第65講　二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布

第65講二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布【備選理由】例1考查二項(xiàng)分布與不等式的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算能力與邏輯思維能力;例2考查超幾何分布的應(yīng)用;例3考查正態(tài)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用,考查分析與解決問題的綜合能力.例1[配例1使用]2023年“五一”期間,為推動(dòng)消費(fèi)市場(chǎng)復(fù)蘇,補(bǔ)貼市民,深圳市各區(qū)政府發(fā)放各類消費(fèi)券,其中某區(qū)政府發(fā)放了市內(nèi)旅游消費(fèi)券,該消費(fèi)券包含A,B,C,D,E,F六個(gè)旅游項(xiàng)目,甲、乙、丙、丁四人每人計(jì)劃從中任選兩個(gè)不同的旅游項(xiàng)目,且他們的選擇互不影響.(1)求甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目A的概率.(2)記X為這四個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(3)如果將甲、乙、丙、丁四個(gè)人改為n(n>4)個(gè)人,其他條件相同,那么這n個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是多少?解:(1)由題意可知,每個(gè)人選擇項(xiàng)目A的概率為C51C62=13故甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目A的概率為1-234=(2)由(1)可知,每個(gè)人選擇項(xiàng)目A的概率為13,且每個(gè)人是否選擇項(xiàng)目A相互獨(dú)立故X服從二項(xiàng)分布B4,∴P(X=0)=234=1681,P(X=1)=C41×1P(X=2)=C42×132×1-132=2481=827,P(X=3)=C43×133則X的分布列為X01234P1632881∴X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4×13=43(3)設(shè)Y為這n個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù),且選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能為k,則P(Y=k)易知Y~Bn,13,n>4,則P(Y=i)=Cni13i23n-i=即2n!k!(n-k)!≥n!(∵n,k∈N*,n>4,k≤n,∴當(dāng)n=3m+2,m∈N*時(shí),不等式(*)為m≤k≤m+1,則k=m或k=m+1(m∈N*),即當(dāng)n被3除余2時(shí),選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是n-23當(dāng)n=3m+1,m∈N*且m≥2時(shí),不等式(*)為m-13≤k≤m+23,則k=m(m∈N*,m≥2),即當(dāng)n被3除余1時(shí),選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是當(dāng)n=3m,m∈N*且m≥2時(shí),不等式(*)為m-23≤k≤m+13,則k=m(m∈N*,m≥2),即當(dāng)n被3整除時(shí),選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是例2[配例2使用]文化月活動(dòng)中,某班級(jí)在宣傳欄貼出標(biāo)語“學(xué)好數(shù)學(xué)好”,根據(jù)不同斷句可以表達(dá)不同意思,“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué),“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性,假設(shè)一段時(shí)間后,隨機(jī)有N個(gè)字脫落.(1)若N=3,用隨機(jī)變量X表示脫落的字中“學(xué)”的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及期望;(2)若N=2,假設(shè)某同學(xué)撿起后隨機(jī)貼回,求標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率.解:(1)方法一:隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C33C53=110,P(X=1)=C21C32C53所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P133則隨機(jī)變量X的期望E(X)=0×110+1×35+2×310方法二:易知隨機(jī)變量X服從超幾何分布,X的分布列為P(X=k)=C2kC33-kC53,k=0,1,2,所以E(2)方法一:按從左到右看,設(shè)“脫落第i個(gè)‘學(xué)’”為事件Ai(i=1,2),“脫落第j個(gè)‘好’”為事件Bj(j=1,2),“脫落‘?dāng)?shù)’”為事件C,“脫落2個(gè)字”為事件M,則M=A1A2+B1B2+A1B1+A1B2+A2B1+A2B2+A1C+A2C+B1C+B2C,P(A1A2)=C22C52=110,P(B1B2P(A1B1+A1B2+A2B1+A2B2)=C21·C21C52=410=25,P(A1C+A2C)=C21·C11C52所以標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率P=[P(A1A2)+P(B1B2)]×1+[P(A1B1+A1B2+A2B1+A2B2)+P(A1C+A2C)+P(B1C+B2C)]×12=15+45×1方法二:由題知,脫落的2個(gè)字不同的概率p=1-C22C52所以標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為(1-p)+12p=3例3[配例2、例3使用][2024·四川敘永一中模擬]為了不斷提高教育教學(xué)能力,某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后,為了解學(xué)習(xí)情況,負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間(滿時(shí)長(zhǎng)為15小時(shí)),將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六組,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求a的值;(2)用樣本估計(jì)總體,該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本的平均數(shù),經(jīng)計(jì)算知σ≈2.39,若該地區(qū)有5000名教職工,試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù);(3)現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人,并從中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查,求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9)內(nèi)的人數(shù)的數(shù)字期望(結(jié)果四舍五入取整數(shù)).附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)由題意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1,解得a=0.12.(2)由題意知,樣本平均數(shù)為4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84,所以μ≈9.84.又σ≈2.39,所以P(7.45<X≤14.62)≈P(μ-σ<X≤μ+2σ)=12P(μ-σ≤X≤μ+σ)+12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈12×(0.6827+0.9545)=0.8186因?yàn)?000×0.8186=4093,所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù)約為4093.(3)由題知,樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的頻率之比為0.24∶0.36,即2∶3,所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7,9),[9,11)內(nèi)的人數(shù)分別為