考研數(shù)學二分類模擬248

考研數(shù)學二分類模擬248解答題1.

設D是曲線，直線x=a(a＞0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx，Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy=10Vx，求a值．正確答案：解：由題意可得

因為Vy=10Vx，所以

[考點]一元函數(shù)微積分

2.

設其中A，a，b為常數(shù)，求A，a，b，使得f(x)在x=0處可導，并求f'(0)．正確答案：解：若f(x)在x=0處可導，則f(x)在x=0處連續(xù)，故

因此，A=0，b=0，且有

綜上，當A=b=0，a為任意常數(shù)時，f(x)在x=0處可導，且f'(0)=0．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

3.

設a＞0，函數(shù)f(x)在[0，a]上連續(xù)可微，證明

正確答案：證1：因為f(x)在[0，a]上連續(xù)可微，故積分存在，且

移項可得

所以

證2：由積分中值定理，存在ξ∈[0，a]，使得．

再由牛頓萊布尼茨公式可得

所以

[考點]不定積分、定積分、反常積分

設A是n階反對稱矩陣．4.

證明1與-1不是A的特征值；

正確答案：證明：反證法．若1是A的特征根，α是屬于1的特征向量．即Aα=α．

則

0＜(Aα)T(Aα)=αT·(-A)Aα=αT·(-A)α=-αT·α

與αTα＞0矛盾．故1不是A的特征值．

同理-1不是A的特征值．[考點]特征值、特征向量及二次型

5.

令B=(E-A)(E+A)-1．證明B是正交矩陣，且-1不是B的特征值．正確答案：證明：由于

(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)=E-A2

且A=-AT，于是

BTB=((E-A)(E+A)-1)T(E-A)(E+A)-1

=((E+A)T)-1(E-A)T(E-A)(E+A)-1

=(E-A)-1(E+A)(E-A)(E+A)-1

=(E-A)-1(E-A)(E+A)(E+A)-1

=E

從而得B是正交矩陣．

由于

|E+B|=|(E+A)(E+A)-1+(E-A)(E+A)-1|

=|2E||(E+A)-1|=|2E||E+A|-1≠0

所以-1不是B的特征值．[考點]特征值、特征向量及二次型

6.

設f(x)在[0，1]上可微，且當x∈(0，1)時，0＜f'(x)＜1，f(0)=0．試證

正確答案：證1：問題等價于證明

令

因F(0)=0，故只要證明在(0，1)內(nèi)有F'(x)＞0．事實上，有

已知f(0)=0，0＜f'(x)＜1(當x∈(0，1))，故x∈(0，1)時f(x)＞0(以下證式①中另一因子大于零)．記，則g(0)=0，且

g'(x)=2f(x)-2f(x)·f'(x)=2f(x)[1-f'(x)]＞0

于是

即F'(x)＞0獲證．從而命題得證．

證2：問題在于證明

令．對式②左邊應用柯西中值定理，存在0＜ξ＜1，有

對于函數(shù)，在[0，ξ]上再利用柯西中值定理，可得

[考點]一元函數(shù)微積分

求下列不定積分．7.

；正確答案：解：[考點]不定積分、定積分、反常積分

8.

．正確答案：解：[考點]不定積分、定積分、反常積分

設．9.

a，b為何值時，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合?正確答案：解：

令

x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β

①

當a=-1，b≠0時，因為，所以①無解，即β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合；[考點]線性方程組

10.

a，b為何值時，β可唯一表示為α1，α2，α3，α4的線性組合?正確答案：解：當a≠-1時，β可唯一表示為α1，α2，α3，α4的線性組合．[考點]線性方程組

已知，求：11.

f(x)的表達式；正確答案：解：當x＜e時，；

當x＞e時，；

當x=e時，．

所以[考點]函數(shù)、極限

12.

討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是否連續(xù)．正確答案：解：由，知f(x)在點x=e處連續(xù)．又當0＜x＜e時，f(x)=1連續(xù)；當x≥e時，f(x)=lnx連續(xù)．故f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)．[考點]函數(shù)、極限

13.

證明：如果A是n階冪零矩陣，它的冪零指數(shù)為l(即Al-1≠0，Al=0)，那么En-A可逆，并且求(En-A)-1．正確答案：證明：由于Al=0，因此

(En-A)(En+A+A2+…+Al-1)=En-Al=En

從而En-A可逆，并且

(En-A)-1=En+A+A2+…+Al-1[考點]矩陣、向量、方程組

14.

三階實對稱矩陣組成的集合有多少個合同類?每一類里寫出一個最簡單的矩陣(即合同規(guī)范形)．正確答案：解：

序號秩正慣性指數(shù)合同規(guī)范形1000211diag{1，0，0}310diag{-1，0，0}422diag{1，1，0}521diag{1，-1，0}620diag{-1，-1，0}733diag{1，1，1}832diag{1，1，-1}931diag{1，-1，-1}1030diag{-1，-1，-1}由此看出，三階實對稱矩陣組成的集合恰有10個合同類．[考點]特征值、特征向量及二次型

15.

求微分方程y"-4y=|x|在[-1，1]上的通解．正確答案：解：方程

y"-4y=x(-1≤x＜0)

通解

方程

y"-4y=x(0≤x≤1)

通解

又

從而有

故

從而方程的解為

[考點]常微分方程及其應用

16.

討論函數(shù)

在坐標原點的連續(xù)性．正確答案：解：令

x=rcosθ，y=rsinθ

|f(x，y)|=|f(rcosθ，rsinθ)|=|rα-2(cosθ)α|≤rα-2

因此當α＞2時，，此時f在原點連續(xù)；當α≤2時，不存在，此時f在原點間斷．[考點]多元函數(shù)微分學

17.

極限是否存在?并說明理由．正確答案：解：令(x，y)沿直線y=kx趨近于(0，0)，得

當k=1時，上式極限為1；當k≠1時，上式極限為零．所以，原極限不存在．[考點]多元函數(shù)微分學

18.

求．正確答案：解：

注本題也可以利用定積分的定義計算．[考點]函數(shù)、極限

19.

設f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可微，如果a≥0，證明：(a，b)內(nèi)存在三個數(shù)x1，x2，x3，使成立．正確答案：證明：由拉格朗日中值定理，存在x1∈(a，b)，使

令G(x)=x2，H(x)=x3，分別對f(x)，G(x)以及f(x)，H(x)應用柯西中值定理，則存在x2∈(a，b)，x3∈(a，b)，使

注意到，b2-a2=(b-a)(b+a)，b3-a3=(b-a)(b2+ab+a2)，對比①②兩式即得結(jié)論．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

20.

確定α的值，使得函數(shù)

在(0，0)處可微．正確答案：解：如果f(x，y)在點(0，0)可微，則f'x(0，0)，f'y(0，0)存在．

由

存在，則2α-1＞0，即，此時f'x(0，0)=0，同理有時，f'y(0，0)=0．則

因此當且僅當．

故當時，f(x，y)在點(0，0)處可微．[考點]多元函數(shù)微分學

21.

設，求f'(x)．正確答案：解1：令，解出．

若將代入，得

將代入，亦可得f(u)=u2-2，即f(x)=x2-2，所以f'(x)=2x．

解2：，換字母即得f(x)=x2-2，所以f'(x)=2x．[考點]函數(shù)、極限

[解析]注：解1是一般的方法，看似有點麻煩，但在考場上很實用．“遇到根號差，勿忘有理化”，這也是我們后面在求極限時處理根號差(和)的常用方法．解2固然簡單，但需要一定的觀察力