6.3.1二項(xiàng)式定理課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理6.3.1二項(xiàng)式定理課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.4.通過該節(jié)的學(xué)習(xí),理解從特殊到一般的思維方法,培養(yǎng)觀察歸納能力、抽象思維和邏輯思維能力.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)二項(xiàng)式定理1.我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(a+b)2=a2+2ab+b2,(1)試用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)(a+b)3,(a+b)4的展開式;(2)上述兩個(gè)展開式有何特點(diǎn)?(3)你能用組合的觀點(diǎn)說明(a+b)4是如何展開的嗎?提示:(1)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.(2)(a+b)3的展開式有4項(xiàng),每項(xiàng)的次數(shù)是3;(a+b)4的展開式有5項(xiàng),每一項(xiàng)的次數(shù)為4.(3)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多項(xiàng)式的乘法法則知,從每個(gè)(a+b)中選a或選b相乘即得展開式中的一項(xiàng).【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)(a+b)n的展開式中共有n項(xiàng).(×)(2)an-kbk是(a+b)n展開式中的第k項(xiàng).(×)(3)(a-b)n與(a+b)n的二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同.(

√

)合作探究釋疑解惑探究一二項(xiàng)式定理的正用與逆用運(yùn)用二項(xiàng)式定理的解題策略(1)正用:求形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)展開式時(shí)可直接由二項(xiàng)式定理展開,展開時(shí)注意二項(xiàng)展開式的特點(diǎn),前一個(gè)字母是降冪,后一個(gè)字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會(huì)出現(xiàn)正負(fù)間隔的情況.對(duì)較繁雜的式子,先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開.(2)逆用:逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn),對(duì)于這類問題的求解,要熟悉二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律、各項(xiàng)的系數(shù)等特點(diǎn).探究二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題1.求某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)或展開式中含xr的項(xiàng)的系數(shù),主要是利用通項(xiàng)公式求出相應(yīng)的項(xiàng),特別要注意某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)兩者的區(qū)別.2.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān),與二項(xiàng)式無關(guān),后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān).【變式訓(xùn)練2】

(2x+1)6的展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.60 B.120 C.240

D.480答案:C探究三與二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)有關(guān)的問題(一)求二項(xiàng)展開式中特定的項(xiàng)

(1)n的值;(2)展開式中含x3的項(xiàng).1.本例條件不變,求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).2.本例條件不變,求二項(xiàng)展開式中的所有有理項(xiàng).求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)常見題型及處理措施(2)求常數(shù)項(xiàng).對(duì)于常數(shù)項(xiàng),其隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng)).(3)求有理項(xiàng).對(duì)于有理項(xiàng),是指其所有字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.(4)求整式項(xiàng),求二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng),其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)一致.(1)n的值;(2)含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)展開式中所有的有理項(xiàng).(二)由二項(xiàng)展開式某項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)問題答案:D由二項(xiàng)展開式某項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)問題的關(guān)鍵是抓住其通項(xiàng)公式,求解時(shí)先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng),再把系數(shù)和字母分離,根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征,列出方程或不等式即可求解.答案:A探究四二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例5】

(1)(x+y)(2x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(

)A.80 B.120 C.240

D.320(2)若(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=

.

解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),故展開式中x3y3的系數(shù)為40+80=120.(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為(4a+1)x,(4a+6)x3,x5,其系數(shù)之和為(4a+1)+(4a+6)+1=32,解得a=3.答案:(1)B

(2)31.兩個(gè)二項(xiàng)展開式乘積的展開式中的特定項(xiàng)問題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn).(2)找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分.(3)分別求解后相乘,求和即得.2.三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合,項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)要注意合理性和簡(jiǎn)捷性.【變式訓(xùn)練5】

已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a等于(

)A.-4 B.-3 C.-2 D.-1答案:D

數(shù)學(xué)建模利用二項(xiàng)式定理解決整除性問題【典例】

(1)今天是星期一,過2100天后是星期

.

(2)求證:32n+2-8n-9能被64整除.答案:三

整除性或求余數(shù)問題的處理方法(1)構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式,即把被除數(shù)的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式.(2)利用二項(xiàng)式定理展開,由于前面(或后面)絕大多數(shù)項(xiàng)都含有除數(shù)這一因式,能被除數(shù)整除,因此只需研究后面(或前面)一、兩項(xiàng)就可以.(3)注意余數(shù)的范圍.(4)利用二項(xiàng)式定理展開、變形后,若剩余部分是負(fù)數(shù),則要注意轉(zhuǎn)化為正數(shù).【變式訓(xùn)練】

(1)用二項(xiàng)式定理證明:34n+2+52n+1能被14