增分微課3 與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

增分微課3

與球有關(guān)的切、接問(wèn)題類型一類型二類型三作業(yè)手冊(cè)教師備用習(xí)題類型一

幾何體的外接球角度1

常規(guī)幾何

A

［思路點(diǎn)撥］（1）結(jié)合題意知，球心、底面外接圓圓心、棱臺(tái)的頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則可利用勾股定理求解，要注意討論球心的位置.

C

C

[總結(jié)反思]到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)球心到其他頂點(diǎn)的距離也等于半徑，列關(guān)系式求解即可.要注意補(bǔ)形法、截面法等方法的運(yùn)用.

B

D

角度2

復(fù)雜幾何體例2

[2023·金麗衢十二校聯(lián)考]

將兩個(gè)全等的正三棱錐底面重合得到一個(gè)六面體，若該六面體存在外接球，且正三棱錐的體積為1，則六面體外接球的體積為_(kāi)

_______.

［思路點(diǎn)撥］

根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)，確定六面體外接球球心的位置及半徑與正三棱錐的底邊長(zhǎng)、高的關(guān)系，從而列方程求得半徑，即可得六面體外接球的體積.

B

類型二

幾何體的內(nèi)切球

D

［思路點(diǎn)撥］

求出該正三棱錐的表面積與體積，再利用等體積法列方程求解.

[總結(jié)反思]處理與內(nèi)切球相關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注意：（1）找準(zhǔn)切點(diǎn)及球心；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的常用方法.

類型三

最值問(wèn)題

C

[總結(jié)反思]與球有關(guān)的切、接問(wèn)題中的最值問(wèn)題是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)，常見(jiàn)的求解方法主要有以下三種.（1）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.通過(guò)引入長(zhǎng)度參數(shù)或角度參數(shù),建立關(guān)于這些參變量的函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.（2）轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.根據(jù)題目的特征,尋找或確定一個(gè)數(shù)量關(guān)系比較集中的平面,將題目中的其他條件逐步向該平面轉(zhuǎn)移,然后利用平面幾何方法或三角函數(shù)來(lái)解決.（3）利用不等式求解.可通過(guò)引入多個(gè)變量建立數(shù)學(xué)模型,然后利用不等式求其最值.

B

（2）

[2023·湖南名校聯(lián)考]

定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內(nèi)切球半徑等于1，則該圓錐體積的最小值為(

)

C

教師備用習(xí)題【備選理由】例1考查利用軸截面解決圓臺(tái)與球的相切問(wèn)題，難度不大；例2考查四面體的外接球問(wèn)題，以及過(guò)球內(nèi)一點(diǎn)所作的球的截面面積的最值問(wèn)題；例3以外接球?yàn)檩d體考查三棱錐體積的計(jì)算，需要根據(jù)所給條件證明一些線與線、線與面的位置關(guān)系；例4考查翻折構(gòu)成的幾何體與球的切接問(wèn)題，涉及的知識(shí)比較多，如二面角、位置關(guān)系、截面問(wèn)題，有一定的綜合性；例5考查四面體與兩個(gè)球的切接問(wèn)題，有利于開(kāi)拓學(xué)生的空間想象能力.

C

A

D

AC

D

作業(yè)手冊(cè)◆

基礎(chǔ)熱身

◆1.棱長(zhǎng)為4的正方體的內(nèi)切球的表面積為(

)

C

1234567891011121314152.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為1的半圓，則此圓錐的內(nèi)切球的表面積為(

)

C

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B

1234567891011121314154.一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一個(gè)截面，則截面不可能的圖形為(

)

DA.&1&

B.&2&

C.&3&

D.&4&

[解析]

當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)可得選項(xiàng)C，當(dāng)截面過(guò)正方體的對(duì)角面時(shí)可得選項(xiàng)B，當(dāng)截面與上下底面垂直且不平行于任何側(cè)面、不過(guò)對(duì)角面時(shí)可得選項(xiàng)A，但無(wú)論如何都不能截出選項(xiàng)D，故選D．1234567891011121314155.4個(gè)半徑為1的球兩兩相切，則它們的外切正四面體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_________.

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綜合提升

◆

C

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1234567891011121314157.[2024·常州模擬]

將一個(gè)半徑為6的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為(

)

D

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A

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B

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ADA.2

B.4

C.12

D.14

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123456789101112131415①②123456789101112131415

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能力拓展

◆

D

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