考研數(shù)學(xué)二模擬399

考研數(shù)學(xué)二模擬399一、選擇題下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

若3a2-5b＜0，則方程x5+2ax3+3bx+4c=0______A.有唯一實(shí)根．B.有兩個不同實(shí)根．（江南博哥）C.有三個不同實(shí)根．D.有五個不同實(shí)根．正確答案：A[解析]設(shè)f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，f'(x)=5x4+6ax2+3b．

因?yàn)棣?(6a)2-4×5×(3b)=12(3a2-5b)＜0，所以f'(x)＞0，因此f(x)=0至多有一個根．

又f(x)是五次多項(xiàng)式，它至少有一個零點(diǎn)，所以f(x)=0有唯一實(shí)根．

2.

設(shè)則F'(1)=______A.2e(1-e)．B.-2e2．C.1-e．D.0．正確答案：A[解析]區(qū)域D：0≤x≤t2，x≤y≤t2，交換次序?yàn)镈：0≤y≤t2，0≤x≤y，則

F'(t)=2tet2(et2-1)cos(π|t|)，

F'(1)=-2e(e-1)=2e(1-e)．

3.

曲線y=f(x)=|x|-x+e-|x|ln|x|的漸近線共有______A.1條．B.2條．C.3條．D.4條．正確答案：C[解析]當(dāng)x=0時，所以x=0是其垂直漸近線．

當(dāng)x＞0時，f(x)=e-xlnx，所以y=0是其水平漸近線．

當(dāng)x＜0時，f(x)=-2x+exln(-x)，得

所以其有斜漸近線y=-2x．

4.

設(shè)函數(shù)x≥1，由微分中值定理有：f(5)-f(1)=4f'(ξ)，則ξ的取值為______A.5．B.4．C.5和4．D.2．正確答案：D[解析]

5.

設(shè)f(x)是二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，y(x)=f(cosx)·cos[f(x)]，且當(dāng)時，f(x0)=x0，f'(0)=f'(x0)=1，則y"(x0)=______A.1．B.2．C.-1．D.-2．正確答案：B[解析]f(x)是二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，所以有f(0)=0．

記g(x)=f(cosx)，h(x)=cos[f(x)]，則

g'(x)=-sinxf'(cosx)，

g"(x)=-cosxf'(cosx)+sin2xf"(cosx)．

g(x0)=f(0)=0，g'(x0)=-f'(0)，g"(x0)=f"(0)．

h'(x)=-sin[f(x)]·f'(x)，

h"(x)=-cos[f(x)]·[f'(x)]2-sin[f(x)]·f"(x)．

h(x0)=0，

h'(x0)=-sin[f(x0)]·f'(x0)=-f'(x0)，h"(x0)=-f"(x0)

y"(x0)=[g(x)·h(x)]"|x=x0

=g"(x0)·h(x0)+2g'(x0)·h'(x0)+g(x0)·h"(x0)

=f"(0)·0+2f'(0)·f'(x0)-f(0)·f"(x0)=2．

6.

設(shè)f(x)，g(x)在(-δ，δ)內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x→0時，f(x)和g(x)都是x2的等價無窮?。羰莿tx→0時______A.α(x)是β(x)的低階無窮小．B.α(x)是β(x)的高階無窮?。瓹.α(x)是β(x)同階，但不等價的無窮?。瓺.α(x)與β(x)是等價無窮?。_答案：C[解析]

7.

設(shè)是三階可逆矩陣，B是三階矩陣，且則B相似于______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]觀察可由作初等行變換得到，將A的1、2行互換(左乘E12)，再將E12A的第2行乘以2，第3行乘以-1(左乘E2(2)，再左乘E3(-1))，即得AB，即

A是可逆矩陣，上式兩邊右乘A-1，得即

8.

設(shè)有通解k(2，-3，0，1)T，其中k是任意常數(shù)，A中去掉第i(i=1，2，3，4)列后得到矩陣記為Ai．則下列方程組有非零解的是______A.A1y=0．B.A2y=0．C.A3y=0．D.A4y=0．正確答案：C[解析]由AX=(α1，α2，α3，α4)X=0有通解k(2，-3，0，1)T知，r(A)=3，且

2α1-3α2+0α3+α4=2α1-3α2+α4=0，

即有非零解[2，-3，1]T，故應(yīng)選C，A、B、D均不成立．

若A1y=0有非零解，設(shè)為(y2，y3，y4)T(≠0)，則y2α2+y3α3+y4α4=0不失一般性，設(shè)y2≠0，則又AX=0有解(2，-3，0，1)T，得2α1-3α2+α4=0，即α1，α2均可由α3，α4線性表出，故r(α1，α2，α3，α4)=2，這和r(A)=3矛盾，故A不成立，同理可證B、D不成立．

二、填空題1.

設(shè)二元函數(shù)f(x，y)二階連續(xù)可導(dǎo)，且

若u(x，y，z)=f(x+y+z，x2+y2+z2)，則正確答案：-12[解析]

利用函數(shù)結(jié)構(gòu)的對稱性，可得

最后得

2.

若二階常系數(shù)線性齊次微分方程2y"+ay'=0和y"-by=0有同一解y=e2x，則非齊次方程y"+ay'+by=e2x的通解為y=______．正確答案：(C1，C2為任意常數(shù))[解析]由題設(shè)條件可知二次方程2λ2+aλ=0與λ2-b=0有共同的一個解λ=2，所以b=4，a=-4．齊次微分方程為y"-4y'+4y=0，其通解是y=(C1+C2x)e2x(C1，C2為任意常數(shù))．

求非齊次微分方程y"-4y'+4y=e2x的一個特解：

設(shè)特解Y=Ax2e2x，代入微分方程y"-4y'+4y=e2x，得

A(2e2x+8xe2x+4x2e2x)-4A(2xe2x+2x2e2x)+4Ax2e2x=e2x．

比較系數(shù)，得故其特解為通解為

3.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，則在點(diǎn)P0(1，1)處的值為______．正確答案：1[解析]由方程z+lnz-lnx-y=0，得

所以有

又z(1，1)=1，所以在點(diǎn)P0(1，1)處

4.

f(t)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=x3，y=1，x=-1圍成的區(qū)域，則正確答案：2[解析]如圖，由區(qū)域的對稱性可得

因此

5.

微分方程y"-2y'-3y=x(1+e-x)的一個特解形式為______．正確答案：y*=Ax+B+x(Cx+D)e-x(A，B，C，D為任意常數(shù))[解析]原方程對應(yīng)的齊次方程的兩個特征根分別為-1，3，所以

方程y"-2y'-3y=x的一個特解形式為y1=Ax+B；

方程y"-2y'-3y=xe-x的一個特解形式為y2=x(Cx+D)e-x．

根據(jù)線性非齊次微分方程解的疊加原理，原微分方程的一個特解形式為

y*=y1+y2=Ax+B+x(Cx+D)e-x(A，B，C，D為任意常數(shù))．

6.

設(shè)為可逆矩陣，且若則C-1=______．正確答案：[解析]觀察C和A的關(guān)系，C可由A的1、2行互換后，再將第3列加到第1列得到，即C=E12AE13(1)，故C-1=[E12AE13(1)]-1=[E13(1)]-1A-1(E12)-1，其中(E12)-1=E12，[E13(1)]-1=E13(-1)，故

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值．正確答案：方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0兩邊對x和y求導(dǎo)，得

令得

故得駐點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系

將上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得兩個駐點(diǎn)和

由于

①對x求導(dǎo)得

②對x求導(dǎo)得

③對y求導(dǎo)得

得

故又從而點(diǎn)(9，3)是z(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9，3)=3．

類似地，由

可知又所以點(diǎn)(-9，-3)是z(x，y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9，-3)=-3．

2.

求微分方程(y+x3)dx-2xdy=0滿足的特解．正確答案：原方程變形為由一階線性方程通解公式得

再由解得C=1，所以原方程特解為

設(shè)函數(shù)3.

討論f(x)的單調(diào)性，考察f(x)的極值問題；正確答案：由f'(x)=0，得唯一駐點(diǎn)x=0．

所以，當(dāng)x＜0時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1＞0時，f(x)單調(diào)遞增．

極小值點(diǎn)為x=0，極小值為f(0)=0．

4.

討論f(x)的凹凸性，并求其拐點(diǎn)；正確答案：f"(x)=(2xe-x4)'=2e-x4(1-4x4)，由f"(x)=0，得二階導(dǎo)數(shù)的兩個零點(diǎn)：所以f(x)的下凸區(qū)間為上凸區(qū)間為是拐點(diǎn)．

5.

求f(x)的漸進(jìn)線，并作示意圖．(注：已知)正確答案：因有又有

所以f(x)有水平漸進(jìn)線如圖．

設(shè)函數(shù)t∈[0，1]，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．6.

求f(t)的初等函數(shù)表達(dá)式，正確答案：如圖將積分區(qū)域劃分如下：

D+=D∩{(x，y)|y-t≥0}，

D-=D∩{(x，y)|xy-t≤0}．

7.

證明存在t0∈(0，1)，使得f(t0)是f(t)在[0，1]內(nèi)的唯一最小值．正確答案：

由駐點(diǎn)方程f'(t)=0，難以求得駐點(diǎn)的值，但可以通過分析函數(shù)f(t)在區(qū)間(0，1]內(nèi)的性質(zhì)，斷言：f(t)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，這一點(diǎn)就是f(t)在區(qū)間[0，1]上的最小值點(diǎn)．因?yàn)閒"(t)=-2lnt＞0，t∈(0，1)，函數(shù)在區(qū)間(0，1)內(nèi)是下凸的．

因?yàn)閒(t)在區(qū)間(0，1]內(nèi)連續(xù)，所以在區(qū)間(0，1]內(nèi)f(t)存在最小值．

又f'+(0)＜0，f'(1)=1＞0，可知該最小值點(diǎn)不在端點(diǎn)，因此最小值點(diǎn)在(0，1)內(nèi)部，所以它也是駐點(diǎn)．又函數(shù)f(t)在區(qū)間[0，1]內(nèi)是下凸的，因此該駐點(diǎn)是唯一的．證畢．

若u1=b，n=1，2，…．8.

若{un}收斂，求的值；正確答案：若存在，則由條件得

A=A2+(1-2a)A+a2A2-2aA+a2=0A=a．

9.

常數(shù)a，b滿足什么條件時，數(shù)列{un}收斂．正確答案：由可見{un}是單調(diào)增數(shù)列．

因此，如果數(shù)列{un}收斂，必須滿足即要滿足條件

則a-1≤un≤a，n=1，2，…．當(dāng)然應(yīng)有a-1≤u1=b≤a．

若條件a-1≤u1=b≤a成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

a-1≤un≤a，n=1，2，…，

假設(shè)當(dāng)n=k時，a-1≤uk≤a成立，則

同時uk+1＞uk≥a-1，即a-1≤uk+1≤a．

從而證明了a-1≤un≤a．

即{un}單調(diào)增有上界，所以{un}收斂．

設(shè)y=y(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，且y'(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．10.

試將x=x(y)所滿足的微分方程

變換為y=y(x)滿足的微分方程；正確答案：因?yàn)閤[y(x)]=x，所以從而

故

代入原方程，得y"-y=sinx．

11.

求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，的解．正確答案：現(xiàn)在變?yōu)槌踔祮栴}

對應(yīng)的齊次方程y"-y=0的通解為

Y=C1ex+C2e-x．

設(shè)方程y"-y=sinx的特解為Y=Acosx+Bsinx，

代入得A=0，故從而y"-y=sinx的通解為

由y(0)=0，得C1=1，C2=-1，故所求初值問題的解為

若有數(shù)列{xn}由如下條件確定，x1=1，xn+1=sin(arctanxn)，n=1，2，…．12.

證明數(shù)列{xn}收斂，并求極限正確答案：首先證明，{xn}單調(diào)減趨于零．

由x1=1，及0≤xn+1=sin(arctanxn)≤arctanxn≤xn，所以{xn}單調(diào)減少，且{xn}[0，1]，則{xn}單調(diào)減且有下界．從而其極限存在，設(shè)則由得方程

a=sin(arctana)，a∈[1，0]，

顯然a=0，即

13.

求極限正確答案：思路一：

當(dāng)t→0時，則

思路二：令un=arctanxn，則xn=tanun，因此

設(shè)n階矩陣A的元素aij，i，j=1，2，…，n，Aij是aij的代數(shù)余子式．14.

正確答案：思路一：求得A*即可求得A的全部代數(shù)余子式之和，由得|A|=1，則

故

思路二：

15.

已知|A|=3，a11=2，求|B|.正確答案：

則有

故|B|=|C|=a11|A|n-2=2·3n-2．

設(shè)f(x1，x2，…，xn)=XTAX，