上海市浦東新區(qū)上海立信會計金融學(xué)院附屬高行中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測（9月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高行中學(xué)高三第一次質(zhì)量檢測一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知全集，集合，則______.【答案】##空集【解析】【分析】解得集合，結(jié)合補集的定義和運算即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以.故答案為：2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為-1,1，則______.【答案】【解析】【分析】由已知求得，進(jìn)一步得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則計算可得．【詳解】根據(jù)題意知，所以，所以.故答案為：3.函數(shù)y＝sin2xcos2x的最小正周期是__________________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：先利用二倍角公式化簡函數(shù)，再求函數(shù)的周期．考點：二倍角的正弦；三角函數(shù)的周期性及其求法4.記為等差數(shù)列的前項和.若，則公差__________.【答案】3【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，已知條件轉(zhuǎn)化為，可求公差.【詳解】為等差數(shù)列an的前項和，若公差為，且，則有，得，解得.故答案為：35.直線與直線的夾角大小為__________.【答案】##【解析】【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角.【詳解】因為直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故直線與直線的夾角大小為.故答案為：.6.已知，若關(guān)于的方程解集為，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由題意得無解，對分，和且討論，再結(jié)合判別式即可求解.【詳解】由，整理得，即，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)且時，方程無解，即無解，，解得，又，的取值范圍為.故答案為：.7.在一次射擊訓(xùn)練中，某運動員5次射擊環(huán)數(shù)依次是，則該組數(shù)據(jù)的方差__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)公式和方差公式計算可得.【詳解】因為平均數(shù)，所以方差.故答案為：8.已知函數(shù)，則在點處的切線的傾斜角為__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，然后由反三角表示即可.【詳解】因為，所以，記在點處的切線的傾斜角為，則，則，所以.故答案為：9.如圖，對于直四棱柱，要使，則在四邊形中，滿足的條件可以是______．（只需寫出一個正確的條件）【答案】（只要使得即可）.【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理及線面垂直的定義可得出結(jié)論.【詳解】連接，如下圖所示：因為平面，平面，則，若，，、平面，平面，平面，.故答案為：（只要使得即可）.10.將半徑為1的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐簡的高為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐展開圖可知圓錐底面周長等于半圓形紙片弧長，母線為半圓形紙片的半徑，進(jìn)而利用圓錐的軸截面計算可得.【詳解】如圖所示，由題意可知圓錐的母線，設(shè)圓錐的半徑為，高為，則圓錐底面周長等于半圓形紙片弧長，故得，故.故答案為：11.在空間直角坐標(biāo)系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計算，即可求解.【詳解】由條件可得，，所以在方向上投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：12.已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點、，P是與在第一象限的交點，當(dāng)時，雙曲線的離心率等于______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)P點是橢圓和雙曲線的交點，結(jié)合橢圓雙曲線的定義表示出，，在△中結(jié)合余弦定理即可列出方程求解．【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓離心率為，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線離心率為，它們的左右焦點為、，由題可知，設(shè)，，則，由①②得，，，代入③整理得，，兩邊同時除以得，，即，所以，解得(舍去)，或，即.故答案為：.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】C【解析】【分析】由可推出同號，則根據(jù)分類討論可得出，根據(jù)，兩邊同乘可得，即可選出選項.【詳解】由題知，則同號，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，故能推出，當(dāng)成立時，又，對不等式兩邊同時乘以可得，故“”是“”的充分必要條件.故選：C.14.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義域可得A錯誤；由奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)可得B正確；由奇函數(shù)的性質(zhì)可得C錯誤；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得D錯誤；【詳解】函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又恒成立，所以在上為減函數(shù)，故B正確；定義域為不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得在為增函數(shù)，又，所以在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，故D錯誤；故選：B.15.已知是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是（）A.若不平行，則與可能垂直于同一平面B.若平行于同一平面，則與不可能異面C.若不平行，則在內(nèi)存在與平行的直線D.若垂直于同一平面，則與一定平行【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間線線、線面、面面的位置關(guān)系對選項進(jìn)行逐一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，若與垂直于同一平面，則有，A選項錯誤；對于B，若平行于同一平面，則與可能相交可能平行也可能異面，B選項錯誤；對于C，若不平行，則與相交，在內(nèi)平行于交線的直線與平行，C選項正確；對于D，若垂直于同一平面，則與可能平行可能相交，D選項錯誤.故選：C.16.設(shè)函數(shù)，若對于任意，在區(qū)間上總存在確定的，使得，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)圖象的單調(diào)性得,,根據(jù)，可得即可根據(jù)求解.【詳解】因為，若，則，所以,，即,，由在區(qū)間上總存在確定的，使得，則在區(qū)間上總存在確定的，使得，當(dāng)時，,故，故故的最大值為：，故選：C．三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.如圖，在直三棱柱中，，交于點為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)得到，即可證明；（2）由（1）知兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算求得平面的一個法向量為，又，即可求得直線與平面所成角的大小.【小問1詳解】因三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，則，，，，.設(shè)，所以，因為，所以，即，所以平面的一個法向量為.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則所以直線與平面所成角的大小為.18.在三角形中，內(nèi)角所對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，三角形的面積為，求三角形的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出.(2)由三角形的面積公式可得，結(jié)合及余弦定理即可求出，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因為，所以，因此，所以，所以.【小問2詳解】由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長為.19.某高中隨機抽取名學(xué)生，測得他們的身高（單位：cm），按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如下圖所示）.（1）求身高不低于170cm學(xué)生人數(shù)；（2）將身高在，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個組，用分層抽樣的方法從三個組中抽取6人．①求從這三個組分別抽取的學(xué)生人數(shù)；②若要從6名學(xué)生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．【答案】（1）60人；（2）①30人，20人，10人；②【解析】【分析】（1）先求出,的頻率可得結(jié)果．（2）①由分層抽樣可得各組的人數(shù);②分別列舉各種情況可得概率．【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知,的頻率為，故身高在以上的學(xué)生人數(shù)為（人．【小問2詳解】①，，三組的人數(shù)分別為，，人．因此應(yīng)該從，，三組中每組各抽?。ㄈ?，（人，（人．②設(shè)組的3位同學(xué)為，，，組的2位同學(xué)為，，組的1位同學(xué)為，則從6名學(xué)生中抽取2人有15種可能：,，,，,．,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,．其中組的2位學(xué)生至少有1人被抽中有9種可能：,，,，,，,，,，,，,，,，,．所以組中至少有1人被抽中的概率為．20.近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以中點A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點在弧BC上（不與端點重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).（1）如果點P位于弧BC的中點,求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;（2）“地攤經(jīng)濟(jì)”對于“拉動靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時攤點,積極推進(jìn)“地攤經(jīng)濟(jì)”發(fā)展,預(yù)計每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?（精確到1萬元）【答案】（1）(米)（2）2022萬元【解析】【分析】(1)根據(jù)圖依次求出三條線段長度即可求出總長度;(2)將PQ、PR、RQ三邊通過圖中的關(guān)系用關(guān)于的等式表示,再記經(jīng)濟(jì)總效益,將進(jìn)行表示,通過輔助角公式化簡求出最值即可.小問1詳解】解:由題,,同理,故,由于點P位于弧BC的中點,所以點P位于的角平分線上,則,,因為,,所以為等邊三角形,則,因此三條街道的總長度為（米）.【小問2詳解】由圖可知,,,,在中由余弦定理可知:,則,設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益,則,當(dāng)即時取最大值,最大值為.答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為2022萬元.21.如圖，橢圓的上、下焦點分別為、，過上焦點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，動點、分別在直線與橢圓上.（1）求線段的長；（2）若線段的中點在軸上，求的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點的縱坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求出點的橫坐標(biāo)，根據(jù)對稱性可得線段的長；；（2）線段PQ的中點在軸上，得點縱坐標(biāo)，代入橢圓方程得點橫坐標(biāo)，此時軸，易得其面積；（3）假設(shè)存在，為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上，設(shè)，，，由平行四邊形對角線互相平分把點坐標(biāo)用點坐標(biāo)表示，然后把坐標(biāo)代入橢圓方程，利用垂直得向量的數(shù)量積為0，得出的關(guān)系，結(jié)合起來可得或，再分別代入求得，得結(jié)論．【小問1詳解】由可得：，，從而，所以令，則，解得：，所以.【小問2詳解】線段的中點在軸上，則，所以，即軸，所以令，則，解得：，所以；【小問3詳解】，假設(shè)存在以，為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上