????_x001B_+??_x001A_????_x001B_+??_x001A_????_x001B_,且??+??+??=1即可,對于A,_x001A_????_x001B_=2_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_中??+??+??=0,故此時四點M、A、B.C四點不共面;對于B,_x001A_????_x001B_=_x001A_1_x001B_5_x001B__x001A_????_x001B_+_
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