第58講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

第十單元

排列、組合與二項式定理、概率第58講

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點探究作業(yè)手冊教師備用習(xí)題通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.◆

知識聚焦

◆分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理內(nèi)容區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理區(qū)別:分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨立,用其中的任何一種方法都可以完成這件事;分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān),各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才能完成.#b#聯(lián)系：復(fù)雜問題中，需要兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用.某一類中可能需要再分步，某一步中有可能需要再分類分步乘法計數(shù)原理

◆

對點演練

◆題組一

常識題

120

2.［教材改編］

音樂播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，從中任選一首歌曲進(jìn)行播放，有____種不同的選法.21

3.［教材改編］

5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，則不同的報名方法共有____種.若沒有任何限制，每位同學(xué)隨意報名，則不同的報名方法共有_______種.321024

題組二

常錯題◆

索引：對“完成一件事”的含義理解不準(zhǔn)確；計數(shù)時有重復(fù)或遺漏，不知道何時該分類，何時該分步，不區(qū)分元素是否可重復(fù)使用.4.書架的第1層放有6本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有4本不同的外語書.從書架中任取1本書，共有____種不同的取法；從書架中的第1，2，3層各取1本書，共有______種不同的取法.15120

5.我們把中間數(shù)位上的數(shù)字最大，而兩邊減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是____.20

6.（1）

有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有____種不同的送法；60

（2）

有5種不同的書（每種不少于3本），從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有______種不同的送法.125

例1（1）

[2023·安徽馬鞍山三模]

據(jù)史書的記載，最晚在春秋末年，人們已經(jīng)掌握了完備的十進(jìn)位制記數(shù)法，普遍使用了算籌這種先進(jìn)的計算工具.算籌記數(shù)的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推，遇零則置空.如圖所示：探究點一

分類加法計數(shù)原理如：10記為&1&

，26記為&2&

，71記為&3&

.現(xiàn)有4根算籌，則可表示的兩位數(shù)的個數(shù)為(

)

CA.8

B.9

C.10

D.12

［思路點撥］（1）由題意，分為4類：十位1根，個位3根；十位2根，個位2根；十位3根，個位1根；十位4根，個位0根.根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解.（2）

[2023·浙江樂清模擬]

一個圓的圓周上均勻分布6個點，在這些點與圓心共7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形的個數(shù)為___.8［思路點撥］（2）利用圓的對稱性，將等邊三角形分兩類：相鄰2個點和圓心構(gòu)成的等邊三角形、相間隔的3個點構(gòu)成的等邊三角形.根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求出結(jié)果.

①②[總結(jié)反思]（1）分類加法計數(shù)原理的實質(zhì):完成一件事的各類方法相互獨立,每類中的各種方法也相互獨立,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.（2）使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則:有時分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個,但不論是以哪一個為標(biāo)準(zhǔn),都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確,不重不漏”的原則.

AA.10

B.12

C.20

D.35

（2）

有編號分別為1，2，3，4的4張電影票，要分給甲、乙兩個人，每人至少分得一張，那么不同分法的種數(shù)為(

)

BA.10

B.14

C.16

D.12

探究點二

分步乘法計數(shù)原理

CA.24

B.36

C.72

D.81

［思路點撥］（1）根據(jù)題意，先排男生再排女生，由分步乘法計數(shù)原理可得答案.（2）

[2024·湖南永州一中月考]

某校于三月份開展學(xué)雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生分成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每個小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有(

)

CA.20種

B.4種

C.60種

D.80種［思路點撥］（2）先安排男生，再安排女生，在安排女生時，利用間接法分析運算，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，即可求解.

[總結(jié)反思]（1）分步乘法計數(shù)原理的實質(zhì)：完成一件事要分為若干步,各個步驟相互依存,缺少其中的任何一步都不能完成這件事,只有當(dāng)每個步驟都完成后,才能完成這件事.（2）使用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意的問題:①明確題目中所要完成的這件事是什么,確定完成這件事需要幾個步驟.②將完成這件事劃分成幾個步驟來執(zhí)行,各步驟之間有一定的連續(xù)性,只有當(dāng)所有步驟都完成了,這件事才能完成,這是分步的基礎(chǔ),也是關(guān)鍵.變式題（1）

書寫漢字時，筆順對書寫的速度和字形的美觀有非常關(guān)鍵的影響.為了滿足課堂教學(xué)的需要，我們制定了一套現(xiàn)代漢語通用字的筆順規(guī)范，但在進(jìn)行書法創(chuàng)作時，筆順則更加靈活多變，比如“必”字有五筆：左點、上點、右點、撇、臥鉤.若要求第一筆不寫臥鉤，且最后一筆寫右點，則“必”字不同的筆順有(

)

BA.12種

B.18種

C.24種

D.30種

（2）

用紅、黃、藍(lán)三種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不同色.在所有著色方案中，①③⑤著相同顏色的方案有(

)

BA.96種

B.24種

C.48種

D.12種

探究點三

兩個計數(shù)原理的綜合例3（1）

若從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中選三個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這樣的三位偶數(shù)一共有(

)

CA.20個

B.48個

C.52個

D.120個［思路點撥］（1）由于0不能為百位數(shù)字，故分2種情況討論：0在個位和0不在個位，再由分類加法計數(shù)原理計算可得答案.

（2）

某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則不同的種植方法有(

)

CA.120種

B.360種

C.420種

D.480種［思路點撥］（2）利用分類加法計數(shù)原理求解，按2與4兩區(qū)域種植果樹是否相同進(jìn)行分類即可.

[總結(jié)反思]（1）復(fù)雜問題中,兩個計數(shù)原理可以綜合應(yīng)用:可以先分類,在各類中再分步,或先分步,到某一步時按需要再分類處理.（2）涂色問題一般綜合利用兩個計數(shù)原理求解,但也有兩種常用方法:按區(qū)域的不同,以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理分析;以顏色為主分類討論,用分類加法計數(shù)原理分析.

CA.180個

B.300個

C.468個

D.564個

現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有(

)

CA.1050種

B.1260種

C.1302種

D.1512種

教師備用習(xí)題【備選理由】例1考查分類加法計數(shù)原理;例2考查分步乘法計數(shù)原理;例3考查綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題.難點是根據(jù)題意明確兩個計數(shù)原理的適用條件,即何時分類,何時分步,何時分類、分步綜合應(yīng)用.例1

［配例1使用］

一個樓梯共有11級臺階，甲同學(xué)正好站在第11級臺階上，現(xiàn)在他每步可邁1級、2級或3級臺階，甲從第11級臺階走到第6級臺階（只能從上往下走），不同的走法共有(

)

CA.11種

B.12種

C.13種

D.14種

例2

［配例2使用］

[2023·泰安肥城模擬]

整數(shù)3528有____個不同的正因數(shù).36

例3

［配例3使用］

[2023·大連育明高級中學(xué)一模]

漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶.如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有(

)

DA.180種

B.192種

C.300種

D.420種

作業(yè)手冊◆

基礎(chǔ)熱身

◆1.三名同學(xué)分別從英語和日語中選修一門外語課程，則不同的選法種數(shù)為(

)

C

123456789101112131415162.有5本不同的語文書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的英語書，從中任取一本，不同的取法有(

)

BA.3種

B.12種C.60種

D.以上答案均不正確

123456789101112131415163.為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有(

)

BA.48種

B.36種

C.24種

D.12種

12345678910111213141516

DA.43

680

B.14

800

C.2880

D.576

12345678910111213141516

8

123456789101112131415166.用1，5，9，13中任意一個數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個數(shù)作分母，可構(gòu)造____個不同的分?jǐn)?shù)，可構(gòu)造____個不同的真分?jǐn)?shù).1610

12345678910111213141516◆

綜合提升

◆7.現(xiàn)有壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓和伍拾圓的人民幣各1張，用它們可以組成的不同幣值的種數(shù)為(

)

AA.31

B.32

C.63

D.64

123456789101112131415168.一個盒子里有4個分別標(biāo)有號碼1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號的最大值是4的取法有(

)

CA.17種

B.27種

C.37種

D.47種

12345678910111213141516

CA.6

B.12

C.24

D.3012345678910111213141516

12345678910111213141516

DA.27

B.24

C.18

D.1612345678910111213141516

12345678910111213141516

AA.96種

B.84種

C.72種

D.12種

1234567891011121314151612.（多選題）有4位同學(xué)報名參加3個不同的社團(tuán),則下列說法正確的是(

)

AC

1234567891011121314151613.（多選題）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說法正確的是(

)

BCA.可組成360個不重復(fù)的四位數(shù)B.可組成156個不重復(fù)的四位偶數(shù)C.可組成96個能被3整除的不重復(fù)的四位數(shù)D.若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個四位數(shù)為231012345678910111213141516

1234567891011121314