考研數(shù)學(xué)二分類模擬248

考研數(shù)學(xué)二分類模擬248解答題1.

設(shè)D是曲線，直線x=a(a＞0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx，Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy=10Vx，求a值．正確答案：解：由題意可得

因?yàn)閂y=10Vx，所以

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

2.

設(shè)其中A，a，b為常數(shù)，求A，a，b，使得f(x)在x=0處可導(dǎo)，并求f'(0)．正確答案：解：若f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f(x)在x=0處連續(xù)，故

因此，A=0，b=0，且有

綜上，當(dāng)A=b=0，a為任意常數(shù)時(shí)，f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f'(0)=0．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

3.

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)在[0，a]上連續(xù)可微，證明

正確答案：證1：因?yàn)閒(x)在[0，a]上連續(xù)可微，故積分存在，且

移項(xiàng)可得

所以

證2：由積分中值定理，存在ξ∈[0，a]，使得．

再由牛頓萊布尼茨公式可得

所以

[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

設(shè)A是n階反對(duì)稱矩陣．4.

證明1與-1不是A的特征值；

正確答案：證明：反證法．若1是A的特征根，α是屬于1的特征向量．即Aα=α．

則

0＜(Aα)T(Aα)=αT·(-A)Aα=αT·(-A)α=-αT·α

與αTα＞0矛盾．故1不是A的特征值．

同理-1不是A的特征值．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

5.

令B=(E-A)(E+A)-1．證明B是正交矩陣，且-1不是B的特征值．正確答案：證明：由于

(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)=E-A2

且A=-AT，于是

BTB=((E-A)(E+A)-1)T(E-A)(E+A)-1

=((E+A)T)-1(E-A)T(E-A)(E+A)-1

=(E-A)-1(E+A)(E-A)(E+A)-1

=(E-A)-1(E-A)(E+A)(E+A)-1

=E

從而得B是正交矩陣．

由于

|E+B|=|(E+A)(E+A)-1+(E-A)(E+A)-1|

=|2E||(E+A)-1|=|2E||E+A|-1≠0

所以-1不是B的特征值．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

6.

設(shè)f(x)在[0，1]上可微，且當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，0＜f'(x)＜1，f(0)=0．試證

正確答案：證1：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明

令

因F(0)=0，故只要證明在(0，1)內(nèi)有F'(x)＞0．事實(shí)上，有

已知f(0)=0，0＜f'(x)＜1(當(dāng)x∈(0，1))，故x∈(0，1)時(shí)f(x)＞0(以下證式①中另一因子大于零)．記，則g(0)=0，且

g'(x)=2f(x)-2f(x)·f'(x)=2f(x)[1-f'(x)]＞0

于是

即F'(x)＞0獲證．從而命題得證．

證2：?jiǎn)栴}在于證明

令．對(duì)式②左邊應(yīng)用柯西中值定理，存在0＜ξ＜1，有

對(duì)于函數(shù)，在[0，ξ]上再利用柯西中值定理，可得

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

求下列不定積分．7.

；正確答案：解：[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

8.

．正確答案：解：[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

設(shè)．9.

a，b為何值時(shí)，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合?正確答案：解：

令

x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β

①

當(dāng)a=-1，b≠0時(shí)，因?yàn)?，所以①無(wú)解，即β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合；[考點(diǎn)]線性方程組

10.

a，b為何值時(shí)，β可唯一表示為α1，α2，α3，α4的線性組合?正確答案：解：當(dāng)a≠-1時(shí)，β可唯一表示為α1，α2，α3，α4的線性組合．[考點(diǎn)]線性方程組

已知，求：11.

f(x)的表達(dá)式；正確答案：解：當(dāng)x＜e時(shí)，；

當(dāng)x＞e時(shí)，；

當(dāng)x=e時(shí)，．

所以[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

12.

討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是否連續(xù)．正確答案：解：由，知f(x)在點(diǎn)x=e處連續(xù)．又當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f(x)=1連續(xù)；當(dāng)x≥e時(shí)，f(x)=lnx連續(xù)．故f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

13.

證明：如果A是n階冪零矩陣，它的冪零指數(shù)為l(即Al-1≠0，Al=0)，那么En-A可逆，并且求(En-A)-1．正確答案：證明：由于Al=0，因此

(En-A)(En+A+A2+…+Al-1)=En-Al=En

從而En-A可逆，并且

(En-A)-1=En+A+A2+…+Al-1[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

14.

三階實(shí)對(duì)稱矩陣組成的集合有多少個(gè)合同類?每一類里寫出一個(gè)最簡(jiǎn)單的矩陣(即合同規(guī)范形)．正確答案：解：

序號(hào)秩正慣性指數(shù)合同規(guī)范形1000211diag{1，0，0}310diag{-1，0，0}422diag{1，1，0}521diag{1，-1，0}620diag{-1，-1，0}733diag{1，1，1}832diag{1，1，-1}931diag{1，-1，-1}1030diag{-1，-1，-1}由此看出，三階實(shí)對(duì)稱矩陣組成的集合恰有10個(gè)合同類．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

15.

求微分方程y"-4y=|x|在[-1，1]上的通解．正確答案：解：方程

y"-4y=x(-1≤x＜0)

通解

方程

y"-4y=x(0≤x≤1)

通解

又

從而有

故

從而方程的解為

[考點(diǎn)]常微分方程及其應(yīng)用

16.

討論函數(shù)

在坐標(biāo)原點(diǎn)的連續(xù)性．正確答案：解：令

x=rcosθ，y=rsinθ

|f(x，y)|=|f(rcosθ，rsinθ)|=|rα-2(cosθ)α|≤rα-2

因此當(dāng)α＞2時(shí)，，此時(shí)f在原點(diǎn)連續(xù)；當(dāng)α≤2時(shí)，不存在，此時(shí)f在原點(diǎn)間斷．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

17.

極限是否存在?并說(shuō)明理由．正確答案：解：令(x，y)沿直線y=kx趨近于(0，0)，得

當(dāng)k=1時(shí)，上式極限為1；當(dāng)k≠1時(shí)，上式極限為零．所以，原極限不存在．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

18.

求．正確答案：解：

注本題也可以利用定積分的定義計(jì)算．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

19.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可微，如果a≥0，證明：(a，b)內(nèi)存在三個(gè)數(shù)x1，x2，x3，使成立．正確答案：證明：由拉格朗日中值定理，存在x1∈(a，b)，使

令G(x)=x2，H(x)=x3，分別對(duì)f(x)，G(x)以及f(x)，H(x)應(yīng)用柯西中值定理，則存在x2∈(a，b)，x3∈(a，b)，使

注意到，b2-a2=(b-a)(b+a)，b3-a3=(b-a)(b2+ab+a2)，對(duì)比①②兩式即得結(jié)論．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

20.

確定α的值，使得函數(shù)

在(0，0)處可微．正確答案：解：如果f(x，y)在點(diǎn)(0，0)可微，則f'x(0，0)，f'y(0，0)存在．

由

存在，則2α-1＞0，即，此時(shí)f'x(0，0)=0，同理有時(shí)，f'y(0，0)=0．則

因此當(dāng)且僅當(dāng)．

故當(dāng)時(shí)，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

21.

設(shè)，求f'(x)．正確答案：解1：令，解出．

若將代入，得

將代入，亦可得f(u)=u2-2，即f(x)=x2-2，所以f'(x)=2x．

解2：，換字母即得f(x)=x2-2，所以f'(x)=2x．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

[解析]注：解1是一般的方法，看似有點(diǎn)麻煩，但在考場(chǎng)上很實(shí)用．“遇到根號(hào)差，勿忘有理化”，這也是我們后面在求極限時(shí)處理根號(hào)差(和)的常用方法．解2固然簡(jiǎn)單，但需要一定的觀察力