第五章 突破3 數(shù)列中的創(chuàng)新型問(wèn)題

第五章數(shù)列突破3數(shù)列中的創(chuàng)新型問(wèn)題命題點(diǎn)1

數(shù)學(xué)文化情境下的數(shù)列應(yīng)用

5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決數(shù)學(xué)文化問(wèn)題的步驟讀懂題意會(huì)“脫去”題目中的背景，提取關(guān)鍵信息.構(gòu)造模型由題意構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型.“解?！卑褑?wèn)題轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題，如求指定項(xiàng)、公差(或公比)、項(xiàng)

數(shù)、通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和等.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練1

[2023安徽名校聯(lián)考]“物不知數(shù)”原載于《孫子算經(jīng)》，它的系統(tǒng)解法是南宋

數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章·大衍求一術(shù)》中給出的.“大衍求一術(shù)”是中國(guó)古算中

最具獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問(wèn)題.現(xiàn)有一道同余式組問(wèn)

題：將正整數(shù)中，被4除余1且被6除余3的數(shù)，按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)

列{

an

}，記{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，則

S

10＝(

C

)A.495B.522C.630D.730

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)2

現(xiàn)代生活情境下的數(shù)列應(yīng)用例2

某市抗洪指揮部接到最新雨情預(yù)報(bào)，未來(lái)24h城區(qū)攔洪壩外洪水將超過(guò)警戒水

位，因此需要緊急抽調(diào)工程機(jī)械加高加固攔洪壩.經(jīng)測(cè)算，加高加固攔洪壩工程需要

調(diào)用20輛某型號(hào)翻斗車，平均每輛翻斗車需要工作24h.而抗洪指揮部目前只有一輛

翻斗車可立即投入施工，其余翻斗車需要從其他施工現(xiàn)場(chǎng)抽調(diào).若抽調(diào)的翻斗車每隔

20min才有一輛到達(dá)施工現(xiàn)場(chǎng)投入工作，要在24h內(nèi)完成攔洪壩加高加固工程，指

揮部至少還需要抽調(diào)這種型號(hào)翻斗車(

C

)A.25輛B.24輛C.23輛D.22輛C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練2

[多選]如圖所示，這是小朋友們喜歡玩的彩虹塔疊疊樂(lè)玩具.某數(shù)學(xué)興趣小組

利用該玩具制訂如下玩法：在2號(hào)桿中自下而上串有由大到小的

n

(

n

∈N*)個(gè)彩虹

圈，將2號(hào)桿中的彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿中，3號(hào)桿可以作為過(guò)渡使用；每次只能

移動(dòng)一個(gè)彩虹圈，且無(wú)論在哪個(gè)桿中，小的彩虹圈必須放置在大的上方；將一個(gè)彩

虹圈從一個(gè)桿移動(dòng)到另一個(gè)桿中記為移動(dòng)1次，記

an

為2號(hào)桿中

n

個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)

到1號(hào)桿所需要的最少移動(dòng)次數(shù)，設(shè)

bn

＝

an

＋1－

n

，則下面結(jié)論正確的是(

ABD

)ABDA.a3＝7B.an＋1＝2an＋1C.bn＝2n＋n－1例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3[解析]由題意易得，

a

1＝1，

a

2＝3.易知將

n

＋1個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿中所需

要的最少次數(shù)為

an

＋1，若要將2號(hào)桿中的

n

＋1個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿中，則第

一步，將除了最大的彩虹圈的

n

個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到3號(hào)桿中，所需要移動(dòng)的最少次

數(shù)為

an

；第二步，將最大的彩虹圈移動(dòng)到1號(hào)桿中，最少需要移動(dòng)1次；第三步，將

3號(hào)桿中的

n

個(gè)彩虹圈全部移動(dòng)到1號(hào)桿中，需要移動(dòng)的最少次數(shù)為

an

，所以

an

＋1＝

2

an

＋1，所以

an

＋1＋1＝2(

an

＋1).又

a

1＋1＝2，所以數(shù)列{

an

＋1}是以2為首項(xiàng)，2

為公比的等比數(shù)列，所以

an

＋1＝2

n

，

an

＝2

n

－1，

a

3＝7，所以選項(xiàng)A，B均正確；

因?yàn)?/p>

bn

＝

an

＋1－

n

，所以

bn

＝2

n

＋1－1－

n

，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)3

數(shù)列中的新定義問(wèn)題

A.5B.6C.7D.8A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練3

函數(shù)

y

＝[

x

]稱為高斯函數(shù)，[

x

]表示不超過(guò)

x

的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg99]

＝1.已知數(shù)列{

an

}滿足

a

3＝3，且

an

＝

n

(

an

＋1－

an

)，若

bn

＝[lgan

]，則數(shù)列{

bn

}的

前2025項(xiàng)和為

?.

4968

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)1/2023河南鄭州一模]我國(guó)古代有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有男子善走，日增

等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問(wèn)日增幾何？其大意是：現(xiàn)有

一個(gè)善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走

d

里，九天他一

共行走了一千二百六十里，求

d

的值.關(guān)于該問(wèn)題，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

A

)A.d＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里A123

123

A.7年B.8年C.9年D.10年B123

故選B.1233.[命題點(diǎn)3/多選/2023北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)期中]若一個(gè)數(shù)列的第

m

項(xiàng)等于這

個(gè)數(shù)列的前

m

項(xiàng)的乘積，則稱這個(gè)數(shù)列為“

m

積特征列”，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比

數(shù)列{

an

}為“6積特征列”，且

a

1＞1，則當(dāng){

an

}的前

n

項(xiàng)之積最大時(shí)，

n

的值為

(

CD

)A.5B.4C.3D.2CD123

123

1.[2023武漢市5月模擬]將1，2，…，

n

按照某種順序排成一列得到數(shù)列{

an

}，對(duì)任

意1≤

i

＜

j

≤

n

，如果

ai

＞

aj

，那么稱數(shù)對(duì)(

ai

，

aj

)構(gòu)成數(shù)列{

an

}的一個(gè)逆序?qū)?若

n

＝4，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列{

an

}的個(gè)數(shù)為(

B

)A.4B.5C.6D.7[解析]由題知數(shù)列{

an

}中的項(xiàng)都是正整數(shù)，當(dāng)

n

＝4時(shí)，1≤

i

＜

j

≤4，將1，2，

3，4按照某種順序排成一列，則用列舉法列出所有恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的組合為

{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5

個(gè)，故選B.B1234567

A.60B.120C.240D.480B1234567

1234567

19

1234567

5

12345675.我國(guó)古人將一年分為二十四個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的

量相同，冬至的晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至的晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始.已知冬至的晷長(zhǎng)為13.5尺，

芒種的晷長(zhǎng)為2.5尺，則一年中夏至到大雪的晷長(zhǎng)的和為

尺.84

1234567

12345676.某項(xiàng)測(cè)試有10道必答題，甲和乙參加該測(cè)試，分別用數(shù)列{

an

}和{

bn

}記錄他們的

成績(jī).若第

k

題甲答對(duì)，則

ak

＝

k

，若第

k

題甲答錯(cuò)，則

ak

＝－

k

；若第

k

題乙答對(duì)，

則

bk

＝2

k

－1

，若第

k

題乙答錯(cuò)，則

bk

＝－2

k

－1.已知

b

1＋

b

2＋…＋

b

10＝767，

a

1

b

1

＋

a

2

b