第二講-數(shù)據(jù)獲取處理

樣本并非總是與總體一致。這樣我們就需要研究如何抽取樣本?什么樣的樣本較為合適？同時(shí)，還要考慮如何有效的處理和分析數(shù)據(jù)，如何設(shè)計(jì)最佳試驗(yàn)方案以減少導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論的風(fēng)險(xiǎn)。應(yīng)用數(shù)學(xué)理論計(jì)算出出現(xiàn)這種風(fēng)險(xiǎn)可能性的大小，描述這種可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱為概率。運(yùn)用概率論來(lái)研究統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)科稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)。1.怎樣獲取數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)單純對(duì)一組數(shù)據(jù)的面貌特征進(jìn)行分析研究推斷性統(tǒng)計(jì)選取樣本,通過對(duì)樣本的描述來(lái)推斷整體的特性統(tǒng)計(jì)方法我們把搜集記錄下來(lái)的數(shù)量依據(jù)稱為數(shù)據(jù)從總體中抽出部分樣本展開調(diào)查來(lái)獲取數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱此為抽樣調(diào)查。所考慮對(duì)象的全體統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為總體或母體,其中每一個(gè)對(duì)象稱為個(gè)體,而從總體中抽取的一部分個(gè)體稱為樣本或子樣,樣本中所含個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量,通常用字母n表示。（樣本分為大樣本(n≥30)與小樣本(n<30),樣本容量的選取取決于實(shí)驗(yàn)的條件和精度,樣本越大,反映總體的信息越充足,但計(jì)算量也越大,故樣本容量最好適當(dāng)。）能充分反映總體的信息每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同,個(gè)體與個(gè)體之間互不影響,數(shù)學(xué)上稱為個(gè)體互相獨(dú)立每個(gè)個(gè)體具有和總體相同的本質(zhì)特性樣本具有某種代表性,數(shù)學(xué)上稱此為與總體同分布。抽樣調(diào)查要求樣本具有的兩個(gè)特征滿足以上兩條的樣本稱為隨機(jī)樣本；從總體中抽出一個(gè)隨機(jī)樣本,稱為隨機(jī)抽樣抽樣調(diào)查隨機(jī)抽樣分層抽樣等距抽樣隨機(jī)數(shù)表法抽簽法有放回抽樣無(wú)放回抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

1、隨機(jī)數(shù)表法隨機(jī)數(shù)表是根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理，由許多隨機(jī)數(shù)字排列起來(lái)的數(shù)字表，表中數(shù)字的構(gòu)造方法是：利用計(jì)算機(jī)使0，1，…,9十個(gè)數(shù)字號(hào)碼中每次自動(dòng)出現(xiàn)一個(gè)號(hào)碼，用這種方式得到一串?dāng)?shù)，編排成組(一般四個(gè)數(shù)為一組)

2.抽簽法抽簽法是將所有個(gè)體編號(hào)打亂次序用類似于抽簽的方法從中來(lái)獲取隨機(jī)樣本←分層抽樣是按一定標(biāo)志把總體內(nèi)的每個(gè)個(gè)體劃分為若干層,使相互差異小的個(gè)體集中在一層內(nèi),從而可以縮小各層內(nèi)個(gè)體之間的差異程度,使樣本中各個(gè)個(gè)體在總體中散布更均勻。分層抽樣時(shí),從各層抽取的樣本個(gè)數(shù)可以與各層個(gè)體數(shù)成比例。具體做法是:把總體中個(gè)個(gè)體劃分為個(gè)不相重疊的部分，使每一部分包含的個(gè)體數(shù)分別為，且，則第層所含的樣本個(gè)體數(shù)為(1.1.1)，其中為樣本容量，為第層的層權(quán)數(shù)。例如，要從某校210名7至9歲兒童中抽出三分之一進(jìn)行智力測(cè)驗(yàn)。已知該校7歲兒童有63人，8歲兒童有112人，9歲兒童有35人，現(xiàn)在用分層抽樣法確定各年齡組兒童入數(shù)。由(1.1.1)式得(7歲組)=(210/3)×(63/210)=21(人)，(8歲組)=(210/3)×(112/210)=37(人)，(9歲組)=(210/3)×(35/210)=12(人)。等距抽樣法:把所有個(gè)體按順序排列起來(lái)，然后以確定的相等距離抽取隨機(jī)樣本有放回抽樣從總體中抽出一個(gè)個(gè)體記下其特征后再放回總體,然后進(jìn)行第二次抽樣無(wú)放回抽樣從總體中抽出一個(gè)個(gè)體后不再放回去,再抽第二次抽樣當(dāng)總體內(nèi)個(gè)體數(shù)目較多時(shí),這兩種抽樣方式?jīng)]有本質(zhì)區(qū)別。教育統(tǒng)計(jì)中一般采用無(wú)放回抽樣,但由于有放回抽樣能簡(jiǎn)化某些計(jì)算,故當(dāng)總體內(nèi)個(gè)體數(shù)目較多時(shí),我們可以看做是有放回抽樣。通過抽樣獲取數(shù)據(jù)離不開求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和認(rèn)真的工作作風(fēng),數(shù)據(jù)如果不準(zhǔn)確、不完整、或有遺漏,不僅數(shù)據(jù)本身失去價(jià)值,而且以此進(jìn)行分析推斷還會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。2.頻數(shù)數(shù)據(jù)的基本類型離散型數(shù)據(jù)取整數(shù)值的數(shù)量指標(biāo),是計(jì)數(shù)性的,數(shù)據(jù)之間不能再劃分為更小的單位連續(xù)型數(shù)據(jù)經(jīng)過度量和測(cè)定而得到的數(shù)量指標(biāo)。這類數(shù)據(jù)取值可以連續(xù)變化,盡管數(shù)據(jù)本身仍然是數(shù)軸上的點(diǎn),但數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間可以無(wú)限細(xì)分,也就是數(shù)據(jù)的取值范圍可以充滿一個(gè)區(qū)間頻數(shù)分布表示方法頻數(shù)分布表離散型數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表連續(xù)型數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表累積頻數(shù)分布表頻數(shù)分布圖累積頻數(shù)分布曲線圖一、頻數(shù)分布表一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)。按頻數(shù)分類列出的一覽表稱為頻數(shù)分布表。1.離散型數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表例1某幼兒園測(cè)定5歲組兒童智力，共7個(gè)項(xiàng)目。全園30名5歲兒童中有1人答對(duì)1項(xiàng)、3人答對(duì)2項(xiàng)、4人答對(duì)3項(xiàng)、8人答對(duì)4項(xiàng)、7人答對(duì)5項(xiàng)、5人答對(duì)6項(xiàng)、2人答對(duì)7項(xiàng)。我們列出頻數(shù)分布表如下：答對(duì)題數(shù)頻數(shù)答對(duì)題數(shù)頻數(shù)11572365347248總和30表1.130名兒童智力測(cè)定分布2.連續(xù)型數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表例2附中初二年級(jí)實(shí)驗(yàn)班40名同學(xué)期末數(shù)學(xué)統(tǒng)考測(cè)驗(yàn)得分如下：68.079.080.083.062.059.080.081.061.583.067.097.063.593.076.097.584.564.075.088.091.078.567.094.081.070.086.572.085.094.078.091.060.075.582.091.095.052.076.580.0這一組數(shù)據(jù)中最大值是97.5，最小值是52.0，可見數(shù)據(jù)分布很散，項(xiàng)數(shù)較多。因此我們將它們分組，組的范圍稱為組區(qū)間，每組的起止分別稱為組下限和組上限，每組的大小稱為組距，各組組距一般是相同的。分組的原則是：100個(gè)以上的數(shù)據(jù)分為12～20組，數(shù)據(jù)較少則分為8～10組。組距為便于計(jì)算一組取為3、5.10較為合適，本例分為10組，組距取5。我們將組號(hào)放在表的第一列，組區(qū)間放在第二列，組中值記為，放在第三列，(上限+下限)，然后數(shù)出各組的頻數(shù)放在第四列。第二組為(56.55～61.55)，我們可以提高一位分點(diǎn)或降低一位分點(diǎn)，通常我們?nèi)《恍?shù)，因此61.5應(yīng)放在第二組。有了組頻數(shù),當(dāng)然也可以算出組頻率(每組組頻數(shù)與總頻數(shù)之比),為了以后的方便,我們把頻率放在表的最后一列(表1.2),我們從中可以看出數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。表1.2附中初二年級(jí)實(shí)驗(yàn)班期末數(shù)學(xué)統(tǒng)考測(cè)驗(yàn)成績(jī)分布組號(hào)組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率151.55-56.5554.0511/40256.55-61.5559.0533/40361.55-66.5564.0533/40466.55-71.5569.0244/40571.55-76.5574.555/40676.55-81.5579.0588/40781.55-86.5584.0566/40886.55-91.5589.0544/40991.56-96.5594.544/401096.55-100.0098.2522/40總和

401.00綜上，對(duì)于分組數(shù)據(jù)編制頻數(shù)分布表歸納為以下幾步：第一步找極差，最大值-最小值，由大致了解數(shù)據(jù)的差異范圍。第二步定組距，一般為便于計(jì)算，多取為2、3、5.10等。第三步定組數(shù)，一般數(shù)據(jù)在100個(gè)以上，分為12～20組，數(shù)據(jù)較少則分為8-10組，也可以借用下面公式確定近似組數(shù)。組數(shù)，其中方括號(hào)為的整數(shù)部分，為組距，例2中，。第四步定分點(diǎn)，通常使分點(diǎn)比原測(cè)量精度多一位或少一位，要注意的是最低組的上、下限應(yīng)能包括最小值，最高組的上、下限應(yīng)能包括最大值。第五步數(shù)頻數(shù)，根據(jù)組限歸類，數(shù)出全體數(shù)據(jù)落入每一組的個(gè)數(shù)。頻數(shù)分布表也有其缺點(diǎn)，我們?cè)谙乱还?jié)會(huì)看到計(jì)算描述一組數(shù)據(jù)特征的數(shù)據(jù)依賴于各組的組中值，因而出現(xiàn)了誤差。但是在理論上我們一般假定各組內(nèi)頻數(shù)分布是均勻的，因而各組的誤差會(huì)相互抵償，使總誤差減少。二、累積頻數(shù)分布表累積頻數(shù)分布表的列法是在頻數(shù)分布表上添加一列累積頻數(shù)。具體方法是:從數(shù)值最小的一組開始，逐組累加頻數(shù)至數(shù)值最大的一組，最后累加的頻數(shù)與總頻數(shù)相等。把累積頻數(shù)除以總頻數(shù)，得到相應(yīng)的累積頻率；把累積頻率乘以100，得到相應(yīng)的累積百分比。下表是例2中數(shù)據(jù)的累積頻數(shù)、累積頻率，累積百分比分布表。組號(hào)組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率累積頻數(shù)累積頻率累積百分比151.55-56.5554.0510.02510.0252.5256.55-61.5559.0530.07540.10010.0361.55-66.5564.0530.07570.17517.5466.55-71.5569.0540.100110.27527.5571.55-76.5574.0550.125160.40040.0676.55-81.5579.0580.200240.60060.0781.55-86.5584.0560.150300.75075.0886.55-91.5589.0540.100340.85085.0991.56-96.5594.0540.100380.95095.01096.5-100.0098.2520.050401.00100.00總和

401.000

表1.3附中初二年級(jí)實(shí)驗(yàn)班期末數(shù)學(xué)統(tǒng)考累積頻數(shù)分布表三、頻數(shù)分布圖通常我們用頻數(shù)分布圖來(lái)表示數(shù)據(jù)的規(guī)律性,常見的頻數(shù)分布圖為直方圖。直方圖是在橫軸上標(biāo)出組距,縱軸上標(biāo)出頻率與組距之比,然后以每組組距為底邊,相應(yīng)的頻率與組距之比為高作矩形。顯然,每個(gè)矩形的面積恰好等于數(shù)據(jù)落在該矩形所對(duì)應(yīng)組內(nèi)的頻率,這樣所有矩形面積總和為總頻率1。直方圖是利用各個(gè)矩形的高低來(lái)描繪頻數(shù)分布情況的。圖1.1是例2中數(shù)據(jù)的直方圖,圖中斷裂號(hào)表示由0至51.55之間的距離是縮短了的。有時(shí)為了簡(jiǎn)單,橫軸上只標(biāo)出組中值,包括組中值在內(nèi)的區(qū)間即為本組組距。54.05

59.05

64.05

69.05

74.05

79.05

84.05

89.05

94.05

98.25

0.01

0.02

0.03

0.04

頻率組距

圖1.4初二年級(jí)實(shí)驗(yàn)班期末數(shù)學(xué)統(tǒng)考測(cè)驗(yàn)成績(jī)直方圖

四、累積頻數(shù)分布曲線圖累積頻數(shù)分布曲線圖橫軸取每組上限,縱軸取累積頻數(shù),在相交處畫點(diǎn),順次連續(xù)各點(diǎn)成一上升曲線,又稱S型或肩型曲線,曲線的最低點(diǎn)應(yīng)與基線相接。以累積頻率為縱軸上點(diǎn),重復(fù)上述過程則得到累積頻率分布曲線圖。再把累積頻率乘以100,則得到累積百分比,以累積百分比為縱軸上點(diǎn),重復(fù)上述過程,則得到累積百分比分布曲線圖。（為了方便,一般把累積頻數(shù)分布曲線和累積百分比分布曲線放在一張圖上,左邊縱軸為累積頻數(shù),右邊縱軸為累積百分比。作圖時(shí)要求兩縱軸平行等長(zhǎng),左邊按總頻數(shù)劃分,右邊因?yàn)槔鄯e百分比最大是100,故劃分為100等份。圖1.3是例2中數(shù)據(jù)的累積頻數(shù),累積百分比分布曲線圖。）56..55

61..55

66..55

71..55

76..55

81..55

86..55

91..55

96..55

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

累積百分比

累積頻數(shù)

5

10

15

20

25

30

35

40

圖1.3累積頻數(shù)、累積百分比曲線圖在教育考試等值研究中,運(yùn)用累計(jì)百分比曲線圖可以對(duì)兩次考試進(jìn)行等值對(duì)應(yīng),這種等值方法稱為百分位等值這種曲線分布圖有一定的實(shí)用價(jià)值,可以從圖中插值,回答小于或大于某值的頻數(shù)有多少,或回答占總頻數(shù)百分之幾的頻數(shù)小于或大于某值。例如橫軸上給出81.55分,可以從此點(diǎn)向上作垂直于橫軸的直線和曲線相交于一點(diǎn),再由這一點(diǎn)向右作平行于橫軸的直線與縱軸右側(cè)交于一點(diǎn)為60,這表明81.55分位于百分之六十的位置上,說(shuō)明有百分之六十的學(xué)生得分低于81.55分。反之,如果知道右側(cè)縱軸上的百分位置,在橫軸上也能找到相應(yīng)的分?jǐn)?shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)在下一節(jié)稱為百分位數(shù),例如,如有百分之六十的學(xué)生成績(jī)?cè)谀硨W(xué)生之下,那么該生得分大約為81.55分。3.集中量數(shù)(1)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)幾何平均數(shù)3.集中量數(shù)(1)一、平均數(shù)平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)集中的位置，又稱為均值。1.算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的商，記為.讀為“杠”。①不分組數(shù)據(jù)求算術(shù)平均數(shù)（1.3.1）其中為第個(gè)數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)。例1某校射擊隊(duì)5名隊(duì)員在一次射擊中，射中的環(huán)數(shù)分別為6，7，8，9，10，求平均射中環(huán)數(shù)。解:由(1.3.1)式(環(huán))。如果數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)，我們采用加權(quán)形式求算術(shù)平均數(shù)?！皺?quán)”為所占的比重，比率，頻率都可以看做為一種“權(quán)”。例如，某校射擊隊(duì)5名隊(duì)員在一次射擊中射中的環(huán)數(shù)分別為6，6，8，10，10，則把上式一般化得到，其中為第個(gè)數(shù)的頻數(shù)，為第個(gè)數(shù)的頻率。我們稱由(1.3.2)式定義的為以頻率為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)，顯然，權(quán)均為1/N的加權(quán)平均數(shù)為算術(shù)平均數(shù)。②分組數(shù)據(jù)求算術(shù)平均數(shù)(組中值法)對(duì)于分組數(shù)據(jù)先要列出頻數(shù)分布表,再把每組的各個(gè)數(shù)據(jù)都看作與組中值相同的數(shù),這是因?yàn)槊拷M內(nèi)各個(gè)數(shù)據(jù)雖然有大有小,但其相對(duì)于組中值的誤差最終趨于抵消,故可以把每組的組中值做為每組的代表值,由此得到簡(jiǎn)記為（1.3.3）,其中為第組的組中值,其中為組數(shù),為第組的組頻數(shù)。

例2求§1.2例2中數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。解:把表1.2中數(shù)據(jù)代入(1.3.3)式得到③的基本性質(zhì)常數(shù)性為常數(shù)；(1.3.4)齊次性（1.3.5）可加性(1.3.6)特別(1.3.7)2.加權(quán)平均數(shù)幾個(gè)作用在不同比重上的平均數(shù)再進(jìn)行平均稱為加權(quán)平均數(shù)。例如，是個(gè)數(shù)的平均數(shù)，是個(gè)數(shù)的平均數(shù),是個(gè)數(shù)的平均數(shù)，則(1.3.8)，如果則（1.3.9）顯然，以頻率為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)公式(1.3.2)是(1.3.9)的特殊情形，這是因?yàn)橛善骄鶖?shù)的常數(shù)性，，對(duì)于分組數(shù)據(jù)用加權(quán)形式求，公式(1.3.3)中相當(dāng)于第個(gè)數(shù)的平均數(shù)。例3大學(xué)南路小學(xué)一年級(jí)實(shí)驗(yàn)班40名學(xué)生期末數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為82.59，對(duì)比班45名學(xué)生期末數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為69.68，求全年級(jí)期末數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均成績(jī)。解:由公式(1.3.8)（分）.例4某?？疾鞂W(xué)生成績(jī)，期末考試占全學(xué)期的85%，平時(shí)成績(jī)(包括作業(yè)，期中考試)，占全學(xué)期的15%.如果某學(xué)生期末成績(jī)?yōu)?5分，平時(shí)成績(jī)?yōu)?0分，求該生全學(xué)期平均成績(jī)。解由公式(1.3.8)（分）3.幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)中個(gè)數(shù)據(jù)連乘積的次方根，記為，其計(jì)算公式為

（1.3.10）例5某校1999年至2001年招生人數(shù)如表1.4,求該校平均每年招生增長(zhǎng)速度。表1.4某校1999年至2001年招生人數(shù)年份招生人數(shù)增長(zhǎng)比率19999000200011001100/900200112001200/1100解:由(1.3.10)式.故該校招生平均年增長(zhǎng)速度為15%.實(shí)際應(yīng)用中，如果N≥3,可以利用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算，方法是對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得到，查常用對(duì)數(shù)表得到，再查反對(duì)數(shù)表得到。二、眾數(shù)數(shù)據(jù)集合中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)稱為眾數(shù)，用表示。1.觀察法①離散型數(shù)據(jù)求眾數(shù)例如，調(diào)查全班40名學(xué)生業(yè)余愛好，有20人參加體育小組，15人參加音樂小組，5人參加無(wú)線電小組。如果用1表示參加體育小組，2表示參加音樂小組，3表示參加無(wú)線電小組，則1出現(xiàn)次數(shù)最多，因此眾數(shù)就是1。②分組數(shù)據(jù)求眾數(shù)首先列出頻數(shù)分布表，再用每組組中值表示該組一般水平，則頻數(shù)最多一組的組中值即為眾數(shù)。顯然，此眾數(shù)是較為粗略的。2.公式法如果用分別表示眾數(shù)所在組下限和上限，表示與眾數(shù)所在組的下限相鄰組的頻數(shù)，表示與眾數(shù)所在組的上限相鄰組的頻數(shù)，如果眾數(shù)是自眾數(shù)所在組的下限向上擠，則眾數(shù)所在位置是再加上區(qū)間長(zhǎng)度(組距)的倍處，這是由于在相鄰組總頻數(shù)中占的比重。反過來(lái)，如果眾數(shù)是自眾數(shù)所在組的上限向下擠，那么眾數(shù)所在位置是再減去區(qū)間長(zhǎng)度的倍處。由此，我們得到求眾數(shù)的近似公式為(1.3.13)(1.3.14)3.集中量數(shù)(2)三、中數(shù)中數(shù)指一組依次序排列的數(shù)據(jù)中位于正中間的數(shù)，它正好分全體頻數(shù)為相等的兩部分，用表示。1.不分組數(shù)據(jù)求中數(shù)①數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)求例7某校男子體操隊(duì)9名隊(duì)員5項(xiàng)比賽總積分分別為：47，49，42，39，45，41，37，46，40，求這9個(gè)數(shù)據(jù)的中數(shù)。解:把9個(gè)數(shù)據(jù)依大小次序排列為：37，39，40，41，42，45，46，47，49。顯然，正中的42為中數(shù)，因?yàn)?2左右各有4個(gè)數(shù)。由此，我們得到數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中數(shù)為第個(gè)數(shù)目的數(shù)值。②數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)求例8求42，45，50，54，57，58的中數(shù)。解:由于N=6，由中數(shù)定義，中數(shù)應(yīng)在50與54中間，自然我們?nèi)∑淦骄鶖?shù)為中數(shù)，即由此，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，以最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中數(shù)。2.分組數(shù)據(jù)求中數(shù)例9下表給出25個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布，求中數(shù)。表1.525個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布組區(qū)間組中值頻數(shù)75-8077.5170-7572.5365-7067.5560-6562.51055-6057.5450-4552.52解由于N=25,因此中數(shù)為第13個(gè)數(shù),在(60-65)這一組,而這一組以下有6個(gè)數(shù)據(jù),須再向上數(shù)7個(gè)數(shù),才能到達(dá)第13個(gè)數(shù)。而每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度(組距)為5,如果(60-65)這一組內(nèi)10個(gè)數(shù)據(jù)是均勻分布的,那么為到達(dá)第13個(gè)數(shù),需要在中數(shù)所在組的下限處加上區(qū)間長(zhǎng)度的十分之七,即中數(shù)應(yīng)為因此,我們得到（1.3.15）。如果取中數(shù)所在組上限U,相應(yīng)有(1.3.16)。其中,為中數(shù)所在組以上累積頻數(shù),為中數(shù)所在組以下累積頻數(shù)。在§1.2,我們接觸到了百分位數(shù),介紹了通過累積百分比分布圖找百分位數(shù)的方法,實(shí)際上,中數(shù)也是一個(gè)百分位數(shù),它正好位于百分之五十的位置上。一般的百分位數(shù)用表示,稱為百分之分位數(shù),它表示在此百分位數(shù)以下的頻數(shù)占總頻數(shù)的百分之。由公式(1.3.15)(1.3.16),我們類似可得

(1.3.17)

(1.3.18)其中為所在組下限,為所在組上限,為所在組以下累積頻數(shù),為所在組以上累積頻數(shù),為所在組頻數(shù),i為組距。例9中如求,由(1.3.17)式得四、三種集中量數(shù)的比較集中量數(shù)的作用是指出一組數(shù)據(jù)中有代表性的數(shù)值，同一組數(shù)值的三種集中量其值一般是不同的，故其實(shí)際意義也是有區(qū)別的。例如，某中學(xué)數(shù)學(xué)教研室教師年齡分別為22，24，24，25，55(歲)，現(xiàn)在問哪一年齡具有代表性？顯然，平均數(shù)30不能作為水平值，這是因?yàn)槠骄鶖?shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，故受極端值55的影響而失去代表性。因此，選擇中數(shù)或眾數(shù)24作為這個(gè)教研室教師年齡的一般水平較為合適。又如在一次測(cè)驗(yàn)中，某小組9名學(xué)生中有5個(gè)80分，3個(gè)85分，1個(gè)90分.如果用中數(shù)或眾數(shù)80分來(lái)作為一般水平值是不合適的，這是因?yàn)檫@次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)分布較為特殊，且每個(gè)分?jǐn)?shù)相差不大。因此，在這種情形要用平均數(shù)82.5分作為集中趨勢(shì)的度量。三種集中量的共性是反映了一組數(shù)據(jù)的集中位置,指出了一組數(shù)據(jù)中有典型意義的數(shù)。平均數(shù)應(yīng)用最為廣泛,因?yàn)樗紤]到了每一個(gè)數(shù)據(jù),且便于用公式表示,其缺點(diǎn)是當(dāng)數(shù)據(jù)極端出現(xiàn)較大或較小數(shù)時(shí),作為衡量集中趨勢(shì)的度量會(huì)受到較大影響。中數(shù)是位于一組數(shù)據(jù)正中的一個(gè)數(shù),它不受極端值的影響,但如果數(shù)據(jù)集中成明顯不同且差異很大的幾組時(shí),則不易反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。中數(shù)不與具體某個(gè)數(shù)有關(guān),而只是與數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有關(guān),因此,只要中間數(shù)值不改變,排列順序不改變,其兩邊數(shù)值任意改變并不影響中數(shù)的值。眾數(shù)由于出現(xiàn)頻數(shù)最多,往往被認(rèn)為是一組數(shù)據(jù)中最典型的一個(gè)。但在確定眾數(shù)時(shí)不受其它數(shù)據(jù)的影響,這是眾數(shù)最大的缺陷,而且,如果一組數(shù)據(jù)中有幾個(gè)數(shù)同時(shí)符合眾數(shù)定義時(shí),數(shù)則失去代表性。眾數(shù)可以消除極端數(shù)值的影響,但計(jì)算眾數(shù)大多是粗略的,因此,作為集中趨勢(shì)的度量,價(jià)值較小。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(Pearson)根據(jù)多年經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)當(dāng)頻數(shù)分布完全對(duì)稱時(shí),平均數(shù),中數(shù),眾數(shù)重合.在頻數(shù)分布不對(duì)稱時(shí),這三種量數(shù)的關(guān)系為即這樣,知道其中兩個(gè),可以近似求出第三個(gè)。4.差異量數(shù)（1）描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的水平值只是從一個(gè)側(cè)面反映了一組數(shù)據(jù)的特征。在實(shí)際統(tǒng)計(jì)工作中我們不僅要考察一組數(shù)據(jù)的集中位置，還要考察其分散程度，這種用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)分散程度(集中程度)的量稱為差異量數(shù)。常見的差異量數(shù)有:極差、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差。一、極差極差又稱為全距，是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，用R表示。R=最大值－最小值(1.4.1)極差是衡量一組數(shù)據(jù)分散程度粗略的度量值。在繪制頻數(shù)分布表時(shí)我們已經(jīng)看到，通過極差可以大致看出一組數(shù)據(jù)的范圍。對(duì)于分組數(shù)據(jù)，R取最高一組的上限與最低一組的下限之差。由于極差只取決于兩個(gè)極端數(shù)據(jù)，不能反映其它數(shù)據(jù)的分散情況，因此，在大多數(shù)情形極差不適用于衡量一組數(shù)據(jù)的分散程度。例1兩個(gè)小組學(xué)生身高(米)分別為:甲方1.80，1.53，1.52，1.51，1.50乙方1.80，1.79，1.78，1.77，1.50顯然，兩組數(shù)據(jù)的極差都是0.30，但這兩組數(shù)據(jù)有很大的差異二、四分位差四分位差指與之差的一半,用來(lái)描述頻數(shù)分布中間數(shù)值的分散程度,用表示。都是百分位數(shù),顯然,再加上(中數(shù))正好分總頻數(shù)為相等的四部分,為了方便有時(shí)把記為,稱為第一四分位數(shù),以下占總頻數(shù)的四分之一；把記為,稱為第二四分位數(shù),以下占總頻數(shù)的四分之二；把記為,稱為第三四分位數(shù),以下占總頻數(shù)的四分之三,這樣,的計(jì)算公式為顯然,四分位差是相對(duì)于中數(shù)來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)分散程度的。這是因?yàn)?如果一組數(shù)據(jù)頻數(shù)分布對(duì)稱,則有由求百分位數(shù)公式(1.3.17)類似可得其中分別為第一,第三四分位數(shù)所在組下限,分別為第一,第三四分位數(shù)所在組以下累積頻數(shù),分別為第一,第三四分位數(shù)所在組頻數(shù),i為組距。如果數(shù)據(jù)未分組,只須把每個(gè)數(shù)據(jù)依大小順序排列,用總頻數(shù)N除以4,即可得到四分位。例2求20名學(xué)生一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的四分位差。解把20個(gè)數(shù)據(jù)按大小排列為66,67,67,69,70

71,72,73,74,76

Q1

Q2

85,86,88,88,90

92,94,97,98,90

Q3

則66，67，67，69，70

71，72，73，74，76

Q1

Q2

85，86，88，88，90

92，94，97，98，90

Q3

三、平均差我們?cè)O(shè)想找到一個(gè)相對(duì)于平均數(shù)來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)分散程度的差異量，這就是平均差，用M·D表示。例3兩個(gè)女聲小合唱隊(duì)身高(米)分別為:甲隊(duì)1.60，1.62，1.59，1.60，1.59乙隊(duì)1.80，1.60，1.50，1.50，1.60顯然，。但乙隊(duì)隊(duì)員較甲隊(duì)隊(duì)員身高波動(dòng)大，這是因?yàn)槊總€(gè)隊(duì)員的身高相對(duì)于平均數(shù)都有一個(gè)離差,離差越小，越集中于,但離差有正有負(fù)，如果將全部離差加起來(lái)，由于，那么即正、負(fù)離差相抵消，故我們?cè)诳紤]總離差時(shí)，可以將每個(gè)離差取絕對(duì)值再加起來(lái)。這樣并不影響每個(gè)數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，因?yàn)殡x差的長(zhǎng)度為了使所有離差再集中，我們?cè)偃∑淦骄玫?/p>

（1.4.5）如果數(shù)據(jù)已分組,類似有

(1.4.6)例3中,可見,乙隊(duì)隊(duì)員身高平均差大大高于甲隊(duì),因此,乙隊(duì)隊(duì)員身高差異較甲隊(duì)大,即分散程度較甲隊(duì)大。采用平均差來(lái)衡量數(shù)據(jù)的分散程度要對(duì)離差取絕對(duì)值,但絕對(duì)值運(yùn)算復(fù)雜且不便于代數(shù)方法處理。如果給每個(gè)離差平方,并不影響其分散程度,且可以避免總離差為零。因此,我們引入另一個(gè)衡量一組數(shù)據(jù)分散程度的差異量——標(biāo)準(zhǔn)差。四、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根,又稱為均方差,用S表示。方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)離差的平方的算術(shù)平均數(shù),用表示。公式為（1.4.7）

(1.4.8)對(duì)于分組數(shù)據(jù),類似有

(1.4.9)其中為第i組的組頻數(shù),為第i組的組中值。計(jì)算還可利用以下簡(jiǎn)化公式:(1.4.10)這是因?yàn)閷?duì)于分組數(shù)據(jù),類似簡(jiǎn)化公式為（1.4.11）其中a為假定平均數(shù),即頻數(shù)最多一組的組中值。例4某區(qū)50名6歲男童身高(單位:cm)分組數(shù)據(jù)如表1.6:表1.650名6歲男童身高分布組區(qū)間頻數(shù)組區(qū)間頻數(shù)108.5以下1118.5-120.511108.5-110.53120.5-122.59110.5-112.51122.5-124.55112.5-114.52124.5-126.53114.5-116.56126.5以上2116.5-118.57

求標(biāo)準(zhǔn)差S.解N=50,取a=119.5,由公式(1.4.11)得到標(biāo)準(zhǔn)差是衡量一組數(shù)據(jù)分散程度最有效的量數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差越小,這組數(shù)據(jù)越向平均數(shù)集中,即分布的差異越?。粯?biāo)準(zhǔn)差越大,這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度越大,即分布的差異也越大。故4.差異量數(shù)（2）五、差異系數(shù)差異系數(shù)也稱為相對(duì)差異量，常用倍數(shù)式百分?jǐn)?shù)表示，它從相對(duì)意義上來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的分散程度。而受其計(jì)量單位、水平值影響的差異量稱