22.2相似三角形的判定課件滬科版九年級數(shù)學上冊

22.2相似三角形的判定第二十二章相似形知識點相似三角形知1－講11.定義如果兩個三角形中，對應角相等，對應邊成比例，那么這兩個三角形相似.數(shù)學表達式：如圖22.2-1，在△ABC和△A'B'C'中，

△ABC∽△A′B′C′知1－講2.

相似三角形的表示方法相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.如圖22.2-2，△ABC與△A'B'C'相似，記作“△ABC∽△A'B'C'”，讀作“△ABC相似于△A'B'C'”.知1－講特別警示：用符號“∽”表示兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大寫字母寫在對應的位置上.如△ABC∽△A'B'C'表示頂點A與A'，B與B'，C與C'分別對應；如果僅說“△ABC與△A'B'C'

相似”，沒有用“∽”連接，則需要分類討論它們頂點的對應關(guān)系.知1－講

知1－練例1如圖22.2-3，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對應角相等，對應邊成比例”求解.知1－練

(1)求△ABC與△ADE的相似比；知1－練

(2)求∠AED的度數(shù)和DE的長.知1－練感悟新知1-1.如圖，已知△ABC∽△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°.(1)

求∠AED和∠ADE的度數(shù)；解：∵∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝95°.

∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠ABC＝95°.知1－練感悟新知(2)求DE的長．知2－講知識點平行線截三角形相似的定理21.定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，截得的三角形與原三角形相似.數(shù)學表達式：如圖22.2-4所示，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.書寫兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大寫字母寫在對應的位置上.知2－講2.

作用本定理是相似三角形判定定理的預備定理，它通過平行證三角形相似，再由相似證對應角相等、對應邊成比例.知2－講特別提醒根據(jù)定理得到的相似三角形的三個基本圖形中都有BC∥DE，圖22.2-4①②很像大寫字母A，故我們稱之為“A”型相似；圖22.2-4③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯數(shù)字“8”).知2－練如圖22.2-5，已知在ABCD中，E為AB延長線上的一點，AB＝3BE，DE與BC相交于點F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.例2知2－練解題秘方：緊扣“平行線截三角形兩邊的兩種基本圖形——‘A’型和‘X’型”進行查找.知2－練

知2－練感悟新知2-1.如圖，在ABCD中，E

是AB

延長線上一點，連接DE，交AC于點G，交BC于點F，那么圖中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)

A.6對B.5對C.4對D.3對B知2－練如圖22.2-6，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點E，如果測得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC為_______米．例37知2－練解題秘方：判斷是用“平行線截線段成比例”，還是用“平行線截三角形相似的對應邊成比例”解題是關(guān)鍵.

知2－練感悟新知3-1.如圖，在ABCD中，AC

與BD相交于點O，E

為OD

的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF∶FC=(

)A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.1∶2D知3－講知識點利用角的關(guān)系判定三角形相似的定理31.

定理如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似(可簡單說成：兩角分別相等的兩個三角形相似).數(shù)學表達式：如圖22.2-7所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知3－講特別提醒由兩角分別相等判定兩個三角形相似，其關(guān)鍵是找準對應角.一般地，相等的角是對應角．如：公共角、對頂角、同角(等角)的余角(補角)等都是相等的角，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件.知3－講2.

常見的相似三角形的類型(1)平行線型：如圖22.2-8①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC；(2)相交線型：如圖22.2-8②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC；知3－講(3)“子母”型：如圖22.2-8③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC；(4)“K”型：如圖22.2-8④，若點A，C，D共線，且∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC，圖形整體像一個橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.知3－練感悟新知如圖22.2-9，△ABC是等邊三角形，點D，E

分別在CB，AC

的延長線上，∠ADE=60°．求證：△ABD∽△DCE.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩個三角形相似”找到兩組角對應相等即可．證明：∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠DCE=120°．∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°，∠ADB+∠EDC=∠ADE=60°，∴∠DAB=∠EDC．∴△ABD∽△DCE．知3－練感悟新知4-1.

[期末·六安]如圖，在△ABC

與△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2，證明：△ABC

∽△ADE.證明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE.又∵∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE.知3－練感悟新知

例5知3－練感悟新知解題秘方：先利用勾股定理求出BC

的長，再分類討論.根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”和“相似三角形的對應邊成比例”計算．知3－練感悟新知

知3－練感悟新知答案：D

知3－練感悟新知5-1.如圖，在△ABC中，按如下步驟作圖：(1)以點B為圓心，BA

長為半徑畫弧，交BC

于點D；(2)以點C為圓心，CA

長為半徑畫弧，交CB

于點E．若AB=AC=2，∠B=36°，求ED

的長．知3－練感悟新知解：連接AE，AD.由作圖可得BD＝BA＝2，CA＝CE＝2.∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠B＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠ADB＝72°，∠CAE＝∠CEA＝72°，∴∠ADB＝∠CEA，∠BAE＝∠CEA－∠B＝36°，∴AE＝AD，∠BAE＝∠B.∴BE＝AE.∴AE＝BE＝AD.知3－練感悟新知知4－講知識點利用邊角關(guān)系判定三角形相似的定理4

知4－講特別提醒運用該定理證明相似時，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對應邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知4－練

例5

知4－練解題秘方：先緊扣“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明兩個三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例解決問題．

知4－練感悟新知6-1.如圖，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，一定能得到(

)A.△AED∽△CEDB.△ABE∽△ACBC.△ABC∽△EDCD.△AED∽△CBAC知5－講知識點利用三邊關(guān)系判定三角形相似的定理5

知5－講特別提醒1.由三邊成比例判定兩個三角形相似的方法與三邊對應相等判定三角形全等的方法類似，只需把三邊對應相等改為三邊成比例即可.2.應用時要注意比的順序性，即分子為同一個三角形的三邊，分母為另一個三角形的三邊，同時要注意邊的對應情況，用大邊對大邊、小邊對小邊的思路找對應邊.感悟新知知5－練[期中·安慶]如圖22.2-14，正方形網(wǎng)格中的小正方形的面積都為1，網(wǎng)格中有△ABC

和△DEF(三角形中的每個頂點都在格點上)．這兩個三角形相似嗎？請說明你的理由．例7知5－練感悟新知解題秘方：先根據(jù)勾股定理分別求出△ABC和△DEF的三邊長，再判斷它們是否對應成比例即可．

知5－練感悟新知

知5－練感悟新知7-1.如圖，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是________．(填序號)①③知6－講知識點直角三角形相似的判定61.

定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似(可簡單說成：斜邊和一組直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似).知6－講2.

直角三角形相似的判定方法(1)一組銳角相等的兩個直角三角形相似；(2)兩組直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似；(3)斜邊和一組直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.知6－講

知6－講思路總結(jié)判定兩個三角形相似的思路：已知平行于三角形一邊的直線，直接找兩個三角形相似；已知一角對應相等，找另一角對應相等，或夾這個角的兩邊對應成比例；已知兩邊對應成比例，找夾角相等，或與第三邊成比例；已知直角三角形，找一組銳角相等，或兩組直角邊對應成比例，或斜邊和一組直角邊對應成比例.知6－練[母題教材P84練習T3]在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列條件中，不能判定這兩個三角形相似的是()A.∠A＝55°，∠D＝35°B.

AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C.

AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D.

AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9例8知6－練解題秘方：緊扣“直角三角形相似的判定方法”一一進行驗證.知6