北京市101中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

北京市101中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在中，，點是和角平分線的交點，則等于（）A． B． C． D．2．已知：關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（）A．-4或6 B．-4或1 C．6或1 D．-4或6或13．某小區(qū)有一塊邊長為a的正方形場地，規(guī)劃修建兩條寬為b的綠化帶.方案一如圖甲所示，綠化帶面積為S甲：方案二如圖乙所示，綠化帶面積為S乙.設(shè)，下列選項中正確的是（）A． B． C． D．4．若把分式中的x和y都擴大3倍，那么分式的值（）A．縮小3倍 B．不變 C．擴大3倍 D．縮小6倍5．等腰三角形有一個外角是110°，則其頂角度數(shù)是（）A．70° B．70°或40° C．40° D．110°或40°6．要使分式有意義，x應(yīng)滿足的條件是（）A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠37．如圖1、2、3中，點、分別是正、正方形、正五邊形中以點為頂點的相鄰兩邊上的點，且，交于點，的度數(shù)分別為，，，若其余條件不變，在正九邊形中，的度數(shù)是（）A． B． C． D．8．將直線y＝－x＋a的圖象向下平移2個單位后經(jīng)過點A（3，3），則a的值為（）A．－2 B．2 C．－4 D．89．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點，且，延長與的延長線交于點，連接，連接．下列結(jié)論中：①；②是等邊角形：③；④；⑤.其中正確的是（）A．②③⑤ B．①④⑤ C．①②③ D．①②④10．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（）A．B．C．D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如果分式有意義，那么x的取值范圍是____________．12．若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是__．13．若，則__________14．如圖，在中，，，將其折疊，使點落在邊上處，折痕為，則_______________．15．當x≠__時，分式有意義．16．數(shù)學(xué)老師計算同學(xué)們一學(xué)期的平均成績時，將平時、期中和期末的成績按3:3:4計算，若小紅平時、期中和期末的成績分別是90分、100分、90分，則小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績是____分．17．A，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程____________．18．三角形的三個內(nèi)角分別為75°，80°，25°，現(xiàn)有一條直線將它分成兩個等腰三角形，那么這兩個等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）每年的月日為世界環(huán)保日，為了提倡低碳環(huán)保，某公司決定購買臺節(jié)省能源的新設(shè)備，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備可供選購.經(jīng)調(diào)查：購買臺甲型設(shè)備比購買臺乙型設(shè)備多花萬元，購買臺甲型設(shè)備比購買臺乙型設(shè)備少花萬元.（1）求甲、乙兩種型號設(shè)備每臺的價格；（2）該公司經(jīng)決定購買甲型設(shè)備不少于臺，預(yù)算購買節(jié)省能源的新設(shè)備資金不超過萬元，你認為該公司有哪幾種購買方案；（3）在（2）的條件下，已知甲型設(shè)備每月的產(chǎn)量為噸，乙型設(shè)備每月的產(chǎn)量為噸.若每月要求產(chǎn)量不低于噸，為了節(jié)約資金，請你為該公司設(shè)計一種最省錢的購買方案.20．（6分）（1）在等邊三角形中，①如圖①，，分別是邊，上的點，且，與交于點，則的度數(shù)是___________度；②如圖②，，分別是邊，延長線上的點，且，與的延長線交于點，此時的度數(shù)是____________度；（2）如圖③，在中，，是銳角，點是邊的垂直平分線與的交點，點，分別在，的延長線上，且，與的延長線交于點，若，求的大?。ㄓ煤ǖ拇鷶?shù)式表示）．21．（6分）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分線交BC于E，交AC于D，且AD=DE（1）求證：∠ABD=∠C；（2）求∠C的度數(shù)．22．（8分）在中，，點，點在上，連接，．(1)如圖，若，，，求的度數(shù)；(2)若，，直接寫出(用的式子表示)23．（8分）在等邊中，點是線段的中點，與線段相交于點與射線相交于點．如圖1，若，垂足為求的長；如圖2，將中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，仍與線段相交于點．求證：．如圖3，將中的繼續(xù)繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使與線段的延長線交于點作于點，若設(shè)，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．24．（8分）計算：（1）；（2）25．（10分）如圖，已知A(3，0)，B(0，-1)，連接AB，過B點作AB的垂線段BC，使BA=BC，連接AC（1）如圖1，求C點坐標；（2）如圖2，若P點從A點出發(fā)沿x軸向左平移，連接BP，作等腰直角，連接CQ，當點P在線段OA上，求證：PA=CQ；（3）在（2）的條件下若C、P，Q三點共線，直接寫出此時∠APB的度數(shù)及P點坐標26．（10分）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象相交于點，且．（1）分別求出這兩個函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）點在軸上，且是等腰三角形，請直接寫出點的坐標．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，然后得到答案.【詳解】解：∵在中，，∴，∵BD平分∠ABC，DC平分∠ACB，∴，∴，∴；故選：C.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的定理和定義進行解題，正確得到.2、D【分析】根據(jù)分式方程無解，可以得出關(guān)于m的方程，解方程可得到答案.【詳解】解：兩邊都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2)當m=1時，2(x+2)+mx=3(x-2)無解，分式方程無解；當x=2時，2(x+2)+mx=3(x-2)8+2m=0m=-4當x=-2時，2(x+2)+mx=3(x-2)0-2m=-12m=6故選D.【點睛】此題主要考查了分式方程無解的判斷，注意m=1的情況.3、D【分析】由題意可求S甲=2ab-b2，S乙=2ab，代入可求k的取值范圍．【詳解】∵S甲=2ab-b2，S乙=2ab．∴∵a＞b＞0∴＜k＜1故選D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，能用代數(shù)式正確表示陰影部分面積是本題的關(guān)鍵．4、A【分析】把分式中的x和y都擴大3倍后的分式進行化簡，觀察變形后的分式可得答案．【詳解】解：把分式中的x和y都擴大3倍后的分式為：變形后的分式的值是原分式的值的．故選A．【點睛】本題考查的是利用分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5、B【分析】題目給出了一個外角等于110°，沒說明是頂角還是底角的外角，所以要分兩種情況進行討論．【詳解】解：①當110°角為頂角的外角時，頂角為180°﹣110°＝70°；②當110°為底角的外角時，底角為180°﹣110°＝70°，頂角為180°﹣70°×2＝40°．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．6、D【分析】本題主要考查分式有意義的條件：分母不能為1．【詳解】∵x-3≠1，∴x≠3，故選：D．【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，當分母不為1時，分式有意義．7、C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60，證△ABE≌△BCD，推出∠BAE＝∠CBD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠ABC＝60，同理其它情況也是∠APD等于其中一個角；正四邊形時，同樣能推出∠APD＝∠ABC＝90，正五邊形時，∠APD＝∠ABC＝＝108，正六邊形時，∠APD＝∠ABC＝＝120，依此類推得出正n邊形時，∠APD＝∠ABC＝，故可求解.【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60，∵在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD，∴∠BAE＝∠CBD，∴∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠CBD＋∠ABD＝∠ABC＝60，即∠APD＝60，同理：正四邊形時，∠APD＝90=，∴正五邊形時，∠APD＝∠ABC＝＝108，正六邊形時，∠APD＝∠ABC＝＝120，依此類推得出正n邊形時，∠APD＝∠ABC＝，∴正九邊形中，的度==故選C.【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和理解能力，能根據(jù)題意得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．8、D【分析】先根據(jù)平移規(guī)律得出平移后的直線解析式，再把點A（3，3）代入，即可求出a的值．【詳解】解：將直線y＝－x＋a向下平移1個單位長度為：y＝－x＋a?1．把點A（3，3）代入y＝－x＋a?1，得－3＋a?1＝3，解得a＝2．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移，一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是：①y=kx+b向左平移m個單位,是y=k(x+m)+b,向右平移m個單位是y=k(x-m)+b,即左右平移時,自變量x左加右減；②y=kx+b向上平移n個單位,是y=kx+b+n,向下平移n個單位是y=kx+b-n，即上下平移時，b的值上加下減．9、D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD＝BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE＝∠DAE，可得∠BAE＝∠BEA，得AB＝BE，由AB＝AE，得到△ABE是等邊三角形，②正確；則∠ABE＝∠EAD＝60°，由SAS證明△ABC≌△EAD，①正確；由△CDF與△ABC等底（AB＝CD）等高（AB與CD間的距離相等），得出，④正確；由△AEC與△DCE同底等高，得出，進而得出．⑤不正確．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠EAD＝∠AEB，

又∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE，

∵AB＝AE，

∴△ABE是等邊三角形，②正確；

∴∠ABE＝∠EAD＝60°，

∵AB＝AE，BC＝AD，

∴△ABC≌△EAD（SAS），①正確；

∵△CDF與△ABC等底（AB＝CD）等高（AB與CD間的距離相等），

∴，④正確；

又∵△AEC與△DEC同底等高，

∴，

∴，⑤不正確．

若AD與AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC，題中未限定這一條件，

∴③不一定正確；

故正確的為：①②④．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定．此題比較復(fù)雜，注意將每個問題仔細分析．10、D【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．【詳解】設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：，故選D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．二、填空題(每小題3分,共24分)11、x≠1【解析】∵分式有意義，∴，即.故答案為.12、x3【詳解】由代數(shù)式有意義,得

x-30,

解得x3,

故答案為:x3.【點睛】本題考查了分式有意義的條件,從以下三個方面透徹理解分式的概念:分式無意義：分母為零;分式有意義：分母不為零;分式值為零：分子為零且分母不為零.13、5【分析】由題意根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】解：∵，∴解得，將代入.故答案為：5.【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)即“幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0”是解題的關(guān)鍵．14、【解析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BA′D=∠DCA'+∠A'DC，又折疊前后圖形的形狀和大小不變，∠BA'D=∠A=65°，易求∠C=90°-∠A=25°，從而求出∠A′DC的度數(shù)．【詳解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=65°，∴∠C=90°-65°=25°，∵將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為BD，則∠BA'D=∠A，∵∠BA'D是△A'CD的外角，∴∠A′DC=∠BA'D-∠C=65°-25°=40°．故答案：40°．【點睛】本題考查圖形的折疊變化及三角形的外角性質(zhì)．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．解答此題的關(guān)鍵是要明白圖形折疊后與折疊前所對應(yīng)的角相等．15、-1【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0即可解答.【詳解】∵分式有意義，∴，∴，故答案為：-1.【點睛】此題考查分式有意義的條件，熟記分式有意義的條件并熟練運用解題是關(guān)鍵.16、93分【分析】按3：3：4的比例算出本學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)期平均成績即可．【詳解】小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績是＝93（分），故填：93.【點睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．17、【分析】根據(jù)題意可列出相對應(yīng)的方程，本題的等量關(guān)系為：順流時間+逆流時間=9，從而可得解答本題;【詳解】由題意可得，順流時間為：;逆流時間為：.所列方程為：.【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出分式方程的知識點.18、80°，130°【分析】如圖所示，首先在△ACB的內(nèi)部做∠ACD＝25°，從而可得到△ADC為等腰三角形，然后再證明△BDC為等腰三角形，從而可得到問題的答案．【詳解】解：如圖所示：∠A＝25°，∠B＝80°，∠ACB＝75°，作∠ACD＝∠A＝25°，則三角形ADC為等腰三角形，且∠DCB＝75°?25°＝50°，由三角形的外角的性質(zhì)可知∠BDC＝∠A＋∠ACD＝50°，∴∠DCB＝∠BDC，∴△BDC為等腰三角形．∴∠ADC＝180°?50°＝130°，∴這兩個等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是：80°，130°，故答案為80°，130°．【點睛】本題主要考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）甲萬元,乙萬元；（2）有種；（3）選購甲型設(shè)備臺,乙型設(shè)備臺【分析】（1）設(shè)甲型設(shè)備每臺的價格為x萬元，乙型設(shè)備每臺的價格為y萬元，根據(jù)“購買3臺甲型設(shè)備比購買2臺乙型設(shè)備多花16萬元，購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花6萬元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買甲型設(shè)備m臺，則購買乙型設(shè)備（10?m）臺，由購買甲型設(shè)備不少于3臺且預(yù)算購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過110萬元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出各購買方案；（3）由每月要求總產(chǎn)量不低于2040噸，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之結(jié)合（2）的結(jié)論即可找出m的值，再利用總價＝單價×數(shù)量求出兩種購買方案所需費用，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)設(shè)甲型設(shè)備每臺的價格為萬元,乙型設(shè)備每臺的價格為萬元,根據(jù)題意得：，解得：答：甲型設(shè)備每臺的價格為萬元,乙型設(shè)備每臺的價格為萬元.(2)設(shè)購買甲型設(shè)備臺,則購買乙型設(shè)備臺,根據(jù)題意得：解得：∵取非負整數(shù),∴∴該公司有種購買方案,方案一：購買甲型設(shè)備臺、乙型設(shè)備臺；方案二：購買甲型設(shè)備臺、乙型設(shè)備臺；方案三：購買甲型設(shè)備臺、乙型設(shè)備臺(3)由題意：,解得：,∴為或當時,購買資金為：(萬元)當m＝5時,購買資金為：(萬元)∵,∴最省錢的購買方案為：選購甲型設(shè)備臺,乙型設(shè)備臺【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．20、（1）60；（2）60；（3）【分析】（1）①只要證明△ACE≌△CBD，可得∠ACE=∠CBD，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要證明△ACE≌△CBD，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要證明△AEC≌△CDB，可得∠E=∠D，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【詳解】解：（1）①如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案為60；②如圖②，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案為60；（2）如圖③中，圖③點是邊的垂直平分線與的交點，，，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．21、（1）證明見解析（2）30°【分析】（1）依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知DB=DC，故此可得到∠C=∠DBC，然后利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得到BD平分∠ABC，故此可證得∠ABD=∠C；（2）依據(jù)∠C+∠ABC=90°求解即可．【詳解】（1）證明：∵DE⊥BC，∠A=90°即DA⊥AB且AD=DE，∴BD平分∠ABC．∴∠ABD=∠DBC．∵DE垂直平分BC，∴BD=CD．∴∠DBC=∠C．∴∠ABD=∠C．（2）∵∠ABC+∠C=90°，∠ABD=∠CBD=∠C，∴3∠C=90°．∴∠C=30°．【點睛】本題主要考查的是線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．22、（1）30°；（2）90°－【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠B＋∠C，然后根據(jù)等邊對等角可得∠BAE=∠BEA、∠CAD=∠CDA，從而求出∠BEA＋∠CDA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠DAE；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠B＋∠C，然后根據(jù)等邊對等角可得∠BAE=∠BEA、∠CAD=∠CDA，從而求出∠BEA＋∠CDA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠DAE；【詳解】解：（1）∵∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=60°∵，∴∠BAE=∠BEA=（180°－∠B）∠CAD=∠CDA=（180°－∠C）∴∠BEA＋∠CDA=（180°－∠B）＋（180°－∠C）=[360°－（∠B＋∠C）]=150°∴=180°－（∠BEA＋∠CDA）=30°（2）∵∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=180°－∵，∴∠BAE=∠BEA=（180°－∠B）∠CAD=∠CDA=（180°－∠C）∴∠BEA＋∠CDA=（180°－∠B）＋（180°－∠C）=[360°－（∠B＋∠C）]=90°＋∴=180°－（∠BEA＋∠CDA）=90°－故答案為：90°－．【點睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理和等邊對等角是解決此題的關(guān)鍵．23、（1）BE＝1；（2）見解析；（3）【分析】（1）如圖1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定理可得∠BED＝90°，進而可得∠BDE=30°，然后根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，根據(jù)AAS易證△MBD≌△NCD，則有BM＝CN，DM＝DN，進而可根據(jù)ASA證明△EMD≌△FND，可得EM＝FN，再根據(jù)線段的和差即可推出結(jié)論；（3）過點D作DM⊥AB于M，如圖3，同（2）的方法和已知條件可得DM＝DN＝FN＝EM，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系可得BE+CF＝2DM，BE﹣CF＝2BM，在Rt△BMD中，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DM＝BM，進而可得BE+CF＝（BE﹣CF），代入x、y后整理即得結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝1．∵點D是線段BC的中點，∴BD＝DC＝BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝BD＝1；（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，則有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝BC＝AB；（3）過點D作DM⊥AB于M，如圖3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，∴DM＝，∴，整理，得．【點睛】本題考查了等邊三