6.3.1二項式定理課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性2

人教A版

數(shù)學

選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理6.3.1二項式定理課標定位素養(yǎng)闡釋1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.4.通過該節(jié)的學習,理解從特殊到一般的思維方法,培養(yǎng)觀察歸納能力、抽象思維和邏輯思維能力.自主預習新知導學二項式定理1.我們在初中學習了(a+b)2=a2+2ab+b2,(1)試用多項式的乘法法則推導(a+b)3,(a+b)4的展開式;(2)上述兩個展開式有何特點?(3)你能用組合的觀點說明(a+b)4是如何展開的嗎?提示:(1)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.(2)(a+b)3的展開式有4項,每項的次數(shù)是3;(a+b)4的展開式有5項,每一項的次數(shù)為4.(3)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多項式的乘法法則知,從每個(a+b)中選a或選b相乘即得展開式中的一項.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)(a+b)n的展開式中共有n項.(×)(2)an-kbk是(a+b)n展開式中的第k項.(×)(3)(a-b)n與(a+b)n的二項式展開式中各項的二項式系數(shù)相同.(

√

)合作探究釋疑解惑探究一二項式定理的正用與逆用運用二項式定理的解題策略(1)正用:求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開,展開時注意二項展開式的特點,前一個字母是降冪,后一個字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會出現(xiàn)正負間隔的情況.對較繁雜的式子,先化簡再用二項式定理展開.(2)逆用:逆用二項式定理可將多項式化簡,對于這類問題的求解,要熟悉二項展開式的項數(shù)、次數(shù)、各項冪指數(shù)的規(guī)律、各項的系數(shù)等特點.探究二二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題1.求某項的二項式系數(shù)、系數(shù)或展開式中含xr的項的系數(shù),主要是利用通項公式求出相應的項,特別要注意某項的二項式系數(shù)與系數(shù)兩者的區(qū)別.2.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念,前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關,與二項式無關,后者與二項式、二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關.【變式訓練2】

(2x+1)6的展開式中含x4項的系數(shù)為(

)A.60 B.120 C.240

D.480答案:C探究三與二項展開式中的特定項有關的問題(一)求二項展開式中特定的項

(1)n的值;(2)展開式中含x3的項.1.本例條件不變,求二項展開式中的常數(shù)項.2.本例條件不變,求二項展開式中的所有有理項.求二項展開式的特定項常見題型及處理措施(2)求常數(shù)項.對于常數(shù)項,其隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項).(3)求有理項.對于有理項,是指其所有字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.(4)求整式項,求二項展開式中的整式項,其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù),求解方式與求有理項一致.(1)n的值;(2)含x2的項的系數(shù);(3)展開式中所有的有理項.(二)由二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)問題答案:D由二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)問題的關鍵是抓住其通項公式,求解時先準確寫出通項,再把系數(shù)和字母分離,根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征,列出方程或不等式即可求解.答案:A探究四二項式定理的綜合應用【例5】

(1)(x+y)(2x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(

)A.80 B.120 C.240

D.320(2)若(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=

.

解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),故展開式中x3y3的系數(shù)為40+80=120.(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為(4a+1)x,(4a+6)x3,x5,其系數(shù)之和為(4a+1)+(4a+6)+1=32,解得a=3.答案:(1)B

(2)31.兩個二項展開式乘積的展開式中的特定項問題(1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點.(2)找到構成展開式中特定項的組成部分.(3)分別求解后相乘,求和即得.2.三項或三項以上的展開問題應根據(jù)式子的特點,轉(zhuǎn)化為二項式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項與項結合,項與項結合時要注意合理性和簡捷性.【變式訓練5】

已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a等于(

)A.-4 B.-3 C.-2 D.-1答案:D

數(shù)學建模利用二項式定理解決整除性問題【典例】

(1)今天是星期一,過2100天后是星期

.

(2)求證:32n+2-8n-9能被64整除.答案:三

整除性或求余數(shù)問題的處理方法(1)構造一個與題目條件有關的二項式,即把被除數(shù)的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式.(2)利用二項式定理展開,由于前面(或后面)絕大多數(shù)項都含有除數(shù)這一因式,能被除數(shù)整除,因此只需研究后面(或前面)一、兩項就可以.(3)注意余數(shù)的范圍.(4)利用二項式定理展開、變形后,若剩余部分是負數(shù),則要注意轉(zhuǎn)化為正數(shù).【變式訓練】

(1)用二項式定理證明:34n+2+52n+1能被14