2024-2025學年新教材高中數(shù)學第一章預備知識單元素養(yǎng)測評練習含解析北師大版必修第一冊

PAGE11-單元素養(yǎng)測評第一章一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項中，只有一個正確選項)1．設集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，則A∩B＝()A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【解析】選B.集合A與集合B的公共元素有3，5，所以A∩B＝{3，5}．2．x＝2是x2＋x－6＝0的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件【解析】選A.首先x＝2x2＋x－6＝0，其次x2＋x－6＝0?x＝2或x＝－3，則x2＋x－6＝0D/x＝2，所以x＝2是x2＋x－6＝0的充分不必要條件．3．設命題p：?x∈R，x2＋1>0，則p為()A．?x∈R，x2＋1>0 B．?x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1≤0C．?x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1<0 D．?x∈R，x2＋1≤0【解析】選B.全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p的否定為?x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1≤0.4．已知集合A＝{x||x|<1}，B＝{x|x2－x≤0}，則A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x<1}【解析】選D.由集合A中不等式解得：－1<x<1，即A＝{x|－1<x<1}，由集合B中不等式變形得：x(x－1)≤0，解得0≤x≤1，即B＝{x|0≤x≤1}，則A∩B＝{x|0≤x<1}．5．若a，b，c為實數(shù)，則下列命題正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a<b<0，則a2>ab>b2C．若a<b<0，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D．若a<b<0，則eq\f(b,a)>eq\f(a,b)【解析】選B.對于A選項，若c＝0，則ac2＝bc2，故A不成立；對于B選項，因為a<b<0，在不等式a<b兩邊同時乘以a(a<0)，得a2>ab，另一方面在不等式a<b兩邊同時乘以b，得ab>b2，所以a2>ab>b2，故B成立；對于選項C，在a<b兩邊同時除以ab(ab>0)，可得eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，所以C不成立；對于選項D，令a＝－2，b＝－1，則有eq\f(a,b)＝eq\f(－2,－1)＝2，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，所以D不成立．6．若不等式x2－2ax＋a>0對x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．{a|1<a<2} B．{a|－2<a<1}C．{a|0<a<2} D．{a|0<a<1}【解析】選D.由不等式對應的二次函數(shù)圖象可知，需滿意Δ<0，所以4a2－4a<0，所以0<a<1.7．若x，y是正數(shù)，且eq\f(9,x)＋eq\f(1,y)＝1，則xy有()A．最大值36 B．最小值eq\f(1,36)C．最小值36 D．最大值eq\f(1,36)【解析】選C.因為eq\f(9,x)＋eq\f(1,y)＝1≥2eq\r(\f(9,xy))，所以xy≥36，當eq\f(9,x)＝eq\f(1,y)，即x＝18，y＝2時等號成立．所以xy有最小值36.8．將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2，形態(tài)為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且奢侈最少)的是()A．6.5mB．6.8mC．7mD．7.2m【解析】選C.設兩直角邊分別為a，b，直角三角形框架的周長為l，則eq\f(1,2)ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝4＋2eq\r(2)≈6.828(m).因為要求夠用且奢侈最少，故應選擇7m長的鐵絲．二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)9．小王同學想用一段長為l的細鐵絲圍成一個面積為s的矩形邊框，則下列四組數(shù)對中，可作為數(shù)對(s，l)的有()A．(1，4)B．(6，8)C．(7，12)D．(3，1)【解析】選AC.設矩形的邊長分別為x，y，則x＋y＝eq\f(1,2)l，s＝xy，依據(jù)基本不等式eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)，即eq\r(s)≤eq\f(l,4)，即s≤eq\f(1,16)l2，對于選項A：s＝1，l＝4，符合s≤eq\f(1,16)l2，故選項A正確；對于選項B：s＝6，l＝8，不符合s≤eq\f(1,16)l2，故選項B不正確；對于選項C：s＝7，l＝12，符合s≤eq\f(1,16)l2，故選項C正確；對于選項D：s＝3，l＝1，不符合s≤eq\f(1,16)l2，故選項D不正確．10．若命題“?x∈R，x2＋2>m”是真命題，則實數(shù)m的值可能為()A．－1B．2C．0D．3【解析】選AC.由題意知m<x2＋2對于x∈R恒成立，即m<(x2＋2)min，因為x2＋2≥2，所以(x2＋2)min＝2，所以m<2.所以m可能的值為－1，0.11．下列不等式不正確的是()A．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2B．eq\f(x2＋y2,xy)≥2C．eq\f(x2＋y2,2)＞xyD．eq\f(|x＋y|,2)≥eq\r(|xy|)【解析】選BCD.因為x與eq\f(1,x)同號，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝|x|＋eq\f(1,|x|)≥2，當且僅當x＝±1時，等號成立，A正確；當x，y異號時，B不正確；當x＝y(tǒng)時，eq\f(x2＋y2,2)＝xy，C不正確；當x＝1，y＝－1時，D不正確．12．給定數(shù)集M，若對于隨意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，則稱集合M為閉集合，則下列說法中不正確的是()A．集合M＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合B．正整數(shù)集是閉集合C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合D．若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合【解題提示】明確閉集合的定義，然后嚴格依據(jù)題目當中對“閉集合”的定義逐一驗證即可．【解析】選ABD.A.當集合M＝{－4，－2，0，2，4}時，2，4∈M，而2＋4M，所以集合M不為閉集合．B．設a，b是隨意的兩個正整數(shù)，當a<b時，a－b<0不是正整數(shù)，所以正整數(shù)集不為閉集合．C.當M＝{n|n＝3k，k∈Z}時，設a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，則a＋b＝3(k1＋k2)∈M，a－b＝3(k1－k2)∈M，所以集合M是閉集合．D.設A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}由C可知，集合A1，A2為閉集合，2，3∈A1∪A2，而2＋3A1∪A2，此時A1∪A2不為閉集合．所以說法中不正確的是ABD.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．已知數(shù)集{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且有下列說法：①a＝1；②c>2；③d≠4，則滿意(a，b，c，d)的數(shù)值有______組．【解析】因為a＝1，c>2，d≠4，則c的取值可以是3或4.①c＝3時，b＝4，d＝2，即數(shù)組為(1，4，3，2)；②c＝4時，則b＝2，d＝3或b＝3，d＝2，即數(shù)組為(1，2，4，3)或(1，3，4，2).因此符合題中條件的數(shù)組(a，b，c，d)有3組．答案：314．設集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|m≤x≤m＋\f(3,4)))，N＝{x|n－eq\f(2,3)≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，假如把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的長度，那么集合M∩N的長度的最小值是________．【解題提示】依據(jù)題意，得出M，N的長度，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，當M∩N的長度取最小值時，m與n應分別在區(qū)間[0，1]的左右兩端，得出m＝0，n＝1，求出集合M，N，從而得出M∩N的長度的最小值．【解析】由題可知，M的長度為eq\f(3,4)，N的長度為eq\f(2,3)，因為M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，當M∩N的長度取最小值時，m與n應分別在區(qū)間[0，1]的左右兩端，即m＝0，n＝1，則M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0≤x≤\f(3,4)))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x≤1))，故此時M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x≤\f(3,4)))的長度的最小值是eq\f(3,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)15．已知關(guān)于x的不等式－eq\f(3x2,2)＋(5－m)x>0的解集為{x|0<x<2}，若對于?x∈R，不等式ax2＋2ax－(a＋m)<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．【解析】不等式－eq\f(3x2,2)＋(5－m)x>0可化為3x2－2(5－m)x<0，因為不等式的解集為{x|0<x<2}，所以0，2為方程3x2－2(5－m)x＝0的根，將x＝2代入方程得12－4(5－m)＝0，解得m＝2，即對于?x∈R，不等式ax2＋2ax－(a＋2)<0恒成立，當a＝0時，明顯成立，當a≠0時，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,4a2＋4a（a＋2）<0，))解得－1<a<0，綜上可得：實數(shù)a的取值范圍為(－1，0].答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，0))16．?x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，則a的范圍是________；?x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，則a的范圍是________．【解析】因為二次函數(shù)y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4在區(qū)間[0，1]上y隨x的增大而減小，在區(qū)間[1，3]上y隨x的增大而增大，所以當x＝1時，y有最小值為4，當x＝3時，y有最大值為8.因為?x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，所以a≥8.因為?x∈[0，3]，a≥x2－2x＋5，所以a≥4.答案：[8，＋∞)[4，＋∞)四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}且A∩B＝C.(1)求x，y的值；(2)A∪B.【解析】(1)因為集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，A∩B＝C，所以x2－x＋1＝7，解得：x＝－2或x＝3.當x＝－2時，x＋4＝2，此時2∈A∩B，不滿意要求；當x＝3時，x＋4＝7，此時2y＝－1，滿意要求．故x＝3，y＝－eq\f(1,2).(2)集合A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}，所以A∪B＝{2，－1，－4，7}．18．(12分)已知命題p：“?－1≤x≤1，不等式x2－x－m<0成立”是真命題．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)若q：－4<m－a<4是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【解題提示】(1)依據(jù)命題p是真命題，得不等式恒成立，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最大值成立，即可得到m的取值范圍；(2)先化簡命題q：a－4<m<a＋4，再依據(jù)q是p的充分不必要條件列式可解得．【解析】(1)由題意m>x2－x在－1≤x≤1恒成立，所以m>(x2－x)max(－1≤x≤1).因為x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，所以－eq\f(1,4)≤x2－x≤2，即(x2－x)max＝2，m>2，所以實數(shù)m的取值范圍是(2，＋∞).(2)由q得a－4<m<a＋4，因為qp，所以a－4≥2，即a≥6，所以實數(shù)a的取值范圍是[6，＋∞).19．(12分)設a1>0，且a1≈eq\r(2)，令a2＝1＋eq\f(1,1＋a1).(1)證明：eq\r(2)介于a1，a2之間；(2)求a1，a2中哪個更接近于eq\r(2)；(3)你能設計一個比a2更接近于eq\r(2)的a3嗎？并說明理由.【解析】(1)(a1－eq\r(2))(a2－eq\r(2))＝(a1－eq\r(2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋a1)－\r(2)))＝eq\f(（a1－\r(2)）2（1－\r(2)）,1＋a1)<0，故eq\r(2)介于a1，a2之間．(2)|eq\r(2)－a2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1－\f(1,1＋a1)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(（1－\r(2)）（\r(2)－a1）,1＋a1)))＝eq\f(\r(2)－1,1＋a1)|eq\r(2)－a1|<|eq\r(2)－a1|，故a2比a1更接近于eq\r(2).(3)a3＝1＋eq\f(1,1＋a2)更接近于eq\r(2)，依據(jù)題意知：1<a2<2.|eq\r(2)－a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1－\f(1,1＋a2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(（1－\r(2)）（\r(2)－a2）,1＋a2)))＝eq\f(\r(2)－1,1＋a2)|eq\r(2)－a2|<|eq\r(2)－a2|，故a3比a2更接近于eq\r(2).20．(12分)如圖，已知矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，過點C的直線l與AB，AD的延長線分別交于點M，N.(1)若△AMN的面積不小于50，求線段DN的長度的取值范圍；(2)在直線l繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，△AMN的面積S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及相應的AM，AN的長度；若不存在，請說明理由．【解析】(1)設DN＝x(x>0)，△AMN的面積為S，因為△NDC∽△NAM，所以eq\f(x,4＋x)＝eq\f(6,AM)，所以AM＝eq\f(6（x＋4）,x)，所以S＝eq\f(1,2)AM·AN＝eq\f(1,2)·eq\f(6（x＋4）,x)·(x＋4)＝3·eq\f(（x＋4）2,x).由S＝3·eq\f(（x＋4）2,x)≥50，得0<x≤eq\f(8,3)或x≥6.所以，線段DN的長度的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(8,3)))∪[6，＋∞).(2)S＝3·eq\f(（x＋4）2,x)＝3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)＋8))，因為x>0，所以S＝3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)＋8))≥3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x·\f(16,x))＋8))＝48，當且僅當x＝eq\f(16,x)，即x＝4時，等號成立，此時AM＝12，故當AM＝12，AN＝8時，△AMN的面積S有最小值48.21．(12分)經(jīng)市場調(diào)查：生產(chǎn)某產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流淌成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(萬元)，在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(萬元).通過市場分析，每件產(chǎn)品售價為5元時，生產(chǎn)的商品能當年全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(2)當產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求出最大值．【解題提示】(1)依據(jù)利潤、銷售額、成本關(guān)系，分0<x<8和x≥8兩種狀況，得到L與x的分段函數(shù)關(guān)系；(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出分段函數(shù)的最大值，最終綜合，即可求出最大值．【解析】(1)L(x)＝5x－W－3＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－x－\f(100,x)，x≥8.))(2)當0<x<8時，L(x)＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9，所以當x＝6時，Lmax1＝9.當x≥8時，L(x)＝35－x－eq\f(100,x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(100)＝15，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時，等號成立，所以Lmax2＝15.綜上，當總產(chǎn)量達到10萬件時利潤最大，且最大利潤為15萬元．22．(12分)已知不等式2x2＋bx＋c<0的解集是{x|0<x<5}．(1)求b，c的值；(2)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＋bx＋c>0，,2（x＋k）2＋b（x＋k）＋c<0))的正整數(shù)解只有一個，求實數(shù)k的取值范圍；(3)若對于隨意實數(shù)x∈{x|－1≤x≤1}，不