第65講　二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布

第65講二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布【備選理由】例1考查二項分布與不等式的綜合應用,考查運算能力與邏輯思維能力;例2考查超幾何分布的應用;例3考查正態(tài)分布與超幾何分布的綜合應用,考查分析與解決問題的綜合能力.例1[配例1使用]2023年“五一”期間,為推動消費市場復蘇,補貼市民,深圳市各區(qū)政府發(fā)放各類消費券,其中某區(qū)政府發(fā)放了市內旅游消費券,該消費券包含A,B,C,D,E,F六個旅游項目,甲、乙、丙、丁四人每人計劃從中任選兩個不同的旅游項目,且他們的選擇互不影響.(1)求甲、乙、丙、丁這四個人中至少有一人選擇項目A的概率.(2)記X為這四個人中選擇項目A的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望.(3)如果將甲、乙、丙、丁四個人改為n(n>4)個人,其他條件相同,那么這n個人中選擇項目A的人數(shù)最有可能是多少?解:(1)由題意可知,每個人選擇項目A的概率為C51C62=13故甲、乙、丙、丁這四個人中至少有一人選擇項目A的概率為1-234=(2)由(1)可知,每個人選擇項目A的概率為13,且每個人是否選擇項目A相互獨立故X服從二項分布B4,∴P(X=0)=234=1681,P(X=1)=C41×1P(X=2)=C42×132×1-132=2481=827,P(X=3)=C43×133則X的分布列為X01234P1632881∴X的數(shù)學期望E(X)=4×13=43(3)設Y為這n個人中選擇項目A的人數(shù),且選擇項目A的人數(shù)最有可能為k,則P(Y=k)易知Y~Bn,13,n>4,則P(Y=i)=Cni13i23n-i=即2n!k!(n-k)!≥n!(∵n,k∈N*,n>4,k≤n,∴當n=3m+2,m∈N*時,不等式(*)為m≤k≤m+1,則k=m或k=m+1(m∈N*),即當n被3除余2時,選擇項目A的人數(shù)最有可能是n-23當n=3m+1,m∈N*且m≥2時,不等式(*)為m-13≤k≤m+23,則k=m(m∈N*,m≥2),即當n被3除余1時,選擇項目A的人數(shù)最有可能是當n=3m,m∈N*且m≥2時,不等式(*)為m-23≤k≤m+13,則k=m(m∈N*,m≥2),即當n被3整除時,選擇項目A的人數(shù)最有可能是例2[配例2使用]文化月活動中,某班級在宣傳欄貼出標語“學好數(shù)學好”,根據(jù)不同斷句可以表達不同意思,“學/好數(shù)學/好”指要學好的數(shù)學,“學好/數(shù)學/好”強調數(shù)學學習的重要性,假設一段時間后,隨機有N個字脫落.(1)若N=3,用隨機變量X表示脫落的字中“學”的個數(shù),求隨機變量X的分布列及期望;(2)若N=2,假設某同學撿起后隨機貼回,求標語恢復原樣的概率.解:(1)方法一:隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C33C53=110,P(X=1)=C21C32C53所以隨機變量X的分布列為X012P133則隨機變量X的期望E(X)=0×110+1×35+2×310方法二:易知隨機變量X服從超幾何分布,X的分布列為P(X=k)=C2kC33-kC53,k=0,1,2,所以E(2)方法一:按從左到右看,設“脫落第i個‘學’”為事件Ai(i=1,2),“脫落第j個‘好’”為事件Bj(j=1,2),“脫落‘數(shù)’”為事件C,“脫落2個字”為事件M,則M=A1A2+B1B2+A1B1+A1B2+A2B1+A2B2+A1C+A2C+B1C+B2C,P(A1A2)=C22C52=110,P(B1B2P(A1B1+A1B2+A2B1+A2B2)=C21·C21C52=410=25,P(A1C+A2C)=C21·C11C52所以標語恢復原樣的概率P=[P(A1A2)+P(B1B2)]×1+[P(A1B1+A1B2+A2B1+A2B2)+P(A1C+A2C)+P(B1C+B2C)]×12=15+45×1方法二:由題知,脫落的2個字不同的概率p=1-C22C52所以標語恢復原樣的概率為(1-p)+12p=3例3[配例2、例3使用][2024·四川敘永一中模擬]為了不斷提高教育教學能力,某地區(qū)教育局利用假期在某學習平臺組織全區(qū)教職工進行網絡學習.第一學習階段結束后,為了解學習情況,負責人從平臺數(shù)據(jù)庫中隨機抽取了300名教職工的學習時間(滿時長為15小時),將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六組,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(1)求a的值;(2)用樣本估計總體,該地區(qū)教職工學習時間X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本的平均數(shù),經計算知σ≈2.39,若該地區(qū)有5000名教職工,試估計該地區(qū)教職工中學習時間在(7.45,14.62]內的人數(shù);(3)現(xiàn)采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從樣本中學習時間在[7,9),[9,11)內的教職工中隨機抽取5人,并從中隨機抽取3人進行調查,求這3人中學習時間在[7,9)內的人數(shù)的數(shù)字期望(結果四舍五入取整數(shù)).附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)由題意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)=1,解得a=0.12.(2)由題意知,樣本平均數(shù)為4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84,所以μ≈9.84.又σ≈2.39,所以P(7.45<X≤14.62)≈P(μ-σ<X≤μ+2σ)=12P(μ-σ≤X≤μ+σ)+12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈12×(0.6827+0.9545)=0.8186因為5000×0.8186=4093,所以估計該地區(qū)教職工中學習時間在(7.45,14.62]內的人數(shù)約為4093.(3)由題知,樣本中學習時間在[7,9),[9,11)內的頻率之比為0.24∶0.36,即2∶3,所以抽取的5人中學習時間在[7,9),[9,11)內的人數(shù)分別為