甘肅省蘭州市2024屆中考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

甘肅省蘭州市2024屆中考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.全卷共120分，考試時間120分鐘．2.考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號等個人信息填（涂）寫在試卷及答題卡上．3.考生務(wù)必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應(yīng)位置上．4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.的絕對值是（

）A. B. C. D.2.已知∠A＝80°，則∠A補角是（）A.100° B.80° C.40° D.10°3.2024年一季度，蘭州市堅持穩(wěn)中求進(jìn)、綜合施策，全市國民經(jīng)濟起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元．?dāng)?shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.計算：（）A.a B. C. D.5.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.如圖，小明在地圖上量得，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A.同位角相等，兩直線平行 B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行C.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D.對頂角相等7.如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（）A. B. C. D.8.七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具，現(xiàn)將1個七巧板，2個九連環(huán)，1個華容道，2個魯班鎖分別裝在6個不透明的盒子中（每個盒子裝1個），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是（）A. B. C. D.9.關(guān)于一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（）A. B. C. D.10.數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設(shè)買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）A. B. C. D.11.如圖，在中，，，，則（）A. B. C. D.12.如圖1，在菱形中，，連接，點M從B出發(fā)沿方向以的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿方向以的速度運動至C，設(shè)運動時間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.因式分解______．14.如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點F，若，則______．15.“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)順時針轉(zhuǎn)動3周時，上的點P隨之旋轉(zhuǎn)，則______．16.甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下三個推斷：①甲的成績更穩(wěn)定；②乙的平均成績更高；③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是______．（填序號）三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．18.解不等式組：19.先化簡，再求值：，其中．20.如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點B是反比例函數(shù)圖象上一點，軸于點C，交一次函數(shù)的圖象于點D，連接．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，求的面積．21.如圖，在中，，D是的中點，，，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求的長．22.在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的實物圖，水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離0341015202227豎直高度03.244168987.043.24（1）根據(jù)上表，請確定拋物線的表達(dá)式；（2）請計算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為時，水火箭距離地面的豎直高度．23.觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接；②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；③連接并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在延長線上的落點記為點D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請畫出以點A為頂點的直角，記作；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：證明：，與是等腰三角形．．（依據(jù)1______）．，（依據(jù)2______），．依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O(shè)為頂點的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）24.為落實“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級共180名學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，對每位學(xué)生的體育和美育水平進(jìn)行測評后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級評定（成績用x表示，分為四個等級，包括優(yōu)秀：；良好：；合格：；待提高：）．對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下．信息二：美育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組人數(shù)m727信息三：20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計如下（共20個點）．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：______；（2）下列結(jié)論正確的是______；（填序號）①體育成績低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的；②參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“合格”；③在信息三中，相比于點A所代表學(xué)生，點B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升；（3）請結(jié)合以上信息，估計七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)．25.單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，，，；當(dāng)擺球運動至點C時，，．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求的長．（結(jié)果精確到）參考數(shù)據(jù)：，．26.如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點D為上一點，，延長至E，使得．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．27.綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如圖，在中，點M，N分別為，上的動點（不含端點），且．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，請思考并證明：【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在中，，，于點E，交于點F，將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，，請直接寫出的最小值．28.在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在的延長線上，使得，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”，例如：如圖1，是線段外一點，在的延長線上，且，因為點Q在線段上，所以點P是線段的“延長2分點”．（1）如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長2分點”；（2）如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點P是圖形的“延長2分點”，求b的最小值：（3）如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點的等腰直角三角形上存在點P，使得點P是圖形的“延長2分點”．請直接寫出t的取值范圍．

參考答案1-5：AACDB6-10:BCDDA11-12:BC13.14.215.10816. ①②##②①17.解：原式．18.解：由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：．19.，解：原式；當(dāng)時，原式．20.（1），（2）（1）解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，∴，，∴，，∴反比例函數(shù)為：，一次函數(shù)的解析式為：．（2）∵，∴，∵軸于點C，交一次函數(shù)的圖象于點D，∴點B的橫坐標(biāo)為4．點D的橫坐標(biāo)為4．∴，∴，∴過點B作軸交一次函數(shù)的圖象交于點E，過點A作與點F，∴，點E的縱坐標(biāo)為，∴，把代入，得，∴，∴點，∴，∴21.（1）證明：∵，D是BC的中點，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形矩形．∴，，，∵D是的中點，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．22.（1）拋物線的表達(dá)式（2）水火箭距離地面的豎直高度米（1）解：根據(jù)題意可知拋物線過原點，設(shè)拋物線的表達(dá)式，由表格得拋物線的頂點坐標(biāo)為，則，解得，則拋物線的表達(dá)式，（2）解：由題意知，則，那么，水火箭距離地面的豎直高度米．23.解：[操作體驗]（1）[推理論證]（2）依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；[拓展探究]（3）24.（1）4（2）①③（3）18（1）解：，故答案為：4．（2）①根據(jù)20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計圖可知：體育成績低于80分的人數(shù)有8人，∴體育成績低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的，故①正確．②∵一共有20人，成績從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，∴中位數(shù)位于之間，即參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“良好”，故②錯誤．③在信息三中，點A的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，點B的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，所以相比于點A所代表的學(xué)生，點B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升，故③正確，故有①③正確，故答案為①③．（3）根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績都在90分以及以上的只有2人．故七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)有人．25.解：∵，，；∴，，∴，∵，，∴，∴；∴的長為；26.（1）解：連接，則：，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，由（1）知：，∴，由（1）知：，又∵，∴，∴，∴，，∴，即：，解得：（舍去）或，∴27.（1）證明∵為等邊三角形，∴，∵繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：四邊形為平行四邊形，理由如下，∵，，∴，∵繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，則四邊形為平行四邊形；（3）解：如圖，過點A作，使，連接、，，延長，過點G作于點O，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)點G、M、C三點共線時，的值最小，最小值為的值，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值為．28.（1）解：作線段以原點為位似中心，位似比為位似圖形，∵，，∴，，∵點是圖形的“延長2分點”，∴點在線段上，∵線段上，∴是圖形“延長2分點”