2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第49煉 等差數(shù)列性質(zhì)含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第49煉等差數(shù)列性質(zhì)含答案第49煉等差數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、定義：數(shù)列若從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)是等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為的公差，通常用表示2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，此通項(xiàng)公式存在以下幾種變形：（1），其中：已知數(shù)列中的某項(xiàng)和公差即可求出通項(xiàng)公式（2）：已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)即可求出公差，即項(xiàng)的差除以對(duì)應(yīng)序數(shù)的差（3）：已知首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差即可計(jì)算出項(xiàng)數(shù)3、等差中項(xiàng)：如果成等差數(shù)列，則稱(chēng)為的等差中項(xiàng)（1）等差中項(xiàng)的性質(zhì)：若為的等差中項(xiàng)，則有即（2）如果為等差數(shù)列，則，均為的等差中項(xiàng)（3）如果為等差數(shù)列，則注：①一般情況下，等式左右所參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)可以是多個(gè)，但要求兩邊參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)相等。比如，則不一定成立②利用這個(gè)性質(zhì)可利用序數(shù)和與項(xiàng)數(shù)的特點(diǎn)求出某項(xiàng)。例如：，可得，即可得到，這種做法可稱(chēng)為“多項(xiàng)合一”4、等差數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系：，所以該通項(xiàng)公式可看作關(guān)于的一次函數(shù)，從而可通過(guò)函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的性質(zhì)。例如：，遞增；，遞減。5、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：，此公式可有以下變形：（1）由可得：，作用：在求等差數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，不一定必須已知，只需已知序數(shù)和為的兩項(xiàng)即可（2）由通項(xiàng)公式可得：作用：①這個(gè)公式也是計(jì)算等差數(shù)列前項(xiàng)和的主流公式②，即是關(guān)于項(xiàng)數(shù)的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)，可記為的形式。從而可將的變化規(guī)律圖像化。（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎堑闹虚g項(xiàng)，所以此公式體現(xiàn)了奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的聯(lián)系當(dāng)時(shí)，即偶數(shù)項(xiàng)和與中間兩項(xiàng)和的聯(lián)系6、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題：此類(lèi)問(wèn)題可從兩個(gè)角度分析，一個(gè)角度是從數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)分析，另一個(gè)角度是從前項(xiàng)和公式入手分析（1）從項(xiàng)的特點(diǎn)看最值產(chǎn)生的條件，以4個(gè)等差數(shù)列為例：通過(guò)觀(guān)察可得：為遞增數(shù)列，且，所以所有的項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和只有最小值，即，同理中的項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所以前項(xiàng)和只有最大值，即。而雖然是遞減數(shù)列，但因?yàn)?，所以直到，從而?項(xiàng)和最大，同理，的前5項(xiàng)和最小。由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對(duì)于等差數(shù)列，當(dāng)首項(xiàng)與公差異號(hào)時(shí)，前項(xiàng)和的最值會(huì)出現(xiàn)在項(xiàng)的符號(hào)分界處。（2）從的角度：通過(guò)配方可得，要注意，則可通過(guò)圖像判斷出的最值7、由等差數(shù)列生成的新等差數(shù)列（1）在等差數(shù)列中，等間距的抽出一些項(xiàng)所組成的新數(shù)列依然為等差數(shù)列例如在，以3為間隔抽出的項(xiàng)仍為等差數(shù)列。如何判定等間距：序數(shù)成等差數(shù)列，則項(xiàng)之間等間距（2）已知等差數(shù)列，設(shè)，，則相鄰項(xiàng)和成等差數(shù)列（3）已知為等差數(shù)列，則有：①為等差數(shù)列，其中為常數(shù)②為等差數(shù)列，其中為常數(shù)③為等差數(shù)列①②③可歸納為也為等差數(shù)列8、等差數(shù)列的判定：設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為（1）定義（遞推公式）：（2）通項(xiàng)公式：（關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)）（3）前項(xiàng)和公式：注：若，則從第二項(xiàng)開(kāi)始呈現(xiàn)等差關(guān)系（4）對(duì)于，，即從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)二、典型例題：例1：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則_________思路：由可得：，即。而，所以不是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，考慮，所以答案：小煉有話(huà)說(shuō)：關(guān)于等差數(shù)列錢(qián)前項(xiàng)和還有這樣兩個(gè)結(jié)論：（1）若，則（本題也可用此結(jié)論：，從而利用奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系可得）（2）若，則有例2：已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則_______思路：條件與所求都是“”的形式，由為等差數(shù)列可得也為等差數(shù)列，所以為的等差中項(xiàng)，從而可求出的值解：為等差數(shù)列也為等差數(shù)列答案：例3：設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.B.C.D.思路一：已知等差數(shù)列兩個(gè)條件即可嘗試求通項(xiàng)公式，只需將已知等式寫(xiě)成關(guān)于的方程，解出后即可確定通項(xiàng)公式或者數(shù)列中的項(xiàng)解：思路二：本題還可抓住條件間的聯(lián)系簡(jiǎn)化運(yùn)算。已知，從而聯(lián)想到可用表示，即，所以等式變?yōu)椋?，所以可得。答案：A小煉有話(huà)說(shuō)：思路一為傳統(tǒng)手段，通常將已知兩個(gè)等式變形為的二元方程，便可求解。但如果能夠觀(guān)察出條件間的聯(lián)系，往往能通過(guò)巧妙的變形簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。在平時(shí)的練習(xí)中建議大家多嘗試思路二的想法，努力找到條件間的聯(lián)系，靈活利用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行變形。而思路一可作為“預(yù)備隊(duì)”使用。例4：在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于（）A.B.C.D.思路：由觀(guān)察到的特點(diǎn)，所以考慮數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列前項(xiàng)和特征可得，從而可判定為等差數(shù)列，且可得公差，所以，所以，即答案：B例5：已知為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，若，則_____思路：，所求可發(fā)現(xiàn)分子分母的項(xiàng)序數(shù)相同，結(jié)合條件所給的是前項(xiàng)和的比值?？紤]利用中間項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，有：，將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的比值，從而代入即可求值：答案：小煉有話(huà)說(shuō)：等差數(shù)列中的項(xiàng)與以該項(xiàng)為中間項(xiàng)的前項(xiàng)和可搭建橋梁：，這個(gè)橋梁往往可以完成條件中有關(guān)數(shù)列和與項(xiàng)之間的相互轉(zhuǎn)化。例6：已知等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項(xiàng)和等于（）A.B.C.D.思路：求前30項(xiàng)和，聯(lián)想到公式，則只需。由條件可得：，所以，所以答案：D例7：已知等差數(shù)列中，，則的值為_(kāi)__________思路：條件為相鄰4項(xiàng)和，從而考慮作差能解出數(shù)列的公差：，可得：，解得，考慮，所以答案：小煉有話(huà)說(shuō)：本題在解題過(guò)程中突出一個(gè)“整體”的思想，將每一個(gè)四項(xiàng)和都視為整體，同時(shí)在等差數(shù)列中相鄰項(xiàng)和的差與公差相關(guān)，從而解出公差并求出表達(dá)式的值例8：等差數(shù)列有兩項(xiàng)，滿(mǎn)足，則該數(shù)列前項(xiàng)之和為（）A.B.C.D.思路：可根據(jù)已知兩項(xiàng)求出公差，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行求和即可解：答案：C例9：在等差數(shù)列中，，若其前項(xiàng)和為，且，那么當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（）A.B.C.D.思路一：考慮從的項(xiàng)出發(fā)，由可得，可得，因?yàn)?，所以，從而最大思路二：也可從的圖像出發(fā)，由可得圖像中是對(duì)稱(chēng)軸，再由與可判斷數(shù)列的公差，所以為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，所以在處取得最大值答案：D例10：設(shè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，則的取值范圍是___________思路：將用進(jìn)行表示，從而方程變形為含的方程。而的取值只需讓關(guān)于的方程有解即可，所以通過(guò)求出的范圍解：所以關(guān)于的方程應(yīng)該有解解得或答案：或第50煉等比數(shù)列性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的公比注：非零常數(shù)列既可視為等差數(shù)列，也可視為的等比數(shù)列，而常數(shù)列只是等差數(shù)列2、等比數(shù)列通項(xiàng)公式：，也可以為：3、等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則稱(chēng)為的等比中項(xiàng)（1）若為的等比中項(xiàng)，則有（2）若為等比數(shù)列，則，均為的等比中項(xiàng)（3）若為等比數(shù)列，則有4、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，則為常數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，則可變形為：，設(shè)，可得：5、由等比數(shù)列生成的新等比數(shù)列（1）在等比數(shù)列中，等間距的抽取一些項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列（2）已知等比數(shù)列，則有①數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列②數(shù)列（為常數(shù)）為等比數(shù)列，特別的，當(dāng)時(shí)，即為等比數(shù)列③數(shù)列為等比數(shù)列④數(shù)列為等比數(shù)列6、相鄰項(xiàng)和的比值與公比相關(guān)：設(shè)，則有：特別的：若，則成等比數(shù)列7、等比數(shù)列的判定：（假設(shè)不是常數(shù)列）（1）定義法（遞推公式）：（2）通項(xiàng)公式：（指數(shù)類(lèi)函數(shù)）（3）前項(xiàng)和公式：注：若，則是從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比關(guān)系（4）等比中項(xiàng)：對(duì)于，均有8、非常數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的關(guān)系，因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以有例1：已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則________思路：因?yàn)?，代入條件可得：，因?yàn)椋?，所以答案：?：已知為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.思路一：由可求出公比：，可得，所以思路二：可聯(lián)想到等比中項(xiàng)性質(zhì)，可得，則，由等比數(shù)列特征可得奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以答案：D小煉有話(huà)說(shuō)：思路二的解法盡管簡(jiǎn)單，但是要注意雙解時(shí)要驗(yàn)證項(xiàng)是否符合等比數(shù)列特征。例3：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.思路：由等比數(shù)列的結(jié)論可知：非常數(shù)列的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為的形式，所以，即答案：A例4：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，則（）A.B.C.D.思路：由可得：，可發(fā)現(xiàn)只有分子中的指數(shù)冪不同，所以作商消去后即可解出，進(jìn)而可計(jì)算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.B.C.D.思路：與條件聯(lián)系，可將所求表達(dá)式向靠攏，從而，即所求表達(dá)式的值為答案：C例6：已知等比數(shù)列中，則其前5項(xiàng)的和的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：條件中僅有，所以考慮其他項(xiàng)向靠攏，所以有，再求出其值域即可解：，設(shè)，所以答案：A例7：已知數(shù)列是首項(xiàng)不為零的等比數(shù)列，且公比大于0，那么“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：在等比數(shù)列中，數(shù)列的增減受到的符號(hào)，與的影響。所以在考慮反例時(shí)可從這兩點(diǎn)入手。將條件轉(zhuǎn)為命題：“若，則數(shù)列是遞增數(shù)列”，如果，則是遞減數(shù)列，所以命題不成立；再看“若數(shù)列是遞增數(shù)列，則”，同理，如果，則要求，所以命題也不成立。綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件答案：D例8：在等比數(shù)列中，若，則（）A.B.C.D.解：條件與結(jié)論分別是的前項(xiàng)和與倒數(shù)和，所以考慮設(shè)，則所以答案：B例9：已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則（）A.B.C.D.思路：所求分式中的分子和分母為相鄰4項(xiàng)和，則兩式的比值與相關(guān)，所以需要求出。由條件，將等式中的項(xiàng)均用即可求出。從而解得表達(dá)式的值解：成等差數(shù)列將代入等式可得：，而為正項(xiàng)數(shù)列，所以不符題意，舍去答案：C例10：在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則滿(mǎn)足的最大正整數(shù)的值為_(kāi)___________思路：從已知條件入手可求得通項(xiàng)公式：，從而所滿(mǎn)足的不等式可變形為關(guān)于的不等式：，由的指數(shù)冪特點(diǎn)可得：，所以只需，從而解出的最大值解：設(shè)的公比為，則有解得：（舍）或所以所解不等式為：可解得：的最大值為答案：三、歷年好題精選（等差等比數(shù)列綜合）1、已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，則的最小值為（）A.B.C.D.2、已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若直線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A.B.C.D.3、（2016，內(nèi)江四模）若成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)：①②③，必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.34、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A.B.C.D.5、（2016，新余一中模擬）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，若，為數(shù)列前項(xiàng)和，則的最小值為（）A.B.C.D.6、（2015，北京）設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則7、（2015，廣東）在等差數(shù)列中，若，則______8、（2014，北京）若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則當(dāng)______時(shí)，的前項(xiàng)和最大9、（2015，福建）若是函數(shù)的兩不同零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A.B.C.D.10、已知是等差數(shù)列，公差，其前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則（）A.B.C.D.11、（2014，廣東）若等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則12、（2014，安徽）數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則_______13、（2014，新課標(biāo)全國(guó)卷I）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，其中為常數(shù)（1）證明：（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由14、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.B.C.D.15、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則中最大的項(xiàng)為（）A.B.C.D.16、（2014，湖北）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由習(xí)題答案：1、答案：C解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知可得，則有，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)2、答案：C解析：由交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知：①交點(diǎn)所在直線(xiàn)與垂直，所以；②直線(xiàn)為圓上弦的中垂線(xiàn)，所以該直線(xiàn)過(guò)圓心，由圓方程可得圓心坐標(biāo)：，代入可得：，所以，3、答案：B解析：本題從“等比數(shù)列中不含0項(xiàng)”入手，不妨設(shè)的公比為，可得①中若公比，則無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列，同理③中若，則無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列；對(duì)于②可知均能構(gòu)成公比為的等比數(shù)列4、答案：D解析：，