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文檔簡介
考研數(shù)學(xué)二模擬413一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.
設(shè)在x=0處連續(xù),則f(x)在x=0處______.
A.不可導(dǎo)
B.f'(0)=ln23+1
C.
D.正確答案:D[解析]
因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù),所以a=1+ln3,于是
又因?yàn)?/p>
所以f(x)在x=0處可導(dǎo),且,選D.
2.
當(dāng)x→0時(shí),無窮小的階數(shù)最高的是______.
A.
B.tanx-x
C.(1+tanx)ln(1+2x)-1
D.正確答案:A[解析]由得,即為4階無窮?。?/p>
由,即tanx-x為3階無窮?。?/p>
由(1+tanx)ln(1+2x)-1=eln(1+2x)ln(1+tanx)-1~ln(1+2x)ln(1+tanx)~2x2得(1+tanx)ln(1+2x)-1為2階無窮??;
由得為3階無窮?。xA.
3.
對(duì)函數(shù)______.A.僅有極大值B.僅有極小值C.既有極大值又有極小值D.沒有極值正確答案:C[解析]令f'(x)=2x(4-x2)ln(1+x2)=0,得x1=-2,x2=0,x3=2.
當(dāng)x<-2時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x>2時(shí),f'(x)<0,則x1=-2,x3=2為f(x)的極大值點(diǎn),x2=0為f(x)的極小值點(diǎn),選C.
4.
微分方程y"-4y'=x2+cos2x的特解形式為______.A.(ax2+bx+c)+(Acos2x+Bsin2x)B.(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x)C.(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)D.(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)正確答案:A[解析]特征方程為λ2-4λ=0,特征值為λ1=0,λ2=4,
方程y"-4y'=x2的特解為y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx;
方程y"-4y'=cos2x的特解為Acos2x+Bsin2x.選C.
5.
設(shè)平面圖形A由x2+y2≤2x及y≥x所確定,則A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式為______.
A.
B.
C.
D.正確答案:B[解析]取[x,x+dx][o,1],則,所求的體積為
若取
所求的體積為
選B.
6.
設(shè)f(x)連續(xù),且滿足,則關(guān)于f(x)的極值問題有______.
A.存在極小值
B.存在極大值
C.存在極小值
D.存在極小值正確答案:A[解析]等式兩邊求導(dǎo),得f'(x)+2f(x)=2x,其通解為.
因?yàn)?,所以C=1,從而.
令f'(x)=-2e-2x+1=0,得唯一駐點(diǎn)為.
因?yàn)閒"(x)=4e-2x>0,故是極小值點(diǎn),極小值為.
7.
已知四維列向量α1,α2,α3線性無關(guān),若向量βi(i=1,2,3,4)是非零向量且與向量α1,α2,α3均正交,則向量組β1,β2,β3,β4的秩為______.A.1B.2C.3D.4正確答案:A[解析]設(shè)αi=(αi1,αi2,αi3,αi4)T(i=1,2,3),由已知條件有即βi(i=1,2,3,4)為方程組的非零解.
由于α1,α2,α3線性無關(guān),所以方程組系數(shù)矩陣的秩為3,所以其基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量,從而向量組β1,β2,β3的秩為1,選A.
8.
設(shè)A,B及A*都是n(n≥3)階非零矩陣,且AB=O,則r(B)=______.A.0B.1C.2D.3正確答案:B[解析]由B為非零矩陣得r(A)<n,從而r(A*)=0或r(A*)=1,
因?yàn)锳*為非零矩陣,所以r(A*)=1,于是r(A)=n-1,
又由AB=O得r(A)+r(B)≤n,從而r(B)≤1,再由B為非零矩陣得r(B)≥1,
故r(B)=1,選B.
二、填空題1.
極限正確答案:[解析]令
由得
由迫斂定理
2.
設(shè)f(x)二階可導(dǎo)且滿足,則f(x)=______.正確答案:[解析]對(duì)兩邊求導(dǎo)得x2f(x)=3x2+f'(x),整理得f'(x)-x2f(x)=-3x2,解得
當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,于是C=-3,故
3.
正確答案:[解析]
4.
y=y(x),由確定,則正確答案:2(e-1-e-2)[解析]當(dāng)t=0時(shí),x=0,y=-1,,由tey+y+1=0,得,解得
于是
5.
若f(x)=2nx(1-x)n,記正確答案:[解析]令f'(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0,得,由f(0)=f(1)=0,得,于是
6.
設(shè),且ABAT=E+2BAT,則B=______.正確答案:[解析]由ABAT=E+2BAT,得ABAT=(AT)-1AT+2BAT,因?yàn)锳T可逆,所以AB=(AT)+2B或B=(A-2E)-1(AT)-1=[AT(A-2E)-1,解得
三、解答題共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.設(shè)f(x)二階可導(dǎo),且f(0)=0,令1.
確定a的取值,使得g(x)為連續(xù)函數(shù);正確答案:[解],當(dāng)a=f'(0)時(shí),g(x)在x=0處連續(xù).
2.
求g'(x)并討論函數(shù)g'(x)的連續(xù)性.正確答案:[解]當(dāng)x≠0時(shí),
當(dāng)x=0時(shí),
于是
因?yàn)?/p>
所以g'(x)在x=0處連續(xù).
3.
設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)().證明:存在ξ,η∈(a,b),使得
正確答案:[解]令g(x)=-cosx,g'(x)=sinx≠0(a<x<b),
由柯西中值定理,存在η∈(a,b),使得;
令h(x)=sinx,h'(x)=cosx≠0(a<x<b),
由柯西中值定理,存在ξ∈(a,b),使得
從而
于是
故
4.
設(shè)f(x)連續(xù)且f(0)=0,f'(0)=2,求極限正確答案:[解]由
于是
5.
計(jì)算積分,其中D是由直線y=2,y=0,x=-2及曲線所圍成的區(qū)域.正確答案:[解]令D1={(x,y)|-2≤x≤0,0≤y≤2},
6.
過點(diǎn)作拋物線的切線,該切線與拋物線及x軸圍成的平面區(qū)域?yàn)镈,求該區(qū)域分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積.正確答案:[解]設(shè)切點(diǎn)為,
由,解得a=3頂格
則切線方程為.
7.
求z=x2-2y2+2x+4在區(qū)域x2+4y2≤4上的最小值和最大值.正確答案:[解]當(dāng)x2+4y2<4時(shí),
由得,且z(-1,0)=3;
當(dāng)x2+4y2=4時(shí),
令
則
當(dāng)時(shí),;當(dāng)cost=1時(shí),zmax=12,
故z=x2-2y2+2x+4在x2+4y2≤4上的最小值為,最大值為12.
8.
設(shè)曲線y=y(x)過(0,0)點(diǎn),M是曲線上任意一點(diǎn),MP是法線段,P點(diǎn)在x軸上,已知MP的中點(diǎn)在拋物線2y2=x上,求此曲線的方程,正確答案:[解]設(shè)M(x,y),則法線方程為
令Y=0得X=yy'+x,于是P點(diǎn)坐標(biāo)為(yy'+x,0).MP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,它位于給定的拋物線上.于是有方程y2=yy'+2x,即,所以y2e-2x=2xe-2x+e-2x+C由y(0)=0得C=-1,所求曲線方程為y2=1+2x-e2x.
設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣,存在可逆矩陣,使得
9.
求常數(shù)a,b的值及μ.正確答案:[解]A的特征值為λ1=1,λ2=2,λ3=-1,
令
顯然Aα1=α1,Aα2=2α2,Aα3=-α3,
即α1,α2,α3為分別屬于λ1=1,λ2=2,λ3=-1的特征向量,
因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣,所以解得a=0,b=-2.
A*的特征值為
由α3=-α得α是矩陣A的屬于特征值λ3=-1的特征向量,從而α是A*的屬于特征值2的特征向量,即μ=2.
10.
求|A*+3E|.正確答案:[解]A*+3E的特征值為1,2,5,則|A*+3E|=10.
11.
設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,且存在正交矩陣,使得,又令B=A2+2E,求矩陣B.正確答案:[解]由得A的特征值為λ1=2,λ2=-1,λ3=1,且λ1=2對(duì)應(yīng)的特征向量
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