2020-2021學年高二下學期開學考試數學理試題解析版

2020-2021學年寧夏青銅峽市高級中學高二下學期開學考試數學（理）試題一、單選題1．雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：將雙曲線方程轉化為標準方程為，所以，所以，所以，故選D．【解析】雙曲線的標準方程，離心率的定義．2．某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n=A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D【詳解】試題分析：：∵甲、乙、丙三個車間生產的產品件數分別是120，80，60，∴甲、乙、丙三個車間生產的產品數量的比依次為6：4：3，丙車間生產產品所占的比例，因為樣本中丙車間生產產品有3件，占總產品的，所以樣本容量n=3÷=13．【解析】分層抽樣方法3．圓O1：和圓O2：的位置關系是A．相離 B．相交 C．外切 D．內切【答案】B【詳解】試題分析：由題意可知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，又，所以圓和圓的位置關系是相交，故選B．【解析】圓與圓的位置關系．4．若樣本數據的標準差為16，則數據，的標準差為（）A．15 B．16 C．32 D．64【答案】C【分析】根據標準差公式，找出變化前后標準差的關系，即可求解.【詳解】設變化前的平均數為，標準差為，變化后的平均數為，標準差為.根據題意得，，，故，因此.故選：C.5．如圖是八位同學400米測試成績的莖葉圖（單位：秒），則A．平均數為64 B．眾數為7 C．極差為17 D．中位數為64.5【答案】D【詳解】由莖葉圖可知：該組數據為，平均數為，眾數為，極差為，中位數為，故選D.6．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．【答案】B【詳解】設正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.7．如圖所示，程序據圖（算法流程圖）的輸出結果為A． B．C． D．【答案】C【詳解】由算法流程圖知s＝0＋＋＋＝.選C.8．某地區(qū)共有10萬戶居民，該地區(qū)城市住戶與農村住戶之比為4∶6.根據分層抽樣方法，調查了該地區(qū)1000戶居民冰箱擁有情況，調查結果如下表所示，那么可以估計該地區(qū)農村住戶中無冰箱的戶數約為（）

城市/戶

農村/戶

有冰箱

356

440

無冰箱

44

160

A．1.6萬戶 B．4.4萬戶C．1.76萬戶 D．0.24萬戶【答案】A【詳解】試題分析：由題意得，估計該地區(qū)農村住戶中無冰箱的戶數約為人，故選A.【解析】分層抽樣.9．經過兩條直線和的交點，并且與直線平行的直線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得交點坐標，進而由點斜式可得結果.【詳解】聯(lián)立得，所以兩直線交點坐標為，所求直線為，整理得.故選：A.10．已知直線和圓相交于兩點．若，則實數a的值為（）A．-2 B．-4 C．-6 D．-8【答案】B【分析】先求出圓心和半徑，再計算圓心到直線的距離，由勾股定理可得弦長即可求解.【詳解】由可得：，所以圓心，，圓心到直線的距離為，由，即所以，解得：，故選:B【點睛】方法點睛：圓的弦長的求法：（1）幾何法，設圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數法，設直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去得到一個關于的一元二次方程，從而可求出，，根據弦長公式，即可得出結果.11．已知過拋物線y2＝4x焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點（點A在第一象限），若3，則直線l的斜率為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】作出拋物線的準線，設A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E.由拋物線的定義結合題中的數據，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°，即直線AB的傾斜角為60°，從而得到直線AB的斜率k值.【詳解】作出拋物線的準線l：x＝﹣1，設A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E.∵3，∴設AF＝3m，BF＝m，由點A、B分別在拋物線上，結合拋物線的定義，得AC＝3m，BD＝m.因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°所以，直線AB的傾斜角∠AFx＝60°，得直線AB的斜率k＝tan60°，故選：D.【點睛】本題給出拋物線的焦點弦被焦點分成3：1的比，求直線的斜率k，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質，直線的斜率等知識點，屬于中檔題目.12．橢圓C：的左焦點為F，若F關于直線x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為（）A． B．C． D．－1【答案】D【分析】設F（－c,0）關于直線x＋y＝0的對稱點為A（m，n），利用中點坐標公式以及直線的斜率與直線x＋y＝0斜率之積為，求出點，代入橢圓方程化簡即可求解.【詳解】設F（－c,0）關于直線x＋y＝0的對稱點為A（m，n），則，解得m＝，n，代入橢圓方程可得化簡可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1.故選：D.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質、中點坐標公式以及兩直線垂直斜率之積等于，注意，此題屬于基礎題.二、填空題13．橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則等于__________【答案】【分析】利用橢圓的定義可求得的值.【詳解】在橢圓中，，由橢圓定義可得.故答案為：.14．同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則出現兩個正面朝上的概率是__________．【答案】【詳解】∵同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，結果包括：正正、正反、反正、反反.∴出現兩個正面朝上的概率是.故答案為點睛：古典概型中基本事件數的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.15．過點的直線與橢圓交于兩點，且為線段的中點，則直線的斜率為_________【答案】【分析】設，，，，是線段的中點，利用“點差法”可求得直線的斜率．【詳解】設，，，，是線段的中點，則，；點，代入橢圓方程作差，得：，所以由題意知，直線的斜率存在，所以，，故答案為：16．已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上一動點，定點，則的最小值是_____________．【答案】【分析】根據題意，結合雙曲線的定義，可以把轉化為以、和雙曲線右焦點為頂點的三角形的兩邊之和問題，再根據三角形兩邊之和大于第三邊即可求解.【詳解】設雙曲線的右焦點，則，，由是雙曲線右支上一動點，根據定義得，即，故.故答案為：.三、解答題17．已知圓心為的圓經過點和，圓心在直線上，求圓的方程.【答案】.【分析】設出圓的標準方程，根據題意列出方程組，通過解方程組即可得到圓的方程.【詳解】設圓的方程為：，由圓經過點和，圓心在直線上，則，計算得，故圓的方程為：.18．雙曲線的中心在原點，焦點在軸上.已知的實軸長為，焦距為，（1）求雙曲線的方程（2）過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知，從而可求出，再結合求出，進而可得雙曲線的方程；（2）由題意可得直線的方程為，設，然后將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數的關系，再利用弦長公式可得結果【詳解】解：（1）由題意設雙曲線方程為，因為雙曲線的實軸長為，焦距為，所以，得，所以，所以雙曲線方程為，（2）由（1）可知雙曲線的右焦點為，所以直線的方程為，設，由，得，所以，所以19．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行調查，通過抽樣，獲得某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖的的值；（2）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由；（3）估計居民月用水量的中位數.【答案】(1)；(2)36000；（3）.【分析】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數的計算等基礎知識，考查學生的分析問題、解決問題的能力.第（Ⅰ）問，由高×組距=頻率，計算每組的頻率，根據所有頻率之和為1，計算出a的值；第（Ⅱ）問，利用高×組距=頻率，先計算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率×樣本容量=頻數，計算所求人數；第（Ⅲ）問，將前5組的頻率之和與前4組的頻率之和進行比較，得出2≤x<2.5，再估計月均用水量的中位數.【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在[0,0.5）的頻率為0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為300000×0.12=36000.（Ⅲ）設中位數為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數為2.04噸.【解析】頻率分布直方圖【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數的計算公式等基礎知識，考查學生的分析問題、解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第n個小矩形的面積就是相應組的頻率，所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關鍵，也是識圖的基礎．20．隨著我國經濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份

2010

2011

2012

2013

2014

時間代號

1

2

3

4

5

儲蓄存款（千億元）

5

6

7

8

10

（Ⅰ）求y關于t的回歸方程（Ⅱ）用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年（）的人民幣儲蓄存款.附：回歸方程中【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千億元.【詳解】試題分析：（Ⅰ）列表分別計算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，從而就可得到回歸方程，（Ⅱ）將代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款．試題解析：（1）列表計算如下i

1

1

5

1

5

2

2

6

4

12

3

3

7

9

21

4

4

8

16

32

5

5

10

25

50

15

36

55

120

這里又從而.故所求回歸方程為.（2）將代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為【解析】線性回歸方程.21．動點到點的距離與它到直線的距離之比為，點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）直線與交于兩點，且，求實數值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據題意，列出距離的比例關系，化簡即可得到的方程；(2)根據題意，聯(lián)立方程組，結合韋達定理表示出與，再根據，即可得到實數值.【詳解】(1)設點，則根據題意得，化簡得，故的方程為：.(2)設，，聯(lián)立，得，由，得，由韋達定理得：，，故，因，則，即，解得，又因，所以.22．已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）如圖，過作斜率為的兩條直線，分別交橢圓于，且證明：直線過定點并求定點坐標【答案】（1）；（2）證明見解析，恒過定點．【分析】（1）利用橢圓過點，以及離心率為．求出，，即可得到橢圓方程．（2）當直線斜率不存在時，設直線方程為，則，，然后求解．當直線斜率存在時，設直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設，