考研數(shù)學(xué)二分類模擬196

考研數(shù)學(xué)二分類模擬196一、選擇題1.

設(shè)f(x)在[a，b]可導(dǎo)，則______A.f'+(a)=0B.f'+(a)≥0C.f'+(a)＜0D.f'+(a)≤0正確答案：D[解析]由f(x)在[a，b]上可導(dǎo)可知，

顯然，x-a＞0，又故f(x)-f(a)≤0，從而有再由極限的局部保號(hào)性可知，即f'-(a)≤0。故選D。

2.

設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的______A.充分必要條件B.充分條件但非必要條件C.必要條件但非充分條件D.既非充分條件也非必要條件正確答案：A[解析]令φ(x)=f(x)|sinx|，顯然φ(0)=0。由于

而由φ(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是φ'+(0)與φ'-(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，則必有φ'++(0)=φ'-(0)；若φ'+(0)=φ'-(0)，即有f(0)=-f(0)，從而f(0)=0。

因此f(0)=0是φ(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件，也是F(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件。故選A。

3.

設(shè)F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳躍間斷點(diǎn)，g'(a)存在，則g(a)=0，g'(a)=0是F(x)在x=a處可導(dǎo)的______A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.非充分非必要條件正確答案：A[解析]因φ(x)在x=a處不可導(dǎo)，所以不能對(duì)F(x)用乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則，需用定義求F'(a)。

題設(shè)φ(x)以x=a為跳躍間斷點(diǎn)，則存在，A+≠A-。

當(dāng)g(a)=0時(shí)，有

這表明，g(a)=0時(shí)，F(xiàn)'(a)存在

下面證明若F'(a)存在，則g(a)=0。

反證法。若g(a)≠0，由函數(shù)相除的求導(dǎo)法則可得，φ(x)在x=a可導(dǎo)，這與題設(shè)矛盾，則g(a)=0，g'(a)=0是F(x)在x=a處可導(dǎo)的充要條件。故選A。

4.

設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)|f(x)|在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充分必要條件是______A.f(a)=0且f'(a)=0B.f(a)=0且f'(a)≠0C.f(a)＞0且f'(a)＞0D.f(a)＜0且f'(a)＜0正確答案：B[解析]若f(a)≠0，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有

因此排除C、D兩項(xiàng)。

當(dāng)f(x)在x=a可導(dǎo)，且f(a)≠0時(shí)，|f(x)|在x=a點(diǎn)可導(dǎo)。

當(dāng)f(a)=0時(shí)，

上面兩式分別是|f(x)|在x=a點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)，因此，當(dāng)f(a)=0時(shí)，|f(x)|在x=a點(diǎn)不可導(dǎo)的充要條件是上面兩式不相等，即f'(a)≠0。故選B。

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且則______

A．當(dāng)f'(x)＜0時(shí)，

B．當(dāng)f"(x)＜0時(shí)，

C．當(dāng)f'(x)＞0時(shí)，

D．當(dāng)f"(x)＞0時(shí)，正確答案：D[解析]方法一：將函數(shù)f(x)在處按泰勒展式展開，可得

對(duì)上述方程左右兩邊在[0，1]上同時(shí)積分，有

當(dāng)f"(x)＞0時(shí)，由定積分的幾何意義可知，表示由曲線直線x=0，x=1和x軸所圍成的曲邊梯形的面積，因此所以從而有故選D。

方法二：舉特例。

令排除A項(xiàng)；令排除B項(xiàng)；令排除C項(xiàng)。故選D。

6.

設(shè)則______A.f(x)在x=x0處必可導(dǎo)，且f'(x0)=aB.f(x)在x=x0處連續(xù)，但未必可導(dǎo)C.f(x)在x=x0處有極限，但未必連續(xù)D.以上結(jié)論都不對(duì)正確答案：D[解析]本題需將f(x)在x=x0處的左、右導(dǎo)數(shù)f'+(x0)和f'-(x0)與f'(x)在x=x0處的左、右極限區(qū)分開。

只能得出但不能保證f(x)在x0處可導(dǎo)，以及在x0處連續(xù)和極限存在。

例如顯然，x≠0時(shí)，f'(x)=1，因此

但是因此不存在，所以f(x)在x=0處不連續(xù)，不可導(dǎo)。

故選D。

7.

設(shè)f(x)可導(dǎo)且則當(dāng)Δx→0時(shí)，f(x)在x0點(diǎn)處的微分dy是______A.與Δx等價(jià)的無(wú)窮小B.與Δx同階的無(wú)窮小C.比Δx低階的無(wú)窮小D.比Δx高階的無(wú)窮小正確答案：B[解析]由f(x)在x0點(diǎn)處可導(dǎo)及微分的定義可知

于是即當(dāng)Δx→0時(shí)，dy與Δx是同階的無(wú)窮小。故選B。

8.

設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)，當(dāng)自變量x在x=-1處取得增量Δx=-0.1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量Δy的線性主部為0.1，則f'(1)=______A.-1B.0.1C.1D.0.5正確答案：D[解析]由微分的定義可知，函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)處的增量Δy的線性主部即為函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處的微分dy|x=x0=f'(x0)Δx，所以有

0.1=y'(-1)Δx=-0.1y'(-1)，

即有

y'(-1)=-1。

而且

y'(-1)=[f(x2)]'|x=-1=f'(x2)·2x|x=-1=-2f'(1)，

因此f'(1)=0.5。故選D。

9.

設(shè)函數(shù)y=f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，Δx為自變量x在點(diǎn)x0處的增量，Δy與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若Δx＞0，則______A.0＜dy＜ΔyB.0＜Δy＜dyC.Δy＜dy＜0D.dy＜Δy＜0正確答案：A[解析]根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的判斷f'(x)＞0可知，f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，由f"(x)＞0可知，f(x)是凹函數(shù)。作函數(shù)的圖形如圖所示，顯然Δx＞0時(shí)，

Δy＞dy=f'(x0)dx=f'(x0)Δx＞0。

故選A。

注意區(qū)分函數(shù)的增量與微分的幾何意義。Δy=f(x0+Δx)-f(x0)表示的是曲線上實(shí)際的增量；dy=f'(x0)Δx表示的是該點(diǎn)切線上對(duì)應(yīng)的增量。

10.

設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，則g(1)=______A.ln3-1B.-ln3-1C.-ln2-1D.ln2-1正確答案：C[解析]函數(shù)h(x)=e1+g(x)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，可得

h'(x)=e1+g(x)g'(x)，

在上面的等式中令x=1，結(jié)合已知條件h'(1)=1，g'(1)=2，可得

1=h'(1)=e1+g(1)g'(1)=2e1+g(1)，

因此得g(1)=-ln2-1。故選C。

11.

設(shè)g(x)可微，h(x)=esin2x+g(x)，=______A.-ln2-1B.ln2-1C.-ln2-2D.ln2-2正確答案：A[解析]h'(x)=esin2x+g(x)·[2cos2x+g'(x)]，則

即故選A。

二、填空題1.

正確答案：sinx2[解析]令x-t=u，則

2.

設(shè)函數(shù)則y=f(x)的反函數(shù)x=f-1(y)在y=0處的導(dǎo)數(shù)正確答案：[解析]由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知

3.

設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)=ef(x)，f(2)=1，則f'''(2)=______。正確答案：2e3[解析]由題設(shè)知，f'(x)=ef(x)，在此方程兩邊同時(shí)連續(xù)兩次對(duì)5c求導(dǎo)得

f"(x)=ef(x)f'(x)=e2f(x)，

f'''(x)=2e2f(x)f'(x)=2e3f(x)，

又f(2)=1，故f'''(2)=2e3f(x)=2e3。

4.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=1-xey確定，則正確答案：-e[解析]當(dāng)x=0時(shí)，y=1。

在方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得y'=-ey-xeyy'，整理得

y'(1+xey)=-ey，

5.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程2xy=x+y所確定，則dy|x=0=______。正確答案：(ln2-1)dx[解析]方法一：對(duì)方程2xy=x+y兩邊求微分，有

2xyln2·(xdy+ydx)=dx+dy。

由所給方程知，當(dāng)x=0時(shí)y=1。將x=0，y=1代入上式，有l(wèi)n2·dx=dx+dy。所以，

dy|x=0=(ln2-1)dx。

方法二：兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，有

2xyln2·(xy'+y)=1+y'。

當(dāng)x=0時(shí)y=1，以此代入，得y'=ln2-1，所以

dy|x=0=(ln2-1)dx。

隱函數(shù)求導(dǎo)無(wú)需記憶公式，只需掌握處理方式：對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)再解方程，求導(dǎo)的時(shí)候要注意y應(yīng)該看成x的函數(shù)。需要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般無(wú)需解出y'之后再求導(dǎo)，這樣計(jì)算往往比較復(fù)雜，可直接對(duì)求過一次導(dǎo)數(shù)的方程兩邊再求一次導(dǎo)數(shù)，最后解出y"。

6.

設(shè)y=y(x)是由方程xy+ey=x+1確定的隱函數(shù)，則正確答案：-3[解析]方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得，

y+xy'+y'ey=1，

解得

再次求導(dǎo)可得

2y'+xy"+y"ey+(y')2ey=0，

整理得

當(dāng)x=0時(shí)，y=0，y'(0)=1，代入(*)得

求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，可以在方程兩邊同時(shí)求兩次導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)時(shí)要把y看成y=y(x)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。求完兩次導(dǎo)數(shù)之后，再?gòu)闹薪獬黾纯伞?/p>

7.

設(shè)y=y(x)是由方程x2-y+1=ey所確定的隱函數(shù)，則正確答案：1[解析]將x=0代入原方程可得y=0。

方程x2-y+1=ey兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，有

將x=0，y=0代入上式，可得

(*)式兩端再次對(duì)x求導(dǎo)得

將x=0，y=0，代入上式，可得

8.

設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)由方程確定，則=______。正確答案：-1[解析]令x=0，則y(0)=0。

方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

將x=0，y(0)=0代入上式，得

9.

設(shè)y=y(x)是由方程確定的隱函數(shù)，則y"=______。正確答案：[解析]在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

即有

化簡(jiǎn)可得進(jìn)而可得

10.

設(shè)y=y(x)由方程所確定，則y"(0)=______。正確答案：-2π[解析]將x=0代入方程可得y=1，即y(0)=1。

在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

即于是y'(0)=3。

再在兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

所以

y"(0)=-2π。

三、解答題1.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程所確定，其中ψ(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，且求函數(shù)ψ(t)。正確答案：解：因?yàn)樗?/p>

根據(jù)已知

從而可得

(1+t)ψ"(t)-ψ'(t)=3(1+t)2，

即有

假設(shè)u=ψ'(t)，則有

由u|t=1=ψ'(1)=6可得C1=0，因此ψ'(t)=3t(1+t)。

又已知可得C2=0，因此

2.

求函數(shù)f(x)=x2ln(1+x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)。正確答案：解：當(dāng)n=1時(shí)，則f'(0)=0；

當(dāng)n=2時(shí)，則f"(0)=0；

當(dāng)n≥2時(shí)，利用萊布尼茨公式

令u(x)=x2，v(x)=ln(1+x)，則

所以

[解析]由秦勒級(jí)數(shù)可知。反過來(lái)，如果能求出函數(shù)在這一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)，也就能通過比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)得到f(n)(x0)=n!an。

3.

假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。證明：

(Ⅰ)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)g(c)≠0；

(Ⅱ)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使正確答案：證明：(Ⅰ)利用反證法。假設(shè)存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，則根據(jù)題意，對(duì)g(x)在[a，c]和[c，b]上分別應(yīng)用羅爾定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g'(ξ1)=g'(ξ2)=0成立。

接著再對(duì)g'(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，可知存在ξ3∈(ξ1，ξ2)，使得g"(ξ3)=0成立，這與題設(shè)條件g"(x)≠0矛盾，因此在開區(qū)間(a，b)內(nèi)g(x)≠0。

(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x)，由題設(shè)條件得函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，在區(qū)間(a，b)上是可導(dǎo)的，且滿足F(a)=F(b)=0。根據(jù)羅爾定理可知，存在點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，即

f(ξ)g"(ξ)-f"(ξ)g(ξ)=0，

因此可得

4.

已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1。證明：

(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；

(Ⅱ)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1。正確答案：證明：(Ⅰ)令F(x)=f(x)-1+x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-1＜0，F(xiàn)(1)=1＞0，故由零點(diǎn)定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ。

(Ⅱ)在[0，ξ]和[ξ，1]上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得

于是

5.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

證明：(Ⅰ)存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；

(Ⅱ)存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0。正確答案：證明：(Ⅰ)令x∈[0，2]。由于f(x)在[0，2]上連續(xù)，所以可知F(x)在[0，2]上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，2)，使得即

所以f(η)=f(0)。

(Ⅱ)因?yàn)閒(2)+f(3)=2f(0)，即又因?yàn)閒(x)在[2，3]上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)η1∈[2，3]使得f(η1)=f(0)。

又因?yàn)楹瘮?shù)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)上可導(dǎo)，且f(0)=f(η)，由羅爾定理知，存在ξ1∈(0，η)，使得f'(ξ1)=0。

因?yàn)閒(x)在[η，η1]上連續(xù)，在(η，η1)上可導(dǎo)，且滿足f(η)=f(0)=f(η1)，由羅爾定理知，存在ξ2∈(η，η1)，使得f'(ξ2)=0。

因?yàn)閒(x)在[ξ1，ξ2]上二階可導(dǎo)，且f'(ξ1)=f'(ξ2)=0，根據(jù)羅爾定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(ξ1，ξ2)，使得f"(ξ)=0。

6.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且證明在(0，π)內(nèi)f(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。正確答案：證明：反證法，如果f(x)在(0，π)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)(或有一個(gè)零點(diǎn)，但f(x)不變號(hào)，證法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)內(nèi)，有sinx＞0，因此必有(或＜0)。這與假設(shè)相矛盾。

如果f(x)在(0，π)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，而且改變一次符號(hào)，設(shè)其零點(diǎn)為a∈(0，π)，于是在(0，a)與(a，π)內(nèi)f(x)sin(x-a)同號(hào)，因此但是，另一方面

這個(gè)矛盾說明f(x)不可能在(0，π)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，因此它至少有兩個(gè)零點(diǎn)。

7.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)。證明存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。正確答案：證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)具有相等的最大值，不妨設(shè)存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得

若x1=x2，令c=x1，則F(c)=0。

若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)-g(x1)≥0，F(xiàn)(x2)=f(x2)-g(x2)≤0，由介值定理知，存在c∈[x1，x2](a，b)，使F(c)=0。

在區(qū)間[a，c]，[c，b]上分別利用羅爾定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得

F'(ξ1)=F'(ξ2)=0。

再對(duì)F'(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得F"(ξ)=0，即

f"(ξ)=g"(ξ)。[解析](1)使用羅爾定理之前需要檢驗(yàn)它的三個(gè)條件，即f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)。理論上，這三個(gè)條件是同等重要的，缺失了任何一個(gè)定理的結(jié)論都將不再成立；但在題目中，前兩個(gè)條件一般都是已知的，重點(diǎn)往往在最后一個(gè)條件上，即說明函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值相同，在實(shí)際應(yīng)用中，往往不是一定要算出函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值，只需要說明函數(shù)在區(qū)間上有兩點(diǎn)的函數(shù)值相同即可。因此，運(yùn)用羅爾定理?xiàng)l件的關(guān)鍵就可以濃縮成一句話：找到函數(shù)在兩點(diǎn)的函數(shù)值相同。

(2)根據(jù)本題最后的思路，如果要證明