第八章 第6講 雙曲線

第八章平面解析幾何第6講雙曲線

課標要求命題點五年考情命題分析預測1.了解雙曲線的

定義、幾何圖

形和標準方

程，以及簡單

幾何性質.雙曲線的定

義及應用2020全國卷ⅢT11該講每年必考，命題熱點

為雙曲線的定義、標準方

程、漸近線、離心率，題

型既有選擇題、填空題，

也有解答題，難度中等偏

上.求雙曲線的

標準方程2023新高考卷ⅡT21；

2023天津T9；2022新高

考卷ⅡT21課標要求命題點五年考情命題分析預測2.體會數(shù)

形結合的

思想.雙曲線

的幾何

性質2023新高考卷ⅠT16；2022全國卷乙T11；

2022全國卷甲T14；2022北京T12；2021新

高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全

國卷甲T5；2021全國卷乙T13；2020新高考

卷ⅠT9；2020全國卷ⅠT15；2020全國卷

ⅡT8；2020全國卷ⅢT11；2019全國卷

ⅠT16；2019全國卷ⅡT11；2019全國卷ⅢT10在2025年高考備

考中，訓練常規(guī)

題型的同時，應

強化有關解答題

的訓練.

1.雙曲線的定義和標準方程(1)定義在平面內到兩定點

F

1，

F

2的距離的差的①

等于常數(shù)(小于｜

F

1

F

2｜且大

于零)的點的軌跡叫做雙曲線.定點

F

1，

F

2叫做雙曲線的②

?，兩焦點間的距

離叫做③

?.集合語言：

P

＝{

M

｜｜｜

MF

1｜－｜

MF

2｜｜＝2

a

，2

a

＜｜

F

1

F

2｜}，｜

F

1

F

2｜＝2

c

，其中

a

，

c

為常數(shù)且

a

＞0，

c

＞0.a.當2

a

＝2

c

時，

P

點的軌跡是④

?；b.當2

a

＞2

c

時，

P

點軌跡不存在.絕對值

焦點

焦距

兩條射線

(2)標準方程a.中心在坐標原點，焦點在

x

軸上的雙曲線的標準方程為⑤

(

a

＞0，

b

＞0)；b.中心在坐標原點，焦點在

y

軸上的雙曲線的標準方程為⑥

(

a

＞0，

b

＞0).

規(guī)律總結焦點位置的判斷在雙曲線的標準方程中，看

x

2項與

y

2項的系數(shù)的正負，若

x

2項的系數(shù)為正，則焦點

在

x

軸上；若

y

2項的系數(shù)為正，則焦點在

y

軸上，即“焦點位置看正負，焦點隨著

正的跑”.

思維拓展雙曲線的第二定義、第三定義

雙曲線的第三定義：{

P

｜

kPA

·

kPB

＝

e

2－1，

e

＞1，其中

kPA

，

kPB

分別表示點

P

與

兩定點

A

，

B

連線的斜率，

e

為離心率}(注意，此時確定的雙曲線不包含兩個頂點，

且焦點在

x

軸上).2.雙曲線的幾何性質(1)雙曲線的幾何性質標準方程圖形

標準方程幾何性質范圍｜x｜≥a，y∈R｜y｜≥a，x∈R對稱性對稱軸：⑦

；對稱中心：⑧

?焦點F1⑨

，F(xiàn)2⑩

??F1?

，F(xiàn)2?

?頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為

?

，虛軸長為?

；實半軸長為a，虛半軸長為bx軸，y軸

原點

(－c，0)

(c，0)

(0，－c)

(0，c)

2a

2b

標準方程幾何性質焦距｜F1F2｜＝?

?離心率漸近線直線?

?直線?

?a，b，c的關系a2＝?

?2c

(1，＋∞)

c2－b2

(2)特殊雙曲線等軸雙曲線共軛雙曲線定

義實軸長與虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙

曲線.如果一雙曲線的實軸和虛軸分別是

另一雙曲線的虛軸和實軸，那么這

兩個雙曲線互為共軛雙曲線.性

質(1)它們有共同的漸近線；(2)它們

的四個焦點共圓；(3)它們的離心

率的倒數(shù)的平方和等于1.常用結論1.雙曲線的焦點三角形與焦半徑

(2)△

PF

1

F

2內切圓圓心的橫坐標的絕對值為定值

a

.(3)當點

P

(

x

0，

y

0)在雙曲線右支上時，｜

PF

1｜＝

ex

0＋

a

，｜

PF

2｜＝

ex

0－

a

；當

點

P

(

x

0，

y

0)在雙曲線左支上時，｜

PF

1｜＝－

ex

0－

a

，｜

PF

2｜＝－

ex

0＋

a

.(4)當點

P

在雙曲線右支上時，｜

PF

1｜min＝

a

＋

c

，｜

PF

2｜min＝

c

－

a

.2.雙曲線中兩個常見的直角三角形

1.下列說法正確的是(

D

)A.平面內到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線D1234562.[浙江高考]漸近線方程為

x

±

y

＝0的雙曲線的離心率是(

C

)B.1D.2

C123456

1234564.已知等軸雙曲線過點(5，3)，則該雙曲線方程為

?.

123456

11

123456

123456

命題點1

雙曲線的定義及應用

A.1B.2C.4D.8A訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5(2)已知圓

C

1：(

x

＋3)2＋

y

2＝1，

C

2：(

x

－3)2＋

y

2＝9，動圓

M

同時與圓

C1和圓

C

2相外切，則動圓圓心

M

的軌跡為(

C

)A.雙曲線B.橢圓C.雙曲線左支D.雙曲線右支[解析]設動圓

M

的半徑為

r

，由動圓

M

同時與圓

C

1和圓

C

2相外切，得｜MC

1｜＝

1＋

r

，｜MC

2｜＝3＋

r

，｜MC

2｜－｜MC

1｜＝2＜6，所以動圓圓心

M

的軌跡是以點

C

1

(－3，0)和

C

2(3，0)為焦點的雙曲線的左支.C訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5方法技巧1.雙曲線定義的主要應用(1)確認平面內與兩定點有關的動點軌跡是否為雙曲線；(2)解決與焦點有關的距離或范圍問題.2.解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義以及余弦定理.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

A.1D訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5(2)已知

F1，

F2分別為雙曲線

C

：

x2－

y2＝2的左、右焦點，點

P

在

C

上，∠

F

1

PF

2＝60°，則△

F1

PF2的面積為

?.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5命題點2

求雙曲線的標準方程例2

(1)已知定點

F

1(－2，0)，

F

2(2，0)，

N

是圓

O

：

x

2＋

y

2＝1上任意一點，點

F

1

關于點

N

的對稱點為

M

，線段

F

1

M

的垂直平分線與直線

F

2

M

相交于點

P

，則點

P

的軌跡方程是(

B

)B訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

D訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

D訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

－3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5角度2

離心率例4

(1)[2021全國卷甲]已知

F

1，

F

2是雙曲線

C

的兩個焦點，

P

為

C

上一點，且∠

F

1

PF

2＝60°，｜

PF

1｜＝3｜

PF

2｜，則

C

的離心率為(

A

)

A訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

A.(1，2)B訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5方法技巧1.求雙曲線的離心率的方法

(3)構造關于

a

，

b

，

c

的齊次式求離心率：由已知條件得出關于

a

，

b

，

c

的齊次

式，然后轉化為關于

e

的方程求解.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例52.求雙曲線離心率的取值范圍的方法(1)借助平面幾何圖形中的不等關系求解，如焦半徑｜

PF

1｜∈[

c

－

a

，＋∞)或｜

PF

1｜∈[

a

＋

c

，＋∞)、三角形中兩邊之和大于第三邊等；(2)考慮平面幾何圖形的臨界位置，建立關于

a

，

c

的不等關系求解.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5角度3

與雙曲線性質有關的最值(范圍)問題

A.4B.8C.16D.32

B訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

A訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5[解析]不妨設點

F

為雙曲線的左焦點，點

B

在

y

軸正半軸上，則

F

(－

c

，0)，

B

(0，

b

)，直線

BF

的方程為

bx

－

cy

＝－

bc

.如圖所示，以

O

為圓心，

A

1

A

2為直徑作

圓

O

，則

P

1，

P

2在圓

O

上.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5方法技巧求解與雙曲線性質有關的最值(范圍)問題的方法1.幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質來

求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關結論來求解.2.代數(shù)法：構造函數(shù)或不等式，利用函數(shù)或不等式的性質求解.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

C.2x±3y＝0D.3x±2y＝0A訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

A.5B.6C.7D.8C訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5

B123

123

123

123

C.2D.3D123

當且僅當

A

，

P

，

F

2三點共線，即點

P

位于P'位置時，等號成立，123

故選D.123

D123456789101112131415162.半徑不等的兩定圓

O

1，

O

2無公共點(

O

1，

O

2是兩個不同的點)，動圓

O

與圓

O1，

O

2都內切，則圓心

O

的軌跡是(

D

)A.雙曲線的一支B.橢圓或圓C.雙曲線的一支或橢圓或圓D.雙曲線的一支或橢圓D12345678910111213141516[解析]兩定圓

O

1，

O

2無公共點，則它們的位置關系是外離或內含.設兩定圓

O

1，

O

2的半徑分別為

r

1，

r

2(

r

1＞

r

2)，圓

O

的半徑為

R

.

又圓

O

與圓

O

1，

O

2都內切，則

當兩圓

O

1，

O

2外離時，｜OO

1｜＝

R

－

r

1，｜OO

2｜＝

R

－

r

2，∴｜OO

2｜－｜OO

1｜＝

r

1－

r

2＜｜

O

1

O

2｜，此時圓心

O

的軌跡是雙曲線的一支；當兩圓

O

1，

O

2內含時，｜

OO

1｜＝

r

1－

R

，｜

OO

2｜＝

R

－

r

2，∴｜

OO

2｜＋｜

OO

1｜＝

r

1－

r

2＞｜

O

1

O

2｜，此時圓心

O

的軌跡是橢圓.故選D.12345678910111213141516

A12345678910111213141516

12345678910111213141516

B12345678910111213141516

A.8B.12C.16D.24C12345678910111213141516

12345678910111213141516

B.2D12345678910111213141516

12345678910111213141516

B.3D.2B12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

C12345678910111213141516

12345678910111213141516

C.曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個焦點AC12345678910111213141516

對于C，曲線

y

＝e

x

－2－1過定點(2，0)，(2，0)為雙曲線

C

的右焦點，故C正確；

12345678910111213141516

2

12345678910111213141516

12345678910111213141516

設｜

MF

1｜＝

m

，｜

MF

2｜＝

n

，由雙曲線的定義知

m

－

n

＝2

a

＝8.

①在Rt△

F

1

MF

2中，由勾股定理得

m

2＋

n

2＝(2

c

)2＝80，②