近世代數(shù)試題庫

近世代數(shù)

一、單項選擇題

1、若A={1,2,3,5},B={2,3,6,7},則Ac8=（）

A、{1,2,3,4}B、［2,3,6,7）

C、{2,3}D、{1,2,3,5,6,7）

答案：C

2、循環(huán)群與交換群關(guān)系正確的是（）

A、循環(huán)群是交換群B、交換群是循環(huán)群

C、循環(huán)群不一定是交換群D、以上都不對

答案：A

3、下列命題正確的是（）

A、n次對換群S"的階為"！B、整環(huán)一定是域

C、交換環(huán)一定是域D、以上都不對

答案：A

4、關(guān)于陪集的命題中正確的是（）設(shè)H是G的子群，那么

A、對千PaH,bH,有aHcbH=</>或aH=bH

B、以上都對

答案：D

5、設(shè)A=R（實數(shù)域），B=R+（正實數(shù)域）f?:a-10a??aeA則f

是從A到B的（）

A、單射B、滿射

C、一一映射D、既非單射也非滿射

答案：D

6、有限群中的每一個元素的階都（）

A、有限B、無限

C、為零D、為1

答案：A

7、整環(huán)（域）的特征為（）

A、素數(shù)B、無限

C、有限D(zhuǎn)、或素數(shù)或無限

答案：D

8、若S是半群，則（）

A、任意a，b，ceS,都有a（bc）=（ab）cB、任意口力eS,都有ab=ba

C、必有單位元D、任何元素必存在逆元

答案：A

9、在整環(huán)Z中，6的真因子是（）

A、±1,±6B、±2,±3

C、±1,±2D、±3,±6

答案：B

10、偶數(shù)環(huán)的單位元個數(shù)為（）

A、0個B、1個

C、2個D、無數(shù)個

答案：A

11、設(shè)A，4,…，4和。都是非空集合，而/是…X、到。的一個映射，那么（）

A、集合A，4,…,4，。中兩兩都不相同；

B、A，4,…,4的次序不能調(diào)換;

C、AXA?X3x4中不同的元對應(yīng)的象必不相同;

D、一個元可）的象可以不唯一。

答案：B

12、指出下列那些運算是二元運算（）

A、在整數(shù)集Z上，aob=--,

ab

B、在有理數(shù)集。上，。。6=眄；

C、在正實數(shù)集7?+上，aob=alnb；

D、在集合｛〃eZ、NO｝上,aob=\a-t^o

答案：D

13、設(shè)。是整數(shù)集Z上的二元運算，其中a°"=max｛a，M（即取a與匕中的最大者），那么。

在Z中（）

A、不適合交換律；B、不適合結(jié)合律；

C、存在單位元；D、每個元都有逆元。

答案：C

14、設(shè)（G,。）為群，其中G是實數(shù)集，而乘法。：aob=a+b+k,這里k為G中固定的常數(shù)。

那么群（G,。）中的單位元e和元％的逆元分別是（）

A、0和一刀；B、1和0；C、左和x—2左；D、一左和一（x+2左）。

答案：D

15、設(shè)a,dc和x都是群G中的元素且x2a=bxcT,acx=xac,那么x=（）

A、bcxal；B、cxax；C、a^bc1；D、blca□

答案：A

16、設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類如果6,那么G的階［G|=（）

A、6；B、24；C、10；D、12。

答案：B

17、設(shè)了:G|fG?是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（）

A、/的同態(tài)核是G1的不變子群；

B、G2的不變子群的逆象是GI的不變子群；

C、G的子群的象是G2的子群；

D、G1的不變子群的象是G2的不變子群。

答案：D

18、設(shè)/:凡一&是環(huán)同態(tài)滿射，于（a）=b，那么下列錯誤的結(jié)論為（）

A、若。是零元，則b是零元；B、若a是單位元，則。是單位元；

C、若a不是零因子，貝峰不是零因子；D、若&是不交換的，則國不交換。

答案：C

19、下列正確的命題是（）

A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；

C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。

答案：A

20、若/是域產(chǎn)的有限擴域，E是/的有限擴域，那么（）

A、（E:Z）=（E:ZXZ:F）；B、（F:E）=（I:F\E:1Y

C、（I-F）=（E:F\F:/）；D、（E:F）=（E:l\l:F）

答案：D

二、填空題

1、集合A的一個等價關(guān)系需滿足自反性、對稱性和（）。

答案：傳遞性

2、設(shè)A,B都為有限集,且網(wǎng)=也忸="，則|4*同=（）.

答：mn

3.設(shè)R是集合A=｛平面上所有直線｝上的關(guān)系：

/|吊20/1〃/2或4=4eA）,則尺（）等價關(guān)系。

答：是

4、設(shè)群G中的元素。的階為m,則優(yōu)=e的充要條件是（）。

答：〃機

5、群G的非空子集H作成G的一個子群的充要條件是（）。

答：Pa,beH,有GH

6、〃次對稱群S〃的階是（）。

答：加

7、設(shè)G是有限群，〃是G的子群，且〃在G中的指數(shù)為“，則同=（）。

答：

8、設(shè)G是一個群,e是G的單位元，若“€&且a=氏則（）

答：a=e

9、最小的數(shù)域是（）。

答：有理數(shù)域

10、設(shè)集合A={1,2},則AXA=（）,2A=（）o

答：{（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）},{①，⑴，⑵,{1,2}}

_1

11、設(shè)/是A的一個變換，則尸［/⑸］（）f［/（S）］o

答：口

12、設(shè)K，&是集合A上的等價關(guān)系，為「&（）等價關(guān)系。

答：是

13、若群G中每一個元素》都適合方程x〃=e,則G是（）群。

答：交換群

14、〃階群G是循環(huán)群的充要條件是（）。

答：G中存在〃階的元素

15、設(shè)G，G1是有限循環(huán)群，ia=〃|G|="，則G］是G的同態(tài)象的充要條件是

Cn\m）。

答：“帆

16、如果環(huán)R的乘法滿足交換律，即V。力eR,有ab=ba,則稱R為（）環(huán)

答：交換環(huán)

17、數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法和乘法作成的環(huán)叫做（）環(huán)。

答：數(shù)環(huán)

18、設(shè)有限域產(chǎn)的階為81,則的特征°=()。

答：3

19、已知群G中的元素a的階等于50,則/的階等于()。

答：25

20、一個有單位元的無零因子()稱為整環(huán)。

答：交換環(huán)

。是一個國際標準書號，那么a=()。

答：6

22.剩余類加群乙有()個生成元.

答：6

23、設(shè)群G的元a的階是n,則a11的階是()

答：n/(k,n)((k,n)表示k和n的最大公約數(shù))

24、6階循環(huán)群有()個子群.

答：3

26、模8的剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有()個.

答：6

27、設(shè)集合A={—1,0,1}；B={1,2},則有BxA=()。

答：{(1-1),(1,0),(1,1X2-1),(2,0),(2,1)}

28、如果/是A與?間的---映射，。是A的一個元，則廣()o

答：a

29、設(shè)集合A有一個分類，其中a與4是A的兩個類，如果a2A，那么ana=()。

答：。

31、凱萊定理說：任一個子群都同一個()同構(gòu)。

答：變換群

32、給出一個5-循環(huán)置換乃=(31425，那么%T=()o

答：(1352?

33、若/是有單位元的環(huán)R的由。生成的主理想，那么/中的元素可以表達為（）0

答：^jxiayi,xi,yteR

34、若R是一個有單位元的交換環(huán)，/是R的一個理想，那么%是一個域當且僅當/是

（）o

答：一個最大理想

35^整環(huán)/的一個元p叫做一個素元，如果（）□

答：P既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子

36、若域產(chǎn)的一個擴域E叫做產(chǎn)的一個代數(shù)擴域，如果（）。

答：E的每一個元都是F上的一個代數(shù)元

三、判斷題

1、設(shè)A與B都是非空集合，那么4。5=加兀€4出€3｝。（X）

2、設(shè)A、B、。都是非空集合，則Ax3到。的每個映射都叫作二元運算。（X）

3、只要/是A到?的一一映射，那么必有唯一的逆映射/t。（V）

4、如果循環(huán)群G=（a）中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)。（V）

5、如果群G的子群”是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。（X）

6、群G的子群”是不變子群的充要條件為X/geG,X//ze口。（V）

7、如果環(huán)R的階22,那么R的單位元120。（V）

8、若環(huán)及滿足左消去律，那么R必定沒有右零因子。（V）

9、P（x）中滿足條件p（a）=0的多項式叫做元a在域產(chǎn)上的極小多項式。（X）

10、若域E的特征是無限大，那么E含有一個與%夕）同構(gòu)的子域，這里Z是整數(shù)環(huán)，（p）是

由素數(shù)P生成的主理想。（X）

四、解答題

1、A=｛數(shù)學(xué)系的全體學(xué)生｝,規(guī)定關(guān)系R：

a涉與方同在一個班級，證明R是A的一個等價關(guān)系。

答案：自反性：自己與自己顯然在同一個班級

對稱性：若a與b同在一個班級,顯然b與a同在一個班級

傳遞性：若a與b同在一個班級，b與c同在一個班級，顯然a與c同在一個班級.

2、在R中的代數(shù)運算。是否滿足結(jié)合率和交換率？

aob=a+b+ab(等式右邊指的是普通數(shù)的運算)

答：因為對于有(a。。。c=(a+Z?+aZ?)。c

=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+/?+aZ?+c+?c+/?c+abc,

根據(jù)實數(shù)的加法與乘法的運算率得

(a0辦c=a00°c)。

又aob=a+b+ab=b+a+ba=boci°

所以，R的代數(shù)運算。既滿足結(jié)合率，又滿足交換率。

3、設(shè)集合A={a也c,d},B={c,d,e},求AB,AB,A-B,(A-B)(B-A)o

生案.AB={c,d],AB=[a,b,c,d,e^,

4、設(shè)G=J={(11(12),(13)(23),(123),(132)},H={(1),(12)},求G關(guān)于子群”的左陪集分解。

答：(1)H=(12)H=H,

(13)H=(123)H={(13),(123)),

(23)H=(132)H={(23),(132))。

因而，G關(guān)于子群〃的左陪集分解為

G=HIJ(13)//U(23)H。

5、設(shè)半群6，?)既有左單位元e,又有右單位元/,證明e=/,而且是S的唯一單位元。

答：證明d=e(因/是右單位元)，ef=f(因e是左單位元)，得e=/；

若S還有單位元則0=6“=4，故e是S的唯一單位元。

6、對于下面給出的Z到Z的映射/名”

計算/g，gf，gh,hg,fgho

答案：

7、設(shè)”是G的不變子群，則VaeG,有aHG=H。

答：因"是G的不變子群，故對于VaeG,有aH=Ha,于是

aHax=（aH）a-=（Ha）a1=H（aa］）=He=H°

8、設(shè)0是環(huán)R的零元，則對于0-a=a-0=0o

答：因為"QR,有

O，a=（O+O）,a=O，a+O，a,

由于R關(guān)于加法作成群，即R對于加法滿足消去律，在上式中兩邊同時消去0",得0"=0。

同理可得。-0=0。

9、如果半群G有一個左單位元e,并且對于VaeG,存在左逆元eG,使得/%=e,

則G是一個群。

答：VaeG,由條件知，有左逆元a-eG,使得=而對于在G中也存在左逆元

a,使得a4T=e,則有

所以，。的左逆元。一|也是。的右逆元，即。在G中有逆元

又由于四=。（。-%）=（初-6=60=%知e是G的單位元。故G是一個群。

10、證明R為無零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán)R中關(guān)于乘法左消去律成立。

答：設(shè)環(huán)R沒有左零因子，如果有仍=。。，則有

ab-ac=a（Jb-c）=0,

當時，由于R沒有左零因子，得8-。=0,即b=。，R中關(guān)于乘法左消去律成立。

反之，若在R中關(guān)于乘法左消去律成立，如果a*。，有曲=。，即

a-b=Q=a-G,左消去。得8=0,即R中非零元均不是左零因子，故R為無零因子。

11、若LA是R的兩個理想，則

4+A=M+々忖e/p/el?｝也是R的一個理想。

答:Vx,yE/1+/2,Vre^>則有

%=%1+x2,y=y1+y2>(x1,y1&Il;x2,y2e/2)(從而

x—y=(七一%)+(%—%)w/I+A；

rx=r(%j+x2)=rxx+rx2e+/2.

xr-(%1+x2)r=xvr+x2reIx+/2o

所以，人+人是R的一個理想。

12、設(shè)G=S3=HD,(12),(13),(23),(123,(13或，H={(1),(12)},則口是G的一個子群,寫出G

關(guān)于H的所有左陪集的分解.

答案：Q)H=Q2)H=H

(13)H={(13),(123}=(123〃，

(23)H={(23),(130}=(13PH,

因而，G關(guān)于H的左陪集的分解為.

13、在Q中的代數(shù)運算。是否滿足結(jié)合率和交換率？

答.取a==2,c=3,則(1°2)。3=2?°3=3?=9,1。(2。3)=1。3?=9?=81

又1。2=2?=4,2°1=I2=1

所以，Q的代數(shù)運算。既不滿足結(jié)合率，又不滿足交換率。

14、設(shè)6=$3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},X={(1),(12)},求G關(guān)于子群”的右陪集分解。

答：X⑴=小12)={(1),(12)},

H(13)=//(132)={(13),(132)},

H(23)=H(123)={(23),(123)}。

因而，G關(guān)于子群〃的右陪集分解為

G=HIJH(13)UH(23)o

15、設(shè)S是有單位元e的半群，aeS,若a有左逆元%,又有右逆元的，則。是可逆元,

且％二。2是。的唯一的逆元。

答：證明由條件知，ag==e,貝|有〃？-=(%。)〃2=%(〃出)==囚，

若。,C都是a的逆元，同理有3=如=Mac)=(ba)c=ec=c

故。有唯一的逆元。

16、設(shè)R是環(huán)，則Va力eR,有(―a)b=a(—b)=—(aZ?)。

答：由(-〃)/?+ab=(-a+a)b=0?Z?=0,得

-(ab)=(-d)b,

同理，由。(一力+ab=a(—〃+人)=々,。=。，得

-(ab)=a(-b)。

17、設(shè)”是G的子群，若對于VawG,飛heH,有ahcfZH,則"是G的不變子群。

答：任取定aeG,對于Va/zeaH,由于“自尸6〃，則存在"e”,使得

ahcf]=%=^>ah—\aeHa=aHoHa.

\/haGHa,由于a/uT】二〃一峭(。7)一1wH,故存在為三“，使得

cTxha—=ha=ah^eaH=HaoaH。

因此，對于有aH=Ha。故H是G的不變子群。

18、如果G是半群，則G是群的充分必要條件是：Va,beG,方程?=/，和ya=人在G中

有解。

答：必要性。因G是群，則VaeG在G中有逆元/，貝.一/，加wG,分別代入方程以=6

和W=b,有

a(a~'b)=(aa~l》=eb=b,(ba~'yi=b(a~'a)=be=b,

即alb,bal分別為方程?=ya=b的解。

充分性。因G是半群，則是非空集合，取定aeG,則方程當=。在G中有解e,即存在G

中的元素e,使得ea=a。

下證e是G的左單位元。Ya,bQG,方程or=b和在G中有解c,即呢="

于是eb=e(ac)=(ea)c=ac=b,則e是G的一個左單位元。

又VaeG,方程沖=?在6中有解。，即aa=e,得。是。的一個左逆元。從而得G中的

每一個元素。都有左逆元。故G是群。

19、證明R為無零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán)R中關(guān)于乘法右消去律成立。

答：設(shè)環(huán)R沒有左零因子，則也無右左零因子。于是由加=約，得

ba-ca=(b-c)a?

當aA。時，由于R沒有右零因子，得8-。=0,即b=c,R中關(guān)于乘法右消去律成立。

反之，若在R中關(guān)于乘法右消去律成立，如果a/。，有加=0,即

b-a=0=0-a,右消去。得8=0,即R中非零元均不是右零因子，故R為無零因子。

20、設(shè)R為交換環(huán)，aeR,/“=卜€(wěn)4。％=°},證明：(是尺的理想。

答：(1)飛a,bwI0,則ax=0,Z?x=0,從而以_法=0,(a-b)x=Q

即加泰/〃。