《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》（數(shù)學(xué)人教A版必修）

《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（第1課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析

本節(jié)選自高中新教材人教A版必修5第二章1.1.2的內(nèi)容，是數(shù)列的開啟課。數(shù)列是高

中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，還起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列

與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識(shí)有著密切的聯(lián)系，另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)列又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限

等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。因此有必要研究數(shù)列。

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；

2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)；

3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式.

【過程與方法】

L采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性學(xué)習(xí)；

3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

L通過日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn).理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究

精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)；

2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式.

教具準(zhǔn)備

課件

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師課本圖2.1T中的正方形數(shù)分別是多少？

生1,3,6,10,

師圖2.『2中正方形數(shù)呢？

生1,4,9,16,25,

師像這樣按一定次序排列的一列數(shù)你能否再舉一些？

生~1的正整數(shù)次整:T,1,T,1,

無窮多個(gè)數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,….

生一些分?jǐn)?shù)排成的一列數(shù)：—,—,—,—,

315356399

【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生們熟悉的找規(guī)律入手，學(xué)生易接受。

推進(jìn)新課

［合作探究］

折紙問題

師請(qǐng)同學(xué)們想一想，一張紙可以重復(fù)對(duì)折多少次？請(qǐng)同學(xué)們隨便取一張紙?jiān)囋嚕▽W(xué)生們興趣

一定很濃）.

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

師你知道這是為什么嗎？我們?cè)O(shè)紙?jiān)瓉淼暮穸葹?長度單位，面積為1面積單位，隨依次

折的次數(shù)，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？

生隨著對(duì)折數(shù)厚度依次為：2,4,8,16,256,???；①

隨著對(duì)折數(shù)面積依次為,???,▲，….

24816256

生對(duì)折8次以后，紙的厚度為原來的256倍，其面積為原來的分1口256式，再折下去太

困難了.

師說得很好，隨數(shù)學(xué)水平的提高，我們的思維會(huì)更加理性化.請(qǐng)同學(xué)們觀察上面我們列出的

這一列一列的數(shù)，看它們有何共同特點(diǎn)？

生均是一列數(shù).

生還有一定次序.

師它們的共同特點(diǎn)：都是有一定次序的一列數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】合作探究，培養(yǎng)學(xué)生合作能力，折紙實(shí)驗(yàn)，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力。

［教師精講］

1.數(shù)列的定義：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列.

注意：

（1）數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，

那么它們就是不同的數(shù)列；

（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).

2.數(shù)列的項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首

項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第〃項(xiàng)，….同學(xué)們能舉例說明嗎？

生例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“2”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），“16”是這

個(gè)數(shù)列中的第4項(xiàng).

3.數(shù)列的分類：

1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：

有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)歹!J.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6是有窮數(shù)列.

無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6…是無窮數(shù)列.

2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列.

擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

請(qǐng)同學(xué)們觀察：課本P33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？

生這六組數(shù)列分別是（1）遞增數(shù)列，（2）遞增數(shù)列，（3）常數(shù)數(shù)列，（4）遞減數(shù)列，（5）擺動(dòng)數(shù)

列，（6）1.遞增數(shù)列，2.遞減數(shù)列.

【設(shè)計(jì)意圖】

［知識(shí)拓展］

師你能說出上述數(shù)列①中的256是這數(shù)列的第多少項(xiàng)？能否寫出它的第"項(xiàng)？

生256是這數(shù)列的第8項(xiàng)，我能寫出它的第〃項(xiàng)，應(yīng)為a=2：

【設(shè)計(jì)意圖】師生共同得出新知，讓學(xué)生體驗(yàn)得到新知的樂趣。

［合作探究］

同學(xué)們看數(shù)列2,4,8,16,…，256,…①中項(xiàng)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

項(xiàng)2481632

IIIII

序號(hào)12345

你能從中得到什么啟示？

生數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函數(shù)

a產(chǎn)f(〃)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來，對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果

f(i)(i=l、2、3、4…)有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(l),f⑵，f⑶，…,f?,….

師說的很好.如果數(shù)列｛a｝的第〃項(xiàng)品與〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公

式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【設(shè)計(jì)意圖】合作探究，發(fā)現(xiàn)新知通項(xiàng)公式。

［例題剖析］

1.根據(jù)下面數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式，寫出前5項(xiàng)：

(1)a十---;(2)劣二(-1)”?77.

〃+1

師由通項(xiàng)公式定義可知，只要將通項(xiàng)公式中力依次取1,2,3,4,5,即可得到數(shù)列的前5

項(xiàng).

12345

生解：(1)比1,2,3,4,5.3i=-；3z=-；33=—；&=—；3s=—.

23456

(2)TFI,2,3,4,5.ai=~l;az=2;a3=-3;a=4;a=-5.

師好！就這樣解.

2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

/、c,/、246810

(1)3,5,7,9,11,…；(2)一,—,—，—,—，…；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,???；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,???；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,

師這里只給出數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，哪位同學(xué)能寫出這些數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式？(給學(xué)生一定

的思考時(shí)間)

生老師，我寫好了！

In

解：(l)a0=2〃+l；(2)a=⑶

n(2n-l)(2n+l)2

(4)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,

，+,-i-+--(---i--r-

(5)將數(shù)列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,…,

a?=(-1)^77(77+1).

師完全正確！這是由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的例子，解決的關(guān)鍵是要找出這列數(shù)呈現(xiàn)出

的規(guī)律性的東西，然后再通過歸納寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【設(shè)計(jì)意圖】講練結(jié)合，鞏固新知。

［合作探究］

師函數(shù)與數(shù)列的比較(由學(xué)生完成此表)：

函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))

定義域R或R的子集N或它的有限子集U,2,…，加

解析式y(tǒng)=f(x)akf(77)

圖象點(diǎn)的集合一些離散的點(diǎn)的集合

師對(duì)于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對(duì)應(yīng)圖象，看來，數(shù)列也可根據(jù)其通項(xiàng)公

式來畫出其對(duì)應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫數(shù)列：

4,5,6,7,8,9,10…；②1,-,-,-，…③的圖象.

234

生根據(jù)這數(shù)列的通項(xiàng)公式畫出數(shù)列②、③的圖象為

以

0

9

8

7

6

5

41

-

32

21

-

14-1,

-8.1.,?

0\123456789~no|12345678?

師數(shù)列4,5,6,7,8,9,10,…②的圖象與我們學(xué)過的什么函數(shù)的圖象有關(guān)？

生與我們學(xué)過的一次函數(shù)y=x+3的圖象有關(guān).

師數(shù)列1,,1，…③的圖象與我們學(xué)過的什么函數(shù)的圖象有關(guān)？

234

生與我們學(xué)過的反比例函數(shù)丁=」的圖象有關(guān).

x

師這兩數(shù)列的圖象有什么特點(diǎn)？

生其特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的點(diǎn).

生它們都位于y軸的右側(cè)，即特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側(cè)的點(diǎn).

本課時(shí)的整個(gè)教學(xué)過程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用,

體現(xiàn)新課程的理念.

【設(shè)計(jì)意圖】合作探究，研究數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系有個(gè)認(rèn)識(shí)研究。

課堂小結(jié)

對(duì)于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)

列的前〃項(xiàng)求一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步（回顧）體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善

的過程。

布置作業(yè)

課本第33頁習(xí)題2.1A組第1題.

板書設(shè)計(jì)

數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（一）

定義

1.數(shù)列例1

3.一般形式例2函數(shù)定義

備課資料

一、備用例題

列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

1x2,2x3'3x4'4x5'

分析：

(1)項(xiàng)：1=2X1-13=2X2-15=2X3-17=2X4-1

序號(hào)：1234

所以我們得到了a.=2hl；

(2)序號(hào)：1234

33I

項(xiàng)分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1

1l

項(xiàng)分子：22-1=(1+1)2-13-1=(2+1)-142T=(3+1)2-15-1=(4+1)-1

(n+1)2-(〃+2)?"

所以我們得到了a產(chǎn)或

n+1n+1

⑶序號(hào)：1234

]1

1111

1x22x33x44x5

13JJ

1111

lx(l+l)2x(2+l)3x(3+l)4x(4+l)

所以我們得到了a尸---------

Hx(n+1)

2.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前〃項(xiàng)分別是下列各數(shù):

,1+(—1嚴(yán)八

(1)1,0,1,0;(a-，刀￡/)

2

小23456----二一)

38152435(“+1)2-1

7

(3)7,77,777,7777;〔2=—x(10"-l))

9

(4)-1,7,-13,19,-25,31;(a二(T)"(6/?-5))

,「、35917,2"+1、

⑸一，—，—，---?為一〃1〕

241625622

點(diǎn)評(píng)：上述兩題都是根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)來寫出這數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)來寫出

這數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，?？陕?lián)想奇數(shù)、偶數(shù)、平方數(shù)、指數(shù)等等.遇到分?jǐn)?shù)的時(shí)候，?？筛?/p>

據(jù)需要把分子和分母同時(shí)擴(kuò)大再來看看分子和分母中數(shù)的規(guī)律性，有時(shí)可直截了當(dāng)?shù)匮芯糠?/p>

子和分母之間的關(guān)系.

3.已知數(shù)列面｝的通項(xiàng)公式是a產(chǎn)2*〃，那么()

430是數(shù)列｛aj的一項(xiàng)區(qū)44是數(shù)列｛aj的一項(xiàng)

C.66是數(shù)列U｝的一項(xiàng)D.90是數(shù)列｛aj的一項(xiàng)

分析：注意到30,44,66,90均比較小，可以寫出這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，如果這前幾項(xiàng)中出

現(xiàn)了這四個(gè)數(shù)中的某一個(gè)，則問題就可以解決了.若出現(xiàn)的數(shù)比較大，還可以用解方程求正

整數(shù)解的方法加以解決.

答案：C

點(diǎn)評(píng)：看一個(gè)數(shù)4是不是數(shù)列｛aj中的某一項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上就是看能不能找出一個(gè)非零自然數(shù)

使得a?=A.

4.（鏈接探究題）假定有一張極薄的紙，厚度為'em就是每200張疊起來剛好為1cm,

200

現(xiàn)在把這張紙裁一為二，疊起來，它的厚度記為a；再裁一為二，疊起來，它的厚度記為

包，又裁一為二，疊起來，它的厚度記為as,這樣一裁一疊，每次疊起來所得的厚度依次排

列，就得到一個(gè)數(shù)列：az,as,???,a,

你能求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？你知道a5。，即裁了50次、疊了50次后的厚度是多少

厘米嗎？是否有10層樓高呢？

2"

答案：這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a產(chǎn)——,

200

裁了50次、疊了50次后的厚度是5629499534213.12cm>56294995km,大于地球

到月球距離的146倍.

二、閱讀材料

無法實(shí)現(xiàn)的獎(jiǎng)賞

相傳古印度舍罕王朝有一位宰相叫達(dá)依爾，據(jù)說是他發(fā)明了國際象棋，古印度的舍罕王

學(xué)會(huì)了下國際象棋以后，非常激動(dòng)，他要重賞他的宰相達(dá)依爾.

達(dá)依爾對(duì)他的國王說：陛下，我不要您的重賞，只要您按我下面的辦法賞我一些麥粒就

可以了：在我的棋盤上（它有64個(gè)格）第一格賞1粒，第二格賞2粒，第三格賞4粒，第四

格賞8?！来祟愅泼亢笠桓竦柠溋?shù)都是前面一格的兩倍.國王答應(yīng)了達(dá)依爾的要求，

但是幾天以后他就發(fā)現(xiàn)事實(shí)上這是一個(gè)無法兌現(xiàn)的獎(jiǎng)賞.

請(qǐng)問國王為什么不能兌現(xiàn)他的獎(jiǎng)賞呢？

【設(shè)計(jì)意圖】課堂練習(xí)，加深對(duì)知識(shí)的理解。給出閱讀材料，讓學(xué)生在理解知識(shí)的過程中,

更增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)反思:

1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性學(xué)習(xí)；

3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

4.通過日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn).理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究

精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)；

5.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（第2課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析

本節(jié)選自高中新教材人教A版必修5第二章1.1.2的內(nèi)容。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容

之一，不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，還起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)

等知識(shí)有著密切的聯(lián)系，另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)列又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。

因此有必要研究數(shù)列。這節(jié)課承接上一課時(shí)，通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的正確理解，讓學(xué)生進(jìn)一

步了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同。

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；

2.會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

【過程與方法】

1.經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過程；

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn)；

3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.

教具準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

師同學(xué)們，昨天我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義等內(nèi)容，哪位同學(xué)能談一

談什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式？

生如果數(shù)列｛a｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做

這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

師你能舉例說明嗎？

生如數(shù)列0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式為ftF/rlSeN);

1,1,1的通項(xiàng)公式為-=1D,1W〃W3);

1,-,-,-，…的通項(xiàng)公式為a產(chǎn)工(nGN).

234n

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)引入，回顧知識(shí)。

［合作探究］

數(shù)列的表示方法

師通項(xiàng)公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學(xué)們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？

生〃為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)&為縱坐標(biāo)，即以(〃,2)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)(以前

面提到的數(shù)列1,』,工，,，…為例，作出一個(gè)數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤

234

立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).

從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).

師說得很好，還有其他的方法嗎？

生……

師下面我們來介紹數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式法

知識(shí)都來源于實(shí)踐，同時(shí)還要應(yīng)用于生活，用其來解決一些實(shí)際問題.下面同學(xué)們來看右下

圖：鋼管堆放示意圖（投影片）.觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)

學(xué)模型.

生模型一：自上而下

第1層鋼管數(shù)為4,即14=1+3;

第2層鋼管數(shù)為5,即25=2+3;

第3層鋼管數(shù)為6,即36=3+3;

第4層鋼管數(shù)為7,即47=4+3;

第5層鋼管數(shù)為8,即58=5+3;

第6層鋼管數(shù)為9,即69=6+3;

第7層鋼管數(shù)為10,即710=7+3.

若用為表示鋼管數(shù)，〃表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且a產(chǎn)加3（1W〃W7）.

師同學(xué)們運(yùn)用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運(yùn)

用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很多方便.讓同

學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）

生模型二：上下層之間的關(guān)系

自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,

即ai=4；a2=5=4+l=ai+l；a3=6=5+l=a2+l.

依此類推：a產(chǎn)a^i+1（2WA（7）.

師

對(duì)于上述所求關(guān)系，同學(xué)們有什么樣的理解？

生若知其第1項(xiàng)，就可以求出第二項(xiàng)，以此類推，即可求出其他項(xiàng).

師看來，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.

推進(jìn)新課

1.遞推公式定義：

如果已知數(shù)列｛aj的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)為與它的前一項(xiàng)a片1（或前〃項(xiàng)）間的關(guān)系

可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.

如下列數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89.

遞推公式為：ai=3,3i=5,a0=aki+a巾2(3.

2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、

圖象法、解析式法.相對(duì)于數(shù)列來說也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析

式法.

【設(shè)計(jì)意圖】由具體情景切入，引出遞推公式，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)新知。

［例題剖析］

%=1

【例1】設(shè)數(shù)列｛aj滿足|,1.寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng).

%=1+一

〔an-l

師分析：題中已給出｛aj的第1項(xiàng)即a=1,題目要求寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，因而只要再

求出二到五項(xiàng)即可.這個(gè)遞推公式：a〃=l+」一我們將如何應(yīng)用呢？

生這要將n的值2和&=1代入這個(gè)遞推公式計(jì)算就可求出第二項(xiàng)，然后依次這樣進(jìn)行就可

以了.

師請(qǐng)大家計(jì)算一下！

］12158

生解：據(jù)題意可知：31=1,32=1+=2,as=l+——，&=1+=—,ck=一

axa23a335

師掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是其中的遞推關(guān)系，同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中

的前項(xiàng)與后項(xiàng)，或前后幾項(xiàng)之間的關(guān)系.

【例2】已知ai=2,aMi=2,a?,寫出前5項(xiàng)，并猜想為.

師由例1的經(jīng)驗(yàn)我們先求前5項(xiàng).

生前5項(xiàng)分別為2,4,8,16,32.

師對(duì)，下面來猜想第〃項(xiàng).

2

生由a=2,a2=2X2=2,國=2X2三23觀察可得，我猜想&=2".

師很好！

生老師，本題若改為求a〃是否還可這樣去解呢？

師不能.必須有求解的過程.

生老師，我由a.Ea”變形可得arfae即％=2,依次向下寫，一直到第一項(xiàng)，然后

an-l

2

將它們乘起來，就有-…義一=2"1,所以昕a-21=2".

an-lan-2an-3。

師太妙了，真是求解的好方法.你所用的這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式

求數(shù)列通項(xiàng)的問題中是比較常用的方法，對(duì)應(yīng)的還有迭加法.

【設(shè)計(jì)意圖】講練結(jié)合，鞏固新知。

［知識(shí)拓展］

已知ai=2,,a^i=a?-4,求a?.

師此題與前例2比較，遞推式中的運(yùn)算改為了減法，同學(xué)們想一想如何去求解呢?

生1與出：Si-2,a?=-2,a3=-6,a=-10,…

觀察可得：3^=2+(77-1)(zr4)=2-4(zrl).

生2他這種解法不行，因?yàn)椴皇遣鲁隽?，而是要求出a.

我這樣解：由a.「a產(chǎn)-4依次向下寫，一直到第一項(xiàng)，然后將它們加起來，

a『a0=-4

a^i-a^2=-4

a^2_a^3=_4

+)&2—q=14

Cln_%=—4(/7—1)

a〃=2-4(/7-1).

師好極了，真是觸類旁通啊，這種方法也請(qǐng)同學(xué)們課后多體會(huì).

【設(shè)計(jì)意圖】變式訓(xùn)練，觸類旁通，提升學(xué)生舉一反三的能力，并且給出了累加和累乘方法,

這在之后數(shù)列求通項(xiàng)時(shí)便可直接總結(jié)了。

［教師精講］

(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始

值，那么這個(gè)數(shù)列是不能確定的.

例如，由數(shù)列｛aj中的遞推公式a.尸2al+1無法寫出數(shù)列｛a｝中的任何一項(xiàng)，若又知a=1,

則可以依次地寫出32=3,a3=7,&=15,….

(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可能求不出

通項(xiàng)公式.

【設(shè)計(jì)意圖】由老師精講，讓學(xué)生知識(shí)又上一個(gè)層面。

［學(xué)生活動(dòng)］

根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式.(投影片)

(1)ai=O,=(2/7-1)心；

(2)ai=l,a*=—①；

氏+2

(3)ai—3,a"i=3a「2①.

(讓學(xué)生思考一定時(shí)間后，請(qǐng)三位學(xué)生分別作答)