1.2.2等差數(shù)列前n項和（第1課時）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第一章數(shù)列2.2等差數(shù)列前n項和第1課時等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)及初步應(yīng)用北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.探索并掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.2.掌握等差數(shù)列的前n項和公式,能夠運用公式解決相關(guān)問題.3.理解Sn與an的關(guān)系,并能運用這個關(guān)系解決相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

等差數(shù)列的前n項和1.數(shù)列前n項和的定義對首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an},設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.注意等式兩端角標“n”的一致性自主診斷判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S1=a1.(

)(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn與an不可能相等.(

)√×知識點2

等差數(shù)列的前n項和公式

名師點睛1.兩個公式均為等差數(shù)列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個量.通常已知其中三個,可求其余兩個,而且方法就是解方程(組),這也是等差數(shù)列的基本問題形式之一.2.公式

表明等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半.3.當(dāng)已知首項a1,末項an,項數(shù)n時,用公式

.用此公式時,有時要結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),如a1+an=ak+an-k+1,從而有Sn=(ak+an-k+1).4.當(dāng)已知首項a1,公差d及項數(shù)n時,用公式思考辨析高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了此等差數(shù)列前100項的和.如果是求1+2+3+…+n(n∈N+),不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項怎么辦?提示

我們可以采用倒序相加法來回避這個問題:設(shè)Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1),∴2Sn=n(n+1),∴Sn=(n∈N+).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加法.(

)(2)1+2+3+…+100.(

)(3)等差數(shù)列的前n項和,等于其首項、第n項的等差中項的n倍.(

)√√√2.[人教B版教材例題]已知等差數(shù)列{an}的公差為2,且a20=29,求這個等差數(shù)列前20項的和S20.解

由等差數(shù)列的通項公式可得29=a1+19×2,知識點3

數(shù)列中an與Sn的關(guān)系對于一般數(shù)列{an},設(shè)其前n項和為Sn,則有

注意角標中n的取值限制

名師點睛1.這一關(guān)系對任何數(shù)列都適用.2.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通項公式中,令n=1求得a1與利用a1=S1求得的a1相同,則說明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通項公式也適合n=1的情況,數(shù)列的通項公式用an=Sn-Sn-1表示.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通項公式中,令n=1求得的a1與利用a1=S1求得的a1不相同,則說明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通項公式不適合n=1的情況,數(shù)列的通項公式采用分段形式.思考辨析已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?提示

當(dāng)n=1時,a1=S1=1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1;n=1時適合上式,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為2.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對于任意的n∈N+,an=Sn-Sn-1.(

)(2)在數(shù)列{an}中,a5=S5-S4.(

)×√2.若Sn=n2-3n+1,求數(shù)列{an}的通項公式.解

∵Sn=n2-3n+1,∴當(dāng)n=1時,a1=S1=-1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-[(n-1)2-3(n-1)+1]=n2-3n+1-(n2-5n+5)=2n-4.經(jīng)檢驗,當(dāng)n=1時,an=2n-4不成立,重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差數(shù)列前n項和公式的基本運算【例1】

在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.規(guī)律方法

等差數(shù)列中基本計算的兩個技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.變式訓(xùn)練1(1)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若4S1=3S2+S4,a5=5,則a10=(

)A.3 B.7 C.11 D.15D(2)已知在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a7=4a3,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S10=(

)A.115 B.110 C.-110 D.-115D探究點二

由數(shù)列{an}的前n項和Sn求an【例2】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=,則a5的值等于(

)B★(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n,求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別是什么?變式探究若將本例(2)中前n項和改為Sn=n2+n+1,求數(shù)列{an}的通項公式.規(guī)律方法

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn求通項公式an,先由a1=S1求得a1,再當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1求得an的表達式,最后驗證a1是否符合an的表達式,若符合則統(tǒng)一用一個式子表示,不符合則分段表示.探究點三等差數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用【例3】

某文具店開業(yè)期間,用100根相同的圓柱形鉛筆堆成橫截面為“等腰梯形垛”的裝飾品,其中最下面一層鉛筆數(shù)為16根,從最下面一層開始,每一層的鉛筆數(shù)比上一層的鉛筆數(shù)多1根,則該“等腰梯形垛”最上面一層堆放的鉛筆數(shù)為(

)A.8 B.9 C.10 D.11B解析

從下到上,鉛筆數(shù)構(gòu)成以16為首項,以-1為公差的等差數(shù)列,Sn=100,整理得(n-8)(n-25)=0,所以n=8或n=25,當(dāng)n=25時,a25=16-24=-8不合題意,故n=8,a8=16-7=9.故選B.規(guī)律方法

當(dāng)建立等差數(shù)列的模型時,要根據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù).變式訓(xùn)練2李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄”.從8月1日開始,每個月的1日都存入1000元,共存入3年.(1)已知當(dāng)年“教育儲蓄”存款的月利率為2.7‰,則3年后李先生一次可支取本息共多少元?(設(shè)每月存款的利息不計入下月本金,下同)(2)已知當(dāng)年同檔次的“零存整取”儲蓄的月利率是1.725‰,則李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益多少元?解

(1)每1

000元“教育儲蓄”存一個月能得到的利息是1

000×2.7‰=2.7(元).第1個1

000元存36個月,得利息2.7×36(元);第2個1

000元存35個月,得利息2.7×35(元);……第36個1

000元存1個月,得利息2.7×1(元).因此,3年后李先生獲得利息2.7×36+2.7×35+…+2.7×1=×36=1

798.2(元).所以3年后李先生可支取的本息和為1

000×36+1

798.2=37

798.2(元).(2)每1

000元“零存整取”存一個月能得到的利息是1

000×1.725‰=1.725(元),因此,若是“零存整取”,3年后李先生獲得利息1.725×36+1.725×35+…+1.725×1=×36=1

148.85(元).因此,李先生多收益1

798.2-1

148.85=649.35(元).即李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益649.35元.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列前n項和公式的基本運算.(2)由數(shù)列{an}的前n項和Sn求an.(3)等差數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用.2.方法歸納:方程(組)思想、分類討論.3.常見誤區(qū):(1)項數(shù)的確定不準確;(2)由數(shù)列{an}的前n項和Sn求an,忽略n≥2.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1819201.[探究點一]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若2a6=a8+6,則S7等于(

)A.49 B.42 C.35 D.28B解析

2a6-a8=a4=6,S7=(a1+a7)=7a4=42.12345678910111213141516171819202.[探究點一]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1+a2=7,am+am-1=73(m≥3),Sm=2020,則m的值為(

)A.100 B.101

C.200

D.202B12345678910111213141516171819203.[探究點一]在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項的和為(

)A.44 B.88

C.99

D.110B解析

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a1+a11=a4+a8=16,故前11項的和為故選B.12345678910111213141516171819204.[探究點一](多選題)在等差數(shù)列{an}中,公差為d,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若d=2,an=11,Sn=35,則a1等于(

)A.-1 B.3 C.5 D.7AB12345678910111213141516171819205.[探究點三·2024湖南湘潭模擬]小張的父親經(jīng)營著一家童鞋店,該店提供從25碼到36.5碼的童鞋,尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列.有一天,小張幫助他的父親整理某一型號的童鞋,以便確定哪些尺寸需要進貨,小張在進貨單上標記了兩個缺貨尺寸.幾天后,小張的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些,但小張無法找到標記缺貨尺寸的進貨單,他只記得其中一個尺寸是28.5碼,并且在當(dāng)時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼.則另外一個缺貨尺寸是(

)A.28碼

B.29.5碼

C.32.5碼 D.34碼C12345678910111213141516171819206.[探究點一]在等差數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項和,d是公差,S10=4S5,則

=

.

12345678910111213141516171819207.[探究點一]已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1(n∈N+),那么它的前n項和Sn=

.

n212345678910111213141516171819208.[探究點一]在等差數(shù)列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若Sn=242,求n.

12345678910111213141516171819209.[探究點二·2024黑龍江哈爾濱期末]已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=-2n2+15n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求Sn的最大值.1234567891011121314151617181920解

(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=-2n2+15n,當(dāng)n=1時,a1=S1=-2+15=13,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2n2+15n-[-2(n-1)2+15(n-1)]=17-4n,顯然a1=13滿足an=-4n+17,所以數(shù)列{an}的通項公式是an=-4n+17.1234567891011121314151617181920B級關(guān)鍵能力提升練

AB1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192011.在等差數(shù)列{an}中,+2a3a8=9,且an<0,則S10等于(

)A.-9 B.-11 C.-13 D.-15D123456789101112131415161718192012.在等差數(shù)列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,則數(shù)列{an+bn}的前100項的和為(

)A.10000 B.8000 C.9000 D.11000A123456789101112131415161718192013.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若,則(

)A.S11=0 B.a6=0 C.S6=S5

D.S7=S6ABC解析

因為{an}是等差數(shù)列,所以a5+a7=a1+a11=2a6.從而a6=0,S11=0,故選項A,B正確;又因為a6=S6-S5=0,即S6=S5,故選項C正確;對于選項D,S7-S6=a7,根據(jù)題意無法判斷a7是否為零,故選項D錯誤.故選ABC.123456789101112131415161718192014.(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S3=0,a4=4,則(

)A.an=4n-8 B.an=2n-4 C.Sn=2n2-6n D.Sn=n2-3nBD123456789101112131415161718192015.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若,且A,B,C三點共線(該直線不過原點O),則S200=

.

100123456789101112131415161718192016.記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和,若a3=S5,a1a4=a5,則an=

.

3-n解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a3=S5,a1a4=a5,∴a1+2d=5a1+d,a1(a1+3d)=a1+4d,解得a1=2,d=-1,則an=2-(n-1)=3-n.1234567891