第五章 第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用

第五章數(shù)列第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用

命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測等差、等比數(shù)列的綜合問題2022新高考卷ⅡT17；2022天津T18；2020浙江T20；2019全國卷ⅡT19該講的命題重點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，數(shù)列與不等式的綜合，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考可能會(huì)出現(xiàn)新的數(shù)列綜合題，備考時(shí)，應(yīng)關(guān)注數(shù)列與其他知識的綜合.數(shù)列與其他知識綜合2023新高考卷ⅠT7；2023全國卷乙T10；2023天津T19；2021浙江T10

命題點(diǎn)1

等差、等比數(shù)列的綜合問題例1

[全國卷Ⅱ]已知數(shù)列{

an

}和{

bn

}滿足

a

1＝1，

b

1＝0，4

an

＋1＝3

an

－

bn

＋4，4

bn

＋1＝3

bn

－

an

－4.(1)證明：{

an

＋

bn

}是等比數(shù)列，{

an

－

bn

}是等差數(shù)列.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)求{

an

}和{

bn

}的通項(xiàng)公式.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練1

已知數(shù)列{

an

}的首項(xiàng)

a

1＝4，{

an

＋1－2

an

}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等

比數(shù)列.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

已知數(shù)列{

bn

}滿足

，求數(shù)列{

bn

}的前

n

項(xiàng)和

Tn

.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)2

數(shù)列與其他知識綜合角度1

數(shù)列與函數(shù)綜合

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(1)當(dāng)

x

1＋

x

2＝1時(shí)，求

f

(

x

1)＋

f

(

x

2)的值；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解題策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象等進(jìn)行研究.(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，一般要利用數(shù)列的有關(guān)公式對式子化簡變形.注意數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，要靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練2

(1)函數(shù)

f

(

x

)的定義域?yàn)镽，滿足

f

(

x

＋1)＝2

f

(

x

)，且當(dāng)

x

∈[0，1)時(shí)，

f

(

x

)＝

sinπ

x

.當(dāng)

x

∈[0，＋∞)時(shí)，將函數(shù)

f

(

x

)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為

a

1，

a

2，

a3，…，

an

，…，并記相應(yīng)的極大值為

b

1，

b

2，

b

3，…，

bn

，…，則數(shù)列{

an

＋

bn

}

的前9項(xiàng)和為

?.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)設(shè)曲線

y

＝

xn

＋1(

n

∈N*)在點(diǎn)(1，1)處的切線與

x

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

xn

.令

an

＝lgxn

，則數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和

Sn

＝

?.

－lg(

n

＋1)

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3角度2

數(shù)列與不等式綜合例3

[2023天津高考]已知數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列，

a

2＋

a

5＝16，

a

5－

a

3＝4.(2)已知{

bn

}為等比數(shù)列，對于任意

k

∈N*，若2

k

－1≤

n

≤2

k

－1，則

bk

＜

an

＜

bk

＋1.(i)當(dāng)

k

≥2時(shí)，求證：2

k

－1＜

bk

＜2

k

＋1；(ii)求{

bn

}的通項(xiàng)公式及其前

n

項(xiàng)和.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧1.數(shù)列與不等式的綜合問題的解題策略(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性或者借助數(shù)列對應(yīng)的函

數(shù)的單調(diào)性求解.(2)對于與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題，要靈活選擇不等式的證明方法，有時(shí)需構(gòu)

造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值來證明.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

B.3＜S100＜4A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)1/2023西安檢測]在公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列{

an

}中，

Sn

為數(shù)列{

an

}的

前

n

項(xiàng)和，請?jiān)冖?/p>

a

1＋

a

3＋

a

5＋

a

7＝20，

a

2＋

a

3＝

a

6；②2

Sn

＝(

an

＋2)(

an

－1)；

③

a

1，

a

3，

a

7成等比數(shù)列，

a

2＝3這三個(gè)條件中，任選一個(gè)完成下面的問題.(1)求數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式；123

123

123(2)若數(shù)列{

bn

}是公比為

q

的等比數(shù)列，且

b

1＝

a

1，

b

2＝

a

3，

bk

＝

am

(

m

，

k

均是大

于2的正整數(shù))，記

Tn

為數(shù)列{

bn

}的前

n

項(xiàng)和，求證：

Tk

＝2

m

.

故

Tk

＝2

m

得證.123

123

123

(1)求{

an

}的通項(xiàng)公式；

123

123

123

A.2B.－2C.±2

A123456789101112131415

A.256B.254C.128D.126D123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

A1234567891011121314154.[2024湖南永州聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3＋3

x

2＋

x

＋1，設(shè)數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式為

an

＝－2

n

＋9，則

f

(

a

1)＋

f

(

a

2)＋…＋

f

(

a

9)＝(

D

)A.36B.24C.20D.18[解析]

f

(

x

)＝

x

3＋3

x

2＋

x

＋1＝(

x

＋1)3－2(

x

＋1)＋2，所以曲線

f

(

x

)的對稱中心

為(－1，2)，即

f

(

x

)＋

f

(－2－

x

)＝4.因?yàn)?/p>

an

＝－2

n

＋9，易知數(shù)列{

an

}為等差數(shù)

列，

a

5＝－1，

a

1＋

a

9＝

a

2＋

a

8＝

a

3＋

a

7＝

a

4＋

a

6＝2

a

5＝－2，所以

f

(

a

1)＋

f

(

a

9)＝

f

(

a

2)＋

f

(

a

8)＝

f

(

a

3)＋

f

(

a

7)＝

f

(

a

4)＋

f

(

a

6)＝4，

f

(

a

5)＝

f

(－1)＝2，所以

f

(

a

1)＋

f

(

a

2)＋…＋

f

(

a

9)＝4×4＋2＝18.故選D.D1234567891011121314155.[多選/2023昆明市模擬]已知

a

，

b

，

c

為非零實(shí)數(shù)，則下列說法一定正確的是

(

AD

)C.若a2，b2，c2成等比數(shù)列，則a，b，c成等比數(shù)列D.若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等比數(shù)列AD123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

2021

1234567891011121314158.[2024江蘇南京統(tǒng)考]已知公比大于1的等比數(shù)列{

an

}滿足：

a

1＋

a

4＝18，

a

2

a

3＝

32.(1)求{

an

}的通項(xiàng)公式.

123456789101112131415

123456789101112131415

1234567891011121314159.[2023山東濰坊模擬]在公差不為零的等差數(shù)列{

an

}中，

a

1＝1，且

a

1，

a

3，

a

13成

等比數(shù)列，數(shù)列{

bn

}的前

n

項(xiàng)和

Sn

滿足

Sn

＝2

bn

－2.(1)求數(shù)列{

an

}和{

bn

}的通項(xiàng)公式；

123456789101112131415(2)設(shè)

cn

＝

bn

－

an

，數(shù)列{

cn

}的前

n

項(xiàng)和為

Tn

，若不等式

Tn

＋

n

2－

n

＞log2(1－

a

)對

任意

n

∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)

a

的取值范圍.

123456789101112131415

A.－4B.－1C.0D.2

A123456789101112131415

12345678910111213141511.[多選/2024浙江名校聯(lián)考]已知數(shù)列{

an

}是公比為

q

的等比數(shù)列，且

a

1＞0，則下

列敘述中正確的是(

BD

)A.若a1＋a4＝a2＋a3，則q＝1B.若a2＝lna1＋lna3，則q＜0D.若0＜a1＜1，且a1＋a2＋a3＝ln(a1＋a2＋a3＋a4)，則q＞1BD123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141512.[2024惠州市一調(diào)]設(shè)等差數(shù)列{

an

}的公差為

d

，且

d

＝2

a

1，

a

5＝9.(1)求數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式；

123456789101112131415

123456789101112131415

(1)求數(shù)列{

an

}和{

bn

}的通項(xiàng)公式；123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415