第八章 突破2 圓錐曲線中的最值、范圍問題

第八章平面解析幾何突破2圓錐曲線中的最值、范圍問題

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練1

[2022全國卷甲]設(shè)拋物線

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)的焦點為

F

，點

D

(

p

，0)，過

F

的直線交

C

于

M

，

N

兩點.當(dāng)直線

MD

垂直于

x

軸時，｜

MF

｜＝3.(1)求

C

的方程.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2(2)設(shè)直線

MD

，

ND

與

C

的另一個交點分別為

A

，

B

，記直線

MN

，

AB

的傾斜角分

別為α，β.當(dāng)α－β取得最大值時，求直線

AB

的方程.[解析]如圖，根據(jù)(1)知

F

(1，0)，

D

(2，0).

當(dāng)

MN

的斜率存在時，設(shè)

M

(

x

1，

y

1)，

N

(

x

2，

y

2)，

A

(

x

3，

y

3)，

B

(

x

4，

y

4)，

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

即

y

(

y

1＋

y

2)－

y

1(

y

1＋

y

2)＝4(

x

－

x

1)，所以直線

MN

的方程為

y

(

y

1＋

y

2)－

y

1

y

2＝4

x

.同理可得，直線

AM

的方程為

y

(

y

3＋

y

1)－

y

3

y

1＝4

x

，直線

BN

的方程為

y

(

y

4＋

y

2)

－

y

4

y

2＝4

x

，直線

AB

的方程為

y

(

y

4＋

y

3)－

y

4

y

3＝4

x

.因為

F

(1，0)在

MN

上，所以

y

1

y

2＝－4.因為

D

(2，0)在

AM

，

BN

上，所以

y

3

y

1＝－8，

y

4

y

2＝－8，

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

所以直線

AB

的方程

y

(

y

4＋

y

3)－

y

4

y

3＝4

x

可化為(

y

1＋

y

2)

y

＋8＝2

x

，

當(dāng)

y

2＋

y

1＜0時，tan(α－β)＜0，不符合題意.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

(2)過點

P

(0，－3)的直線

l

的斜率為

k

，交橢圓

E

于不同的兩點

B

，

C

，直線

AB

，

AC

分別交直線

y

＝－3于點

M

，

N

，若｜

PM

｜＋｜

PN

｜≤15，求

k

的取值范圍.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

由①②可得，｜

k

｜≤3.綜上可得－3≤

k

＜－1或1＜

k

≤3.所以

k

的取值范圍為[－3，－1)∪(1，3].訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2方法技巧圓錐曲線中最值(范圍)問題的求解方法幾何法若題目的條件和結(jié)論明顯能體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來

解決.代數(shù)法若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再

求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不

等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2

(1)求

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

12

12

12

(1)求橢圓

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

12(2)若直線

l

1與橢圓

C

交于

D

，

E

兩點，直線

l

2與橢圓

C

交于

M

，

N

兩點，且

l

1⊥

l

2，

l

1，

l

2交于點

P

，求｜

DE

｜·｜

MN

｜的取值范圍.

12

12

1234

(2)過點

M

(0，2)的直線

l

與

C

交于

A

，

B

兩點，且∠

AOB

為銳角(

O

為坐標(biāo)原點)，求

l

的斜率的取值范圍.1234

1234

(1)求

p

；

1234

[解析]由(1)得拋物線

C

：

y

2＝4

x

，則

F

(1，0)，顯然直線

MN

的斜率不可能為零，

1234

1234

1234

1234

1234

1234(2)若直線

y

＝

kx

－1與