第44講　空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系

第44講空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系【備選理由】例1考查了空間向量的線性運(yùn)算;例2考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算,利用空間向量求異面直線所成角的余弦值;例3考查了共面向量定理的應(yīng)用;例4考查利用空間向量證明平行與垂直.例1[配例1、例2使用]如圖,在四面體ABCD中,點(diǎn)M是棱BC上一點(diǎn),且BM=3MC,點(diǎn)N是棱AD的中點(diǎn),若MN=xAB+yAC+zAD,其中x,y,z為實(shí)數(shù),則x+y+z的值是 (B)A.12 B.-C.-2 D.2[解析]∵BM=3MC,點(diǎn)N是棱AD的中點(diǎn),∴MB=-34BC,AN=12AD,∵BC=AC-AB,∴MN=MB+BA+AN=-34(AC-AB)-AB+12AD=-14AB-34AC+12AD,又MN=xAB+yAC+zAD,∴x=-14,例2[配例3使用]如圖所示,已知正四面體ABCD的各條棱長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn).(1)求EF·BA的值;(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.解:設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°.(1)EF=12BD=12c-12a,則EF·BA=12c-12a·(-a)=12a2-(2)AG=12(AC+AD)=12b+1CE=CA+AE=-b+12a則cos<AG,CE>=AG·CE|AG||CE|所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為23例3[配例2使用][2023·遼寧大連三模]如圖,四棱錐T-ABCD的底面是平行四邊形,平面α與直線AD,TA,TC分別交于點(diǎn)P,Q,R,且APAD=TQTA=CRCT=x,點(diǎn)M在直線TB上,N為CD的中點(diǎn),且直線MN(1)設(shè)TA=a,TB=b,TC=c,試用基底{a,b,c}表示向量TD;(2)證明:四面體TABC中至少存在一個(gè)頂點(diǎn),使過(guò)該點(diǎn)的三條棱能夠組成一個(gè)三角形;(3)證明:對(duì)所有滿足條件的平面α,點(diǎn)M都落在某一條長(zhǎng)為52TB的線段上解:(1)∵CD=BA=TA-TB,TD=TC+CD,∴TD=TC+TA-TB=a-b+c,∴TD=a-b+c.(2)證明:不妨設(shè)AB是四面體TABC中最長(zhǎng)的棱,則在△ABT,△ABC中,AT+TB>AB,AC+CB>AB,∴AT+TB+AC+CB>2AB,即(AT+AC)+(TB+BC)>2AB,故AT+AC,TB+BC中至少有一個(gè)大于AB,不妨設(shè)AT+AC>AB,又AT-AC<TC<AB,∴AT,AC,AB能構(gòu)成三角形,故得證.(3)證明:設(shè)TA=a,TB=b,TC=c,由(1)知TD=a-b+c.∵APAD=TQTA=CRCT=x,∴TQ=xa,TR=(1-x)c,AP=xAD=xBC=x(TC-TB)=x(c∴TP=AP-AT=x(c-b)+a=a+xc-xb,QP=TP-TQ=a+xc-xb-xa=(1-x)a+xc-xb,QR=TR-TQ=(1-x)c-xa=-xa+(1-x)c.設(shè)TM=λTB=λb,連接TN,則TN=12TC+12TD=12a-∴NM=TM-TN=λb-12a+12b-c=-12a+λ+∵M(jìn)N∥平面PQR,∴存在實(shí)數(shù)y,z,使得NM=yQP+zQR,∴-12a+λ+12b-c=y(1-x)a-yxb+yxc-zxa+z(1-x)c=(y-xy-zx)a-yxb+(∴y-xy-zx=-12,-yx=λ+12,yx+z當(dāng)λ=-14時(shí),-2x+12=0,即x=當(dāng)λ≠-14時(shí),Δ=(4λ+3)2-4(4λ+1)(2λ+1)≥0,解得-54≤λ≤54且λ≠綜上,有-54≤λ≤5故對(duì)所有滿足條件的平面α,點(diǎn)M都落在某一條長(zhǎng)為52TB的線段上.例4[配例4使用]如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是EF的中點(diǎn).求證:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.證明:(1)如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CE的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC∩BD=N,連接NE,∵N22,2∴NE=-2∵A(2,2,0),M22∴AM=-2∴NE=AM,又NE與AM不共線,∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE,AM?平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM=-2∵D(2,0,0),F(2