考研數(shù)學(xué)二模擬401

考研數(shù)學(xué)二模擬401一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______A.0．B.1．C.2．D.3．正確答案：B[解析]利用當(dāng)|x|＜1時(shí)，當(dāng)|x|＞1時(shí)，不難得出

由此可見x=-1與x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，而x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)．

2.

當(dāng)x→0時(shí)，與g(x)=xk是同階無窮小，則______A.k=2．B.k=3．C.k=4．D.k=5．正確答案：D[解析]因f(x)和g(x)為同階無窮小，則極限存在且不為0．

使存在且不等于0，必須滿足k-5=0，即k=5．

此時(shí)，兩者為同階無窮小，且有

3.

函數(shù)z=(1+ey)cosx-yey極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______A.1．B.2．C.3．D.無窮多個(gè)．正確答案：D[解析]由極限存在的必要條件

得

從而有駐點(diǎn)(2nπ，0)，((2n+1)π，-2)，n=0，±1，…．

又

對(duì)點(diǎn)(2nπ，0)，有A=-2＜0，B=0，C=-1，B2-AC＜0，所以點(diǎn)(2nπ，0)為極大值點(diǎn)．

對(duì)點(diǎn)((2n+1)π，-2)，有A=1+e-2＞0，B=0，C=-e-2，B2-AC＞0，故點(diǎn)((2n+1)π，-2)不是極值點(diǎn)，所以該函數(shù)有無窮多個(gè)極大值點(diǎn)．

4.

設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]積分區(qū)域D如下圖所示，其中

觀察積分區(qū)域，得

5.

設(shè)f(x，y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且f(x，y)(ydx+xdy)為某一函數(shù)u(x，y)的全微分，則下列等式成立的是______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由已知得du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy，所以

從而

由于偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，所以

6.

已知x1=a＞0，y1=b＞0(a＜b)，則數(shù)列{xn}和{yn}______A.都收斂于同一值．B.都收斂，但不一定收斂于同一值．C.都發(fā)散．D.無法判斷斂散性．正確答案：A[解析]根據(jù)常見不等式容易驗(yàn)證數(shù)列{xn}，{yn}的單調(diào)性和有界性，從而得出結(jié)論．

由已知易得xn＞0，yn＞0，又因?yàn)?/p>

所以

即數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，數(shù)列{yn}單調(diào)遞減，又

a=x1≤x2≤…≤xn≤yn≤…≤y1=b

所以數(shù)列{xn}和數(shù)列{yn}都有界，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，知都存在，故排除選項(xiàng)C和D．下面討論兩個(gè)數(shù)列是否收斂于同一值．

設(shè)由得

即

7.

已知若α1，α2是矩陣A屬于特征值λ=1的線性無關(guān)的特征向量，α3是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，則矩陣P不能是______A.(α1，-α2，α3)．B.(α2，α1，α3)．C.(5α1，α1+α2，α3)．D.(α1，α2，α2+α3)．正確答案：D[解析]若Aα=λα，則A(kα)=λ(kα)，即若α是A屬于特征值λ的特征向量，則kα(k≠0)仍是矩陣A屬于特征值λ的特征向量．

若Aα1=λα1，Aα2=λα2，則A(kα1+kα2)=λ(kα1+kα2)，即若α1，α2是A屬于特征值λ的特征向量，則kα1+kα2(非零時(shí))仍是A屬于特征值λ的特征向量．

注意：若Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，λ1≠λ2，則α1+α2，α1-α2等都不是矩陣A的特征向量．

所以A、B、C均正確，而D中α2+α3不再是矩陣A的特征向量．

8.

設(shè)矩陣A的伴隨矩陣且ABA-1=BA-1+3E，其中E為四階單位矩陣，則矩陣B為______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]思路一：因|A*|=|A|n-1，由|A*|=|A|n-1=|A|3=8，得|A|=2．

又(A-E)BA-1=3E，有(A-E)B=3A，從而A-1(A-E)B=3E，由此得

(E-A-1)B=3E，即亦即(2E-A*)B=6E

又(2E-A*)為可逆矩陣，于是

思路二：同思路一，得|A|=2．

又由AA*=|A|E，對(duì)ABA-1=BA-1+3E先右乘A，再左乘A*，得

A*AB=A*B+3A*A，|A|B=A*B+3|A|E

即

(2E-A*)B=6E

于是

二、填空題1.

曲線在點(diǎn)(0，0)處的法線方程為______．正確答案：[解析]由參數(shù)方程易知，當(dāng)t=1時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(0，0)，又

則從而法線的斜率為

故法線方程為

2.

正確答案：[解析]

令t=x+1，則

3.

正確答案：[解析]I(a)是累次積分，可寫為二重積分

其中D：0≤y≤2a，如圖，它是半圓域：

x2+(y-a)2≤a2，x≥0．

由二重積分中值定理，使得

又ln(1+a2)～a2(a→0)，當(dāng)a→0時(shí)，ξ2+η2→0，于是

4.

設(shè)ρ=a(1+cosθ)，則正確答案：[解析]將ρ=a(1+cosθ)化為參數(shù)方程θ為參數(shù)．

x'θ=-asinθcosθ-a(1+cosθ)sinθ=-a(sinθ+sin2θ)，

y'θ=-asin2θ+a(1+cosθ)cosθ=a(cosθ+cos2θ)．

故

5.

函數(shù)f(x)=x+2cosx在上的最小值為______．正確答案：[解析]因f'(x)=1-2sinx，令f'(x)=0可得

即在內(nèi)f(x)有唯一駐點(diǎn)且

又在端點(diǎn)x=0和處f(0)=2，

比較可得

故f(x)在上的最小值為

6.

設(shè)α=(1，1，1)T，β=(1，0，2)T，若矩陣αβT相似于則k=______．正確答案：3[解析]因αβT相似于根據(jù)相似矩陣有相同的特征值，得到αβT的特征值為k，0，0．

而αTβ為矩陣αβT的對(duì)角元素之和，所以1+2=k+0+0，因此k=3．

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

正確答案：

設(shè)直線y=kx(k＞1)與曲線所圍平面圖形為D1，它們與直線x=1圍成平面圖形為D2．2.

求k，使得D1與D2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成旋轉(zhuǎn)體的體積V1與V2之和最小，并求最小值；正確答案：由方程組得直線與曲線交點(diǎn)為如圖

則

令得

因?yàn)閂"(k)＞0，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)V(k)取最小值，且最小值為

3.

求此時(shí)的D1和D2面積之和．正確答案：因?yàn)閯t

4.

設(shè)z=f(x+y，ey，xy)，其中f具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與正確答案：

因此

5.

一新型傳染病在某一人群中的傳播是通過其中的感染者進(jìn)行的，設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t=0時(shí)刻感染者人數(shù)為x0．在任意時(shí)刻t已感染者的人數(shù)為x(t)(可視x(t)為連續(xù)可微變量)．其變化率與已感染者和未感染者人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k＞0，求x(t)．正確答案：已感染者人數(shù)x(t)的變化率為由題意可建立初值問題

對(duì)微分方程分離變量得

積分可得

由初始條件確定

故所求函數(shù)為

6.

計(jì)算二重積分其中D：0≤x≤2，-2≤y≤2．正確答案：

如上圖，用直線y=-x+2，y=-x將D分成D1，D2與D3．于是

7.

設(shè)y"+2my'+n2y=0，y(0)=a，y'(0)=b，求(其中a，b，m，n均為常數(shù)，m＞n＞0)．正確答案：思路一：特征方程為λ2+2mλ-n2=0，得則

對(duì)題設(shè)方程兩邊積分，得

思路二：由特征方程，得λ1，2=＜0，原方程的通解為y=C1eλ1x+C2eλ2x(C1，C2為任意常數(shù))，可得又由初始條件，有

C1+C2=a，λ1C1+λ2C2=b，

故

8.

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)都在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)．

求證：使得f'(ξ)+f'(η)=g'(ξ)+g'(η)．正確答案：把ξ與η分離至等式兩端可得

f'(ξ)+f'(η)=g'(ξ)+g'(η)f'(ξ)-g'(ξ)=-f'(η)+g'(η)

[f(x)-g(x)]'|x=ξ=-[f(x)-g(x)]'|x=η．

對(duì)函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，由于F(x)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故存在使得

即

又由于F(x)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，故存在使得

即

將①式與②式相加，就有使得

即

f'(ξ)+f'(η)=g'(ξ)+g'(η)．

已知下列非齊次線性方程組

9.

求解方程組(ⅰ)用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；正確答案：對(duì)方程組(ⅰ)的增廣矩陣作初等行變換

由于所以方程組(ⅰ)有無窮多解，得其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為[1，1，2，1]T，非齊次方程組的一個(gè)特解是[-2，-4，-5，0]T，故方程組(ⅰ)的通解為

10.

當(dāng)方程組(ⅱ)中的參數(shù)m，n，t為何值時(shí)，方程組(ⅰ)與(ⅱ)同解?正確答案：若方程組(ⅰ)與(ⅱ)同解，則(ⅰ)的解應(yīng)是(ⅱ)的解，將(ⅰ)的通解代入(ⅱ)的三個(gè)方程，可分別求得參數(shù)m，n，t．

將x代入(ⅱ)的第一個(gè)方程，得

(-2+k)+m(-4+k)-(-5+2k)-k=-5，

整理得(m-2)(k-4)=0，其中k是任意常數(shù)，故解得m=2．

將x代入(ⅱ)的第二個(gè)方程，得

n(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11，

整理得(n-4)(k-4)=0，其中k是任意常數(shù)，故解得n=4．

將x代入(ⅱ)的第三個(gè)方程，得

(-5+2k)-2k=-t+1，

解得t=6．故(ⅰ)(ⅱ)同解m=2，n=4，t=6．又當(dāng)m=2，n=4，t=6時(shí)，(ⅱ)的系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為3．則(ⅱ)的解也是(ⅰ)的解．因此當(dāng)m=2，n=4，t=6時(shí)，方程組(ⅰ)與(ⅱ)同解．

設(shè)二次型

11.

若二次型通過正交變換的標(biāo)準(zhǔn)形為求參數(shù)a；正確答案：由已知條件，知二次型矩陣為其特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5．特征多項(xiàng)式為