山東省齊魯名師聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁齊魯名師聯(lián)盟2025屆高三年級第一次診斷考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19題.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本次考試范圍：集合與常用邏輯用語；一元二次方程、函數(shù)和不等式；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將集合變形，再根據(jù)集合間的關(guān)系及并集和交集的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：C.2.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A.－9 B.－16 C.16 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得的極值，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，解得，?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，即最大值，所以在區(qū)間上的最大值是.故選：C3.若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】由正數(shù)，滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：B4.從數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，取到的數(shù)字為，再從數(shù)字中隨取一個(gè)數(shù)字，則第二次取到數(shù)字2的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.【詳解】記事件“第一次取到數(shù)字”，，事件“第二次取到數(shù)字2”，由題意知是兩兩互斥的事件，且（樣本空間），所以.故選：A.5.小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）A.48 B.32 C.24 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C6.令，則當(dāng)時(shí)，a除以15所得余數(shù)為（）A.4 B.1 C.2 D.0【答案】D【解析】【分析】當(dāng)，利用二項(xiàng)式定理化簡得，結(jié)合二項(xiàng)式的展開式公式即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，故a除以15所得余數(shù)為0.故選：D.7.不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】先明確函數(shù)的定義域，分離參數(shù)，利用進(jìn)行放縮處理.【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以?,+∞上單調(diào)遞增，所以，即.所以在0,+∞恒成立.由題意：函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞所以原不等式可化為：，問題轉(zhuǎn)化為求（）的最小值.而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）結(jié)合圖象：方程在上有唯一解.所以.故選：B8.已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和最值，從而得到，故，換元后，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，求出答案.【詳解】函數(shù)沒有極值點(diǎn)，，或恒成立，由指數(shù)爆炸的增長性，不可能恒小于等于0，恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，為上的增函數(shù)，因?yàn)樵龊瘮?shù)，也是增函數(shù)，所以，此時(shí)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由得，令在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，依題意有，即，，，令，，則，令，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，取最大值故當(dāng)，，即，時(shí)，取得最大值綜上，若函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將函數(shù)沒有極值點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，通過構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（）A.四位回文數(shù)有45個(gè) B.四位回文數(shù)有90個(gè)C（）位回文數(shù)有個(gè) D.（）位回文數(shù)有個(gè)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析四位回文數(shù)數(shù)目，可得A錯(cuò)誤，B正確；再用分步計(jì)數(shù)原理分析2n+1位回文數(shù)的數(shù)目，可得C錯(cuò)誤，D正確，綜合可得答案．【詳解】據(jù)題意，對于四位回文數(shù)，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90個(gè)，則A錯(cuò)誤，B正確；對于2n位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n和第n+1位也有10種，則共有9×10×10×……×10＝9×10n-1種選法，故C錯(cuò)；對于2n+1位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n+1個(gè)數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，則共有9×10×10×……×10＝9×10n種選法，即2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有9×10n個(gè)，所以D正確．故選：BD．10.已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足，，則下列說法正確的是（）A.若，且，，則B.若，且，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】，，得到A選項(xiàng)；，得到B選項(xiàng)；由條件概率公式得到C、D選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：若，則A，B互斥，由，，得，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：由，即,事件A，B相互獨(dú)立，所以事件，也相互獨(dú)立，所以，則，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：由，，得，，，所以，解得，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B.“”是“為增函數(shù)”的充要條件C.若不等式的解集為且，則的極小值為D.若是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和充分、必要條件的判定方法，可判定A正確；結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，可判定B錯(cuò)誤；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得的極小值，可判定C正確；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合，列出不等式，可判定D正確．【詳解】對于A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則滿足，所以為奇函數(shù)，所以充分性成立；若為奇函數(shù)，則，則恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正確；對于B中，當(dāng)時(shí)，，可得，所以增函數(shù)；由，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，，所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由，若不等式的解集為且，則在上先增后減再增，則，解得，故，可得，令，解得或，當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞減；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，所以C正確．對于D中，由，因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，聯(lián)立方程組，可得，解得或，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再分類求解不等式化簡集合B，并利用集合的包含關(guān)系列式求解即得.【詳解】由“”是“”的必要不充分條件，得，依題意，集合，，當(dāng)，即時(shí)，，則，解得；當(dāng)，即時(shí)，，則，解得，當(dāng)，即時(shí)，，滿足，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：13.已知函數(shù)（其中且），若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】按照且的限制條件進(jìn)行分類討論：，，，存在性問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值最值問題即可.【詳解】由題知，，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)第一個(gè)等號(hào)成立，所以f（x）在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，，f（x）在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，則，令，則，所以g（x）在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一的，使得，且時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以時(shí)，，滿足題意．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：.14.切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：對于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對事件的概率作出估計(jì).在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)“1”的次數(shù)為隨機(jī)變量，為了至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的值至少為______.【答案】1250【解析】【分析】由題意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可.【詳解】由題意知，所以，，若，則，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，則，解，所以估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)n的最小值為1250.故答案為：1250【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二項(xiàng)分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將變形為，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若命題“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為命題“”為真命題，結(jié)合，即可求解；.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間0,+∞內(nèi)恒成立，利用基本不等式求得的最小值為，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，由命題“”為假命題，即命題“”為真命題，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】解：由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間0,+∞內(nèi)恒成立，即在區(qū)間0,+∞內(nèi)恒成立，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間為，極大值為-1，極小值為（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間以及極大值、極小值；（2）結(jié)合參變量分離法可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，該函數(shù)定義域?yàn)?，則，列表如下：12+0-0+增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，所以，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.某校舉行籃球比賽，規(guī)則如下：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人進(jìn)球與否互不影響.（1）若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；（2）若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，根據(jù)，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可得；（2）設(shè)事件C表示乙每場比賽至少要超甲2個(gè)球，先求，然后根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式列不等式得，令，，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得解.【小問1詳解】設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，則，，，；，，，.則乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率為：.【小問2詳解】，.設(shè)事件C表示乙每場比賽至少要超甲2個(gè)球，則；設(shè)隨機(jī)變量X表示n輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，顯然，故，要滿足題意，則，即，又，故，令，，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又的最大值為，則的最大值為，的最小值為，而故理論上至少要進(jìn)行12輪比賽.18.已知函數(shù)．（1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求的范圍；（2）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）若函數(shù)在處取得極值，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，由導(dǎo)函數(shù)恒小于0，可求的范圍；（2）分類討論有：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；（3）由題意可得，原問題等價(jià)于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，則在上恒成立，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減，的取值范圍為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)．【小問3詳解】∵函數(shù)在處取得極值，，∴，∴，令，，，則，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離