第六章 突破2 解三角形中的熱點問題

第六章平面向量、復(fù)數(shù)突破2解三角形中的熱點問題

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5方法技巧解三角形中的最值(范圍)問題的求解方法函數(shù)法利用“一角一函數(shù)”模型或二次函數(shù)模型求解.基本不等式法先轉(zhuǎn)化為“和”或“積”為定值的形式，然后利用基本不等式求解.幾何法根據(jù)已知條件畫出圖形，結(jié)合圖形，找出臨界位置，數(shù)形結(jié)合求解.注意注意題目中隱含條件的應(yīng)用，如

A

＋

B

＋

C

＝π，0＜

A

＜π，｜

b

－

c

｜＜

a

＜

b

＋

c

，三角形中大邊對大角等.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5訓(xùn)練1

[全國卷Ⅱ]△

ABC

中，sin2

A

－sin2

B

－sin2

C

＝sin

B

sin

C

.

(1)求

A

；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

(2)若

BC

＝3，求△

ABC

周長的最大值.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5命題點2

多三角形問題例2

[2021新高考卷Ⅰ]記△

ABC

的內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

.已知

b

2＝

ac

，點

D

在邊

AC

上，

BD

sin∠

ABC

＝

a

sin

C

.

(1)證明：

BD

＝

b

；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5(2)若

AD

＝2

DC

，求cos∠

ABC

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

由余弦定理得

b

2＝

a

2＋

c

2－2

ac

cos∠

ABC

②，

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5方法技巧多三角形問題的解題思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦定理或

余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件(如公共邊，公

共角，鄰角之間的關(guān)系)，求出結(jié)果.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5方法技巧對于解三角形中的證明問題，要仔細觀察條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者之間的

差異，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉(zhuǎn)換為結(jié)論，即可得證.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5訓(xùn)練3

[2023石家莊市三檢]已知△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的對邊分別是

a

，

b

，

c

，

sin

A

＝4sin

C

cos

B

，且

c

＝2.(1)證明：tanB

＝3tanC

；[解析]

(1)因為sin

A

＝4sin

C

cos

B

，所以sin(

B

＋

C

)＝4sin

C

cos

B

，即sin

B

cos

C

＋cos

B

sin

C

＝4sin

C

cos

B

，即sin

B

cos

C

＝3sin

C

cos

B

，所以tanB

＝3tanC

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5(2)若

b

2＋

c

2＝8，求

b

，

c

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5方法技巧如圖，在△

ABC

中，1.若

AD

為

BC

邊上的中線，則：

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

注意(1)利用相等角的余弦值相等，從而結(jié)合余弦定理列方程是解三角形中的常用

方法；(2)在已知條件中見到面積時，要考慮到三角形的高線.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4例5

[解析]設(shè)

BD

＝

k

(

k

＞0)，則

CD

＝2

k

.

1234

12342.[命題點1]在平面四邊形

ABCD

中，

A

＝

B

＝

C

＝75°，

BC

＝2，則

AB

的取值范圍

是

?.

12343.[命題點2]如圖，四邊形

ABCD

中，

AB

2＋

BC

2＋

AB

·

BC

＝

AC

2.(1)若

AB

＝3

BC

＝3，求△

ABC

的面積；

1234

1234

12344.[命題點2，3，4/2023華南師大附中三模]在△

ABC

中，

AB

＝2

AC

，∠

BAC

的平

分線交邊

BC

于點

D

.

(1)證明：

BC

＝3

CD

；

1234

1234

1.[2023西安檢測]已知△

ABC

的內(nèi)角

A

，

B

，

C

對應(yīng)的邊分別是

a

，

b

，

c

，內(nèi)角

A

的平分線交邊

BC

于

D

點，且

AD

＝4.若(2

b

＋

c

)cos∠

BAC

＋

a

cos

C

＝0，則△

ABC

面積的最小值是

?.

12345678

12345678

(4，

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678

12345678(1)求證：△

ABC

是等腰三角形；

12345678

12345678(2)若

D

為邊

BC

的中點，且

AD

＝1，求△

ABC

周長的最大值.

12345678

12345678

12345678

12345678

所以

DA

⊥

BA

，故

BD

是☉

O

的直徑，所以

BC

⊥

CD

.

12345678

則

CB

＝2cosθ，

CD

＝2sinθ，

12345678解法三

如圖，設(shè)△

ABC

的外接圓的圓心為

O

，半徑為

R

.

所以

DA

⊥

BA

，故

BD

是☉

O

的直徑，所以

BC

⊥

CD

.

12345678

設(shè)四邊形

ABCD

的面積為

S

，點

C

到

BD

的距離為

h

，

123456788.[2024湖南張家界調(diào)考]如圖，在銳角三角形

ABC

中，內(nèi)角

A

，

B

，

C

所對的邊分

別為

a