高中數(shù)學新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習：11 橢圓（學生版+解析版）

專題11橢圓

一、單選題

1.（2019?浙江省高二期末）橢圓工+丁=1的長軸長為（）

4

A.1B.2C.D.4

22

2.（2020.黑龍江省鐵人中學高二月考（文））方程』一+"—=1表示橢圓的必要不充分條件是（)

4+加2-m

A.me（-l,2）B.me（^4,2）

C.mD.me（-l,4-co）

3.（2020?咸陽市教育教學研究室高三一模（文））橢圓2/—加/=1的一個焦點坐標為（0,-/），則實數(shù)

m=（）

2222

A.-B.-C.-----D.-----

3535

Y2V2

4.（2020.定遠縣育才學校高二月考（文））已知片，區(qū)是橢圓需+1=1的兩焦點，過點區(qū)的直線交橢圓于

點A、B,若|明=5,則|AK|+|跖|=（）

A.11B.10C.9D.16

5.（2020?安徽省高二期末（文））已知橢圓。的中心在原點，焦點在y軸上，且短軸的長為2,離心率等于

詈，則該橢圓的標準方程為（）

2222

AA?-%----1---y--=I1B0.--y----1%=1I

204204

22

C.工+f=iD.—+y2=l

55

尤2v2

6.（2020?天津市實驗中學濱海學校高三一模）設橢圓C：訝+方=l（a>/,>0）的左、右焦點分別為￡、

F2,P是C上的點。6_16巴，ZPFtF2=30°,則。的離心率為（)

A.?B.-C.-D.顯

6323

22

7.（2020?北京高三月考）已知曲線C的方程為工-±=1，則是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”

ab

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

8.（2020.安徽省六安一中高二開學考試（理））點P為橢圓2-+2-=1上任意一點，E/為圓

1615

N:（x—1）2+V=i的任意一條直徑，則而.而的取值范圍是（）

A.(8,24)B.[8,24]C.[5,21]D.(5,21)

9.（2020.定遠縣育才學校高二月考（文））已知橢圓工+二=1上一點M到橢圓的一個焦點的距離等于4,

259

那么點M到另一個焦點的距離等于（）

A.1B.3C.6D.10

223

10.（2020?安徽省高三三模（理））已知橢圓r=+*v=1（a>6>0）的離心率為彳，左，右焦點分別為耳，

F2,過左焦點耳作直線與橢圓在第一象限交點為P,若△PFE為等腰三角形，則直線PFy的斜率為（）

A.B.2^1C.4A/5D.

787

二、多選題

11.（2020?海南省高三零模）已知P是橢圓C:二+產(chǎn)=1上的動點，。是圓。：（8+1）2+;/=!上的動點，

65

則（）

A.C的焦距為6B.C的離心率為我

6

C.圓。在C的內(nèi)部D.|PQ|的最小值為半

12.（2020?高密市第一中學高三月考）某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心尸為一個焦點的橢圓,

如圖所示，己知它的近地點A（離地面最近的點）距地面加千米，遠地點8（離地面最遠的點）距地面〃千

米，并且尸、48三點在同一直線上，地球半徑約為R千米，設該橢圈的長軸長、短軸長、焦距分別為

A.a-c—m+RB.a+c-n+RC.2a-m+nD.b=yl(m+R)(n+R)

x2y2

13.（2020?南京市秦淮中學高二期末）在平面直角坐標系中，橢圓靛+”=1（〃＞。＞0）上存在點P,

使得其中耳、居分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（）

11l3

A.—B.-C.3日-6D.—

424

三、填空題

14.（2020.定遠縣育才學校高二月考（文））焦點在X軸，兩準線間的距離為粵1,焦距為26的橢圓方

程為.

22

15.（2019?浙江省高二期中）若方程一二+二一=1表示橢圓，則實數(shù)〃，的取值范圍是；當機=-1

機+2\-m

時，橢圓的焦點坐標為.

22

16.（2020?黑龍江省高三一模（理））已知橢圓C：1+三=1的左、右焦點分別為￡,F2,如圖4B是

過月且垂直于長軸的弦，則寫的內(nèi)切圓方程是.

17.（2020?合肥一六八中學高三月考（理））已知兩定點A（—1,0）和8（1,0）,動點P（x,y）在直線/：）＞=x+3

上移動，橢圓。以A,B，為焦點且經(jīng)過點P,則橢圓C的離心率的最大值為.

四、解答題

18.（2019?肅寧縣第一中學高二月考）求下列橢圓的標準方程：

（1）焦點在X軸上，離心率e=|,且經(jīng)過點2；

（2）以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且過點尸（3,0）.

19.（2019?甘南藏族自治州合作第一中學高二期末（理））橢圓的兩個焦點的坐標分別為R（-2,0）,F2

（2,0）,且橢圓經(jīng)過點（與-1）

22

（1）求橢圓標準方程.

（2）求橢圓長軸長、短軸長、離心率.

20.（2020?河北省深州市長江中學高二月考）

已知橢圓C的兩焦點分別為耳卜2枝,0）、用2衣0）,長軸長為6.

⑴求橢圓C的標準方程；⑵已知過點（0,2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點,求線段AB的長

度.

22

21.（2019?江蘇省淮陰中學高三月考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，己知橢圓斗+9=］（。＞。＞0）

的焦點為￡（-c,0）,E（c,0）,點A為上頂點，直線交橢圓于點反

（2）若A招，Bg,求橢圓的離心率.

22.（2020?萍鄉(xiāng)市湘東中學高二期中（文））已知橢圓的中心在原點，焦點在4軸上，離心率為也，且經(jīng)

2

過點M（4,l）,直線/：y=x+/n交橢圓于不同的兩點A,B.

(1)求橢圓的方程；

(2)求利的取值范圍.

22

23.(2020?江西省高三其他(理))已知橢圓的焦距為2擊，短軸長為2血?

(1)求C的方程；

(2)若直線y=x+2與。相交于A、3兩點，求以線段為直徑的圓的標準方程.

專題11橢圓

一、單選題

1.(2019?浙江省高二期末)橢圓土+丁=1的長軸長為()

4

A.1B.2C.273D.4

【答案】D

【解析】

2

由三+丁=1可得/=4,即。=2

4-

所以長軸長為2a=4

故選：D

22

2.(2020.黑龍江省鐵人中學高二月考(文))方程上一+二一=1表示橢圓的必要不充分條件是()

4+2-m

A./Tie(-1,2)B.mG(-4,2)

C.nz￡(Y,-l)D(-l,2)D.(-l,+oo)

【答案】B

【解析】

4+m>0

22

方程上一+二一=1表示橢圓的充要分條件是2-m>0

4+2-m

4+機。2-m

解得：me(-4,-1)U(-1,2),

所以me(T,,2)是正確選項的真子集，

對照四個選項，只有(-4,2)符合.

故選：B.

3.(2020.咸陽市教育教學研究室高三一模(文))橢圓2/—加/=i的一個焦點坐標為則實數(shù)

m=()

2222

A.-B.一C.--D.---

3535

【答案】D

【解析】

二+工--1/r\11

橢圓的標準方程為11—I由于該橢圓的一個焦點坐標為0,—&,則--------=2,

-v'm2

2m

解得加=-■!.

故選：D.

22

4.(2020?定遠縣育才學校高二月考(文))己知耳，鳥是橢圓器+三=1的兩焦點，過點"的直線交橢圓于

點4、3,若|明=5,則。耳|+忸用=()

A.11B.10C.9D.16

【答案】A

【解析】

如圖，

由橢圓三+二=1可得：/=16,則。=4

169

乂|M|+忸制+|AB|=4a=16

且|明=5

則|時|+忸耳|=11

故選A

5.（2020?安徽省高二期末（文））已知橢圓C的中心在原點，焦點在y軸上，且短軸的長為2,離心率等于

半，則該橢圓的標準方程為（

)

2237

A.-----1-----=IB.

204204

2

X1

c.21+Y=ID.—+V2=1

55

【答案】C

【解析】

22

設橢圓C標準方程為：4+二=1(。>Z>>0).

a2b2

?.?短軸長為2,.?.28=2,解得：b=L

?.?離心率e=￡=2石,乂/=〃+/=1+，，：./=5，

a5

2

???橢圓C的標準方程為匕+/=1.

5

故選：C.

22

6.（2020?天津市實驗中學濱海學校高三一模）設橢圓。：鼻+}=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳、

瑪，P是C上的點PgJ?大瑪，NP￡g=30。，則。的離心率為（）

A瓜11

B.-C.一D.B

6323

【答案】D

【解析】

設|Pg|=x,???「瑪，耳乙，4耳馬=30。,

.?.伊耳|=2%,閨用=小，

又歸耳|+|尸閭=勿，閨閭=2c

?"?2a=3x,2c=-\/3x，

.?.C的離心率為：e=—=—?

la3

故選：D.

r22

7.（2020?北京高三月考）已知曲線C的方程為二-2v-=1,則“〃獷”是"曲線C為焦點在x軸上的橢圓”

ab

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

若。>方>0,則對應的曲線為雙曲線，不是橢圓，即充分性不成立，

若曲線C為焦點在X軸上的橢圓，則滿足a>-人>0,

即a>0,b<0,滿足。>方，即必要性成立，

即“〃>h”是“曲線C為焦點在x軸上的桶圓”的必要不充分條件.

故選：B.

丫22

8.（2020?安徽省六安一中高二開學考試（理））點P為橢圓二+2v-=1上任意一點，EF為圓

1615

N:（x—l）2+y2=i的任意一條直徑，則屋.而的取值范圍是（）

A.（8,24）B.18,24]C.[5,21]D.（5,21）

【答案】B

【解析】

由題意，屋.所=（而+屜）?（而+標）=（而+詬）?（而一亞）=|所『—]屜『

又EF為圓N:（x—l）2+/=1的任意一條宜徑，則|屜卜1,

在橢圓看+看=1中，有。一?！粌蓔4a+c,即3?|麗小5,

所以，8<|^V|2-1<24,故厚.而=|兩的取值范圍為區(qū)24].

故選：B.

9.（2020?定遠縣育才學校高二月考（文））已知橢圓工+上=1上一點”到橢圓的一個焦點的距離等于4,

259

那么點M到另一個焦點的距離等于（）

A.1B.3C.6D.10

【答案】C

【解析】由橢圓方程可得,,a-2=25,2a=10,由橢圓的定義可得點M到另一焦點的距離等于6,故選C.

V-223

10.（2020?安徽省高三三模（理））己知橢圓二+v/=1（a>8>（））的離心率為丁左，右焦點分別為片，

馬，過左焦點耳作直線與橢圓在第一象限交點為P,若△助鳥為等腰三角形，則直線2耳的斜率為（）

、4及R7逝

C.475

------------D.------------D.半

78

【答案】A

【解析】

因為點尸在第一象限，所以|心|>|2"|,

c35

因為e=—==,所以a=

a53

4

當|尸/"斗月鳥|=2。時，|2乙|=2〃-2°=§。滿足|刊">上西|,

4c2+而

___________9-7,

8c2__9

所以sinNP6月

40

sinZP^F；

所以tanNP"6

77

cosZPF}F2

9

所以直線PF】的斜率為W1,

7

4

當|PgR耳心|=2c時，|防|=2。一|「工|=2。-2。=§?！磡月耳，不符合題意.

綜上所以直線PF、的斜率為逆.

7

故選：A

二、多選題

11.（2020?海南省高三零模）已知P是橢圓C:二+產(chǎn)=1上的動點，。是圓O:（x+l）2+y2=J.上的動點,

65

則（）

A.C的焦距為逐B(yǎng).C的離心率為粵

C.圓。在C的內(nèi)部D.|尸。|的最小值為今5

【答案】BC

【解析】

依題意可得c=后斤=6,則C的焦距為26，6=4=叵.

設P(x,y)(—^6<x<屈)，

44I

+->->—，

555

所以圓。在C的內(nèi)部，且IPQI的最小值為

故選：BC.

12.（2020.高密市第一中學高三月考）某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓,

如圖所示，己知它的近地點A（離地面最近的點）距地面，〃千米，遠地點8（離地面最遠的點）距地面〃千

米，并且尸、A、8三點在同一直線上，地球半徑約為A千米，設該橢圈的長軸長、短軸長、焦距分別為

2a、2）、2c,則（）

A.a-c=m+RB.a+c=〃+RC.2a=m十九D.b=+R)(〃+R)

【答案】ABD

【解析】

因為地球的中心是橢圓的?個焦點，

m-a-c-R

并且根據(jù)圖象可得I八，(*)

n=a+c-R

s.a-c=m-vR,故A正確；

a+c=n+R.故B正確；

(*)兩式相加m+〃=2。-2/?,可得2。=m+〃+2R,故C不正確；

m+R=a—c/、/、

由(*)可得＜+R+，兩式相乘可得(m+R)(〃+R)=〃-—c

?.,a2-c2=b2，

:.h2=+/?)(〃+H)n〃=+/?)(〃+H),

故D正確.

故選：ABD

爐+區(qū)

13.（2020?南京市秦淮中學高二期末）在平面直角坐標系尢Oy中，橢圓部+從=1（4>人>0）上存在點P,

使得"=3叫，其中耳、鳥分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（）

11L3

A.—B.-C.3>/5-6D.—

424

【答案】BD

【解析】

,、PF.-3PF、3aa

設橢圓的焦距為2c（c>0）,由橢圓的定義可得°二"，解得朋=?，尸鳥=彳，

1r1十—乙aLL

7c1c1c

由題意可得，解得一》一，又0〈一<1,所以，一《一<1,

3?！筧2a2a

—<a+c

12

所以，該橢圓離心率的取值范圍是

故符合條件的選項為BD.

故選：BD.

三、填空題

14.（2020?定遠縣育才學校高二月考（文））焦點在工軸，兩準線間的距離為與5,焦距為2石的橢圓方

程為.

22

【答案】—+^-=1

94

【解析】

ca218>/5

2x—=-----

c5

22

設橢圓方程為2+方=1（。>〃>0）,依題意<2c=2逐,

'''Y=82+c2

解得a-3,h-2,c—>/5.

22

所以橢圓方程為%土+Lv=i.

94

22

故答案為：二-+）-=1

94

V22

15.（2019?浙江省高二期中）若方程上~+工V=1表示橢圓，則實數(shù)加的取值范圍是;當機=-1

m+2l-m

時，橢圓的焦點坐標為.

【答案】（-2,-g）U（-g,l）；（0,-1）,（0,1）.

【解析】

①根據(jù)橢圓的方程特征，方程—L+-2—=i表示橢圓，則

m+2l-m

m+2>0

*1-777>0解得：ITlE(—2,——)U(—~3)：

zn+2wl-m

2

②加=一1時，橢圓的方程/+上=1,焦點在y軸，其坐標分別為(0,—1),(0/)

2

故答案為：①旅g(-2,-])U(-±1)；②(0,-1),(0,1)

22

22

16.(2020?黑龍江省高三一模(理))已知橢圓。：弓_+與=1的左、右焦點分別為6，F(xiàn)2,如圖AB是

過耳且垂直于長軸的弦，則A43瑪?shù)膬?nèi)切圓方程是.

【答案】+y2=g

【解析】

由已知，A(—2,*)，8(-2,-手)，鳥(2,0),設內(nèi)切圓的圓心為?,0)。>一2),半徑為r,則

S&ABF、=葭ABXF[F,=gX(AB+AF,+BF2)xr=^-x4axr,故有x4=4瓜r,

'2223

2248

解得r=1,由|/一(一2)|=§,，=一§或t=(舍)，所以AA5層的內(nèi)切圓方程為

4

2

4+y=

x-\—9-

3

4A44

+2-

故答案為:-y-

379

17.(2020?合肥一六八中學高三月考(理))已知兩定點A(-1,0)和6(1,0),動點P(x,y)在直線/：y=x+3

上移動，橢圓。以A,B，為焦點且經(jīng)過點P,則橢圓。的離心率的最大值為.

【答案】亞

5

【解析】

由題意得，2c=|AB|=2,所以c=l,2a=\PA\+\PB\

當。取最小值時，橢圓。的離心率有最大值，

設點A(-l,0)關(guān)于直線/：y=x+3的對稱點為A(x,y),

上=7

x+1x--3

則〈解得，C

上=七1+3卜=2

122

所以A'(—3,2),

則+歸同=怛川+歸耳>|A'5|,所以2a>\AB\=2s/5,

所以當a=J5時，橢圓的離心率最大，

此時，￡=」=立

ay/55

故答案為：—

5

四、解答題

18.(2019?肅寧縣第一中學高二月考)求下列橢圓的標準方程:

⑴焦點在“軸上，離心率e=|,旦經(jīng)過點A呼,”

(2)以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且過點P(3,0).

222

【答案】（1）—+^-=1；（2）—+y1或匕+二=1

25169'819

【解析】

22

(1)因為焦點在X軸上，即設橢圓的標準方程為多+2=13>6>0),

a~h~

754l

'衣①’

7

3,2222

c=—a,:,b=a-c=a,^b2=—a2.@,

25

754x25

把②代入①，得一7+—r=l，解得力=25,;.〃=16,

4a-16a-

二橢圓的標準方程為—+^-=1.

2516

22

（2）若焦點在工軸上，設方程為1+鼻=1（。>/,>0）.

ab

因為桶圓過點P（3,0）,所以方+/=1，又2a=3x2力，，。=3/=1

丫2

橢圓的標準方程為二+V1,

9'

22o2

若焦點在y軸上，設方程為=+￡=1（?！?。〉0）.因為橢圓過點P（3,O）,,所以］+a=1,又

2a=3乂2b,;.a=9,b=3.?.橢圓的方程為工+工=1

819

222

綜上，所求的橢圓方程是土+y2=l或匕+土=1

9-819

19.（2019?甘南藏族自治州合作第一中學高二期末（理））橢圓的兩個焦點的坐標分別為Fi（-2,0）,

（2,0）,且橢圓經(jīng)過點冷-3

22

（1）求橢圓標準方程.

（2）求橢圓長軸長、短軸長、離心率.

22

【答案】（1）橢圓的標準方程為：￡—+工=1,

106_

（2）橢圓的長軸長：2yd短軸長2通，離心率6=君7平.

【解析】

22

（1）設橢圓的標準方程為（a>b>0）,

a，b’

則2a=J（慨+2）?+（-*1）（-|~2）+（-■!）=235

即a=J記，

又；c=2,

b2=a2-c2=6,

22

故橢圓的標準方程為：工+工一=1,

106

（2）由（I）得：

橢圓的長軸長：2伍，

短軸長2企，

離心率e=j「伍.

V105

20.（2020?河北省深州市長江中學高二月考）

已知橢圓C的兩焦點分別為6卜28,0）、鳥（2枝,0）,長軸長為6.

⑴求橢圓C的標準方程；⑵已知過點（0,2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點,求線段AB的長

度.

【答案】⑴二+亡=1；⑵迪

915

【解析】

⑴由耳卜F2（2^2,0j,長軸長為6

得：。=2，5,々=3所以〃=1

22

，橢圓方程為'+±二1

91

22

⑵設A（jq,y）,8（七,必），由⑴可知橢圓方程為二+、-=1①，

V宜線AB的方程為y=X+2②

把②代入①得化簡并整理得IOJC2+36x+27=0

一…1827

所以玉+々=一二，再無2=記

述

又|明=

5

21.（2019?江蘇省淮陰中學高三月考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓二+1=1(。>Z?>0)

b1

的焦點為耳（-。,0）,E（c,0）,點A為上頂點，直線期交橢圓于點兒

（2）若AF21BB，求橢圓的離心率.

【答案】（1）（2）浮

【解析】

（1）因為a=及，c=l,所以橢圓的方程為1+9=1,直線A5:y=x+1,

（2

X_14

<2+）2=>3x2+4x=0,所以1=0或工=—,

13

J=x+1

41

所以點5的坐標為（一§,一§）.

（2）設忸用=%,則忸聞=2。一x,

因為點A為上頂點，所以|M|=|A7^|=a,

因為6，所以/+（20—x）2=（a+x）2,所以