考研數(shù)學(xué)二分類模擬228

考研數(shù)學(xué)二分類模擬228解答題1.

計(jì)算積分．正確答案：解1：

第二積分中，令，則

解2：令，則

故I=0．[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

2.

函數(shù)在(0，0)點(diǎn)的極限存在嗎?若存在，則求其值．正確答案：解：不存在；可考慮沿路徑x=my2的極限(m取不同的實(shí)數(shù))．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

二次型經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求：3.

常數(shù)a，b；正確答案：解：令

則

f(x1，x2，x3)=xTAx

由其標(biāo)準(zhǔn)形可知，A的特征值為λ1=5，λ2=b，λ3=-4，由

得

解得．

從而，特征值為λ1=λ2=5，λ3=-4．[考點(diǎn)]二次型

4.

正交變換的矩陣Q.正確答案：解：將λ1=λ2=5代入(λE-A)x=0，解得λ1=λ2=5對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；

將λ3=-4代入(λE-A)x=0，解得λ3=-4對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為．

令

單位化得

所求的正交變換矩陣為

[考點(diǎn)]二次型

設(shè)A=E-2ξξT，其中，ξ=(x1，x2，…，xn)T，且ξTξ=1．證明：5.

A是對(duì)稱矩陣；正確答案：證明：AT=(E-2ξξT)T=ET-2(ξξT)T=A，故A是對(duì)稱矩陣．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

6.

A2=E；正確答案：證明：

A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-2ξξT-2ξξT+4ξξTξξT

=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

7.

A是正交矩陣．正確答案：證明：由上兩個(gè)小題知，AT=A，A2=E，得AAT=E，故A是正交矩陣．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

8.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，且，證明：f(x)在(-∞，+∞)上能取到最小值．正確答案：證明：顯然f(x)在閉區(qū)間[-10010，10086]上能取到最小值m，即存在a∈[-10010，10086]，使得f(a)=m．

由于，則對(duì)任意的M＞|m|，分別存在G1＞10086和G2＜-10010，使得當(dāng)x＞G1或x＜G2時(shí)，有f(x)＞M＞|m|，由此可得f(x)在(-∞，+∞)上能取到最小值，且等于f(x)在[G2，G1]的最小值．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

9.

解下列矩陣方程

正確答案：解：此矩陣方程可以寫(xiě)成

(En+H+H2+…+Hn-1)X=(En+2H+3H2+…+nHn-1)①

其中．

由于

(En-H)(En+H+H2+…+Hn-1)=En-Hn=En

給式①兩端左乘(En-H)，得

[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

10.

求．正確答案：解1：拆分區(qū)間[0，1]．，對(duì)任意的，0≤1-x2＜1，故，當(dāng)n＞N時(shí)，，則

所以．

解2：

由結(jié)論及夾逼準(zhǔn)則知[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

11.

設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)．試證：，使得

正確答案：證1：記．注意到

且F(x)存[a，b]上三階可導(dǎo)．故只需將上題中的函數(shù)f(x)換為F(x)即證得本題結(jié)論．

證2：將函數(shù)在點(diǎn)處按泰勒定理展開(kāi)，記，則

其中ξ，η∈(a，b)．而

由于f"(x)連續(xù)，則利用連續(xù)函數(shù)及介值性定理，，使得

代入②即得欲證的式①．

注本題的證2幾乎完全類似于上題中的證法2，實(shí)際上，若條件只假設(shè)f"(x)存在，亦可由導(dǎo)數(shù)的介質(zhì)性定理(達(dá)布定理)得證．

證3：記，在泰勒展開(kāi)式

的兩端同時(shí)在[a，b]上積分(ξ介于x與x0之間)．注意

由廣義的第一積分中值定理知，，使得

(請(qǐng)讀者思考為什么這里不能直接把f"(ξ)提出去，而要用廣義的第一積分中值定理)，因此式①成立．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

12.

設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)解向量，r(A)=3，且α1+α2=(1，-1，3，2)T，α2+α3=(-2，4，2，-8)T，求Ax=b的通解．正確答案：解：由于A的列數(shù)為4，r(A)=3，所以可設(shè)Ax=b的通解形式為kξ+η，其中ξ為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，η為Ax=b的一個(gè)特解，不妨設(shè)

于是Ax=b的通解為k(-3，5，-1，-10)T+(-1，2，1，-4)T(k為任意常數(shù))．[考點(diǎn)]線性方程組

13.

拋物線y2=2x把圓x2+y2=8的面積分成兩部分，如圖，求兩部分的面積之比．

正確答案：解：拋物線y2=2x和圓x2+y2=8在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A(2，2)．

設(shè)這兩部分的面積分別為S1及S2，則有

及

于是，它們之比為

[考點(diǎn)]定積分的應(yīng)用

14.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．正確答案：解：

當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

所以，當(dāng)時(shí)，不存在．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

15.

．正確答案：解：設(shè)1-5x2=t，則，從而

故得

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

16.

設(shè)A是n階矩陣，滿足A2=A，且A≠E(E表示n階單位陣)，證明：|A|=0．正確答案：證明：根據(jù)題設(shè)條件A2=A，有

A2-A=A(A-E)=0

又A≠E，故A-E≠0．

將A-E按列分塊，設(shè)A-E=(ξ1，ξ2，…，ξn)，則A-E的每一列ξi(i=1，2，…，n)均是方程組Ax=0的解向量，由于A-E≠0，故A-E中至少有一列ξi不為零向量，故Ax=0至少有一個(gè)非零解，從而證得|A|=0．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

設(shè)A，B為n階矩陣．17.

是否有AB～BA?正確答案：解：一般情況下，AB與BA不相似，如

因?yàn)閞(AB)≠r(BA)，所以AB與BA不相似．[考點(diǎn)]特征值與特征向量

18.

若A有特征值1，2，…，n．證明：AB～BA.正確答案：證明：因?yàn)閨A|=n!≠0，所以A為可逆矩陣，取P=A，則有P-1ABP=BA，故AB相似于BA．[考點(diǎn)]特征值與特征向量

19.

將周長(zhǎng)為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱體，問(wèn)矩形的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，才可使圓柱的體積為最大．正確答案：解1：化為無(wú)條件極值問(wèn)題求解．

設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為x，y，則x+y=p，旋轉(zhuǎn)所得圓柱體的體積為V=πx2y，即V=πx2(p-x)(x＞0)．令，得，x=0(舍去)．

，故矩形的長(zhǎng)和寬分別為時(shí)取最大體積，且最大體積．

解2：用拉格朗乘數(shù)法．

設(shè)

L(x，y，λ)=πx2y+λ(x+y-p)，L'x=L'y=L'λ=0

解得，故矩形長(zhǎng)為，寬為，最大體積．[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

20.

證明：函數(shù)，在(0，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．正確答案：證明：

令f'(x)=0，解得，即．當(dāng)時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)時(shí)，f'(x)＜0，則f(x)在處有極小值，且在上單調(diào)遞增．由f(1)=0，得，則f(x)在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．

又因，且f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，則f(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，f(x)在(0，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

21.

求極限．正確答案：解：

[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

22.

設(shè)A，B，C為n階矩陣，且滿足AB=BC=CA=E，求A2+B2+C2．正確答案：解：因AB=BC=CA=E，知A，B，C均可逆且

A=B-1=C-1，B=A-1=C-1，C=A-1=B-1

則

A2=AB-1=AA-1=E，B2=BB-1=E，C2=CC-1=E

故

A2+B2+C2=3E[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

23.

設(shè)是連續(xù)函數(shù)，求a，b．