考研數(shù)學二模擬418

考研數(shù)學二模擬418一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1.

設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當x→0時，f(x)與xm為同階無窮?。衷O(shè)x→0時，INCLUDEPICT（江南博哥）URE\d":8089/YFB12/tu/1710/yjs/ky/s2417.385EB9.jpg"INET與xk為同階無窮小，其中m與n為正整數(shù)．則k=______A.mn+n．B.2n+m．C.m+n．D.mn+n-1．正確答案：A[解析]當x→0時，f(x)與xm為同階無窮小，從而知存在常數(shù)A≠0，當x→0時，f(x)～Axm，從而，f(xn)～Axnm．于是

由題意可知，上式為不等于零的常數(shù)，故k=nm+n．

2.

A．0．

B．

C．1．

D．正確答案：B[解析]設(shè)由于當x＜0時，f(x)=x；當x=0時，

當x＞0時，

所以故應(yīng)選B．

3.

設(shè)e-x2是f(x)的一個原函數(shù)，下述兩個反常積分

正確的結(jié)論是______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由條件知f(x)=(e-x2)'=-2xe-x2，f'(x)=-2e-x2+4x2e-x2．

故選B．

4.

設(shè)f(x)在x=0處存在2階導數(shù)，且f(0)=0，f'(0)=0，f"(0)≠0．則

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]先作積分變量代換，令x-t=u，則

由二階導數(shù)定義，

所以

5.

設(shè)下述命題成立的是______

A．f(x)在[-1，1]上存在原函數(shù)．

B．存在g'(0)．

C．g(x)在[-1，1]上存在原函數(shù)．

D．在x=0處可導．正確答案：C[解析]A不正確．f(x)在點x=0處具有跳躍間斷點．函數(shù)在某點具有跳躍間斷點，那么在包含此點的區(qū)間上，該函數(shù)必不存在原函數(shù)．

B不正確．按定義容易知道g'(0)不存在．

C正確．g(x)為[-1，1]上的連續(xù)函數(shù)，故存在原函數(shù)．

D不正確．可以具體計算出F(x)，容易看出F'-(0)=0，F(xiàn)'+(0)=1，故F'(0)不存在．

6.

設(shè)F(u，v)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且z=z(x，y)由方程所確定．又設(shè)題中出現(xiàn)的分母不為零，則

A．0．

B．z．

C．

D．1．正確答案：B[解析]

7.

設(shè)ξ1=(1，-2，3，2)T，ξ2=(2，0，5，-2)T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列向量中是齊次線性方程組Ax=0的解向量的是______A.α1=(1，-3，3，3)T．B.α2=(0，0，5，-2)T．C.α3=(-1，-6，-1，10)T．D.α4=(1，6，1，0)T．正確答案：C[解析]Ax=0的基礎(chǔ)解系為ξ1，ξ2，若αi是Ax=0的解向量αi可由ξ1，ξ2線性表出非齊次線性方程組ξ1y1+ξ2y2=αi有解．逐個判別αi較麻煩，合在一起作初等行變換進行判別較方便．

顯然因r(ξ1，ξ2)=r(ξ1，ξ2，α3)=2，ξ1y1+ξ2y2=α3有解，故α3是Ax=0的解向量．故應(yīng)選C．而r(ξ1，ξ2)=2≠r(ξ1，ξ2，αi)=3，i=1，2，4，故α1，α2，α4不是Ax=0的解向量．

8.

設(shè)是可逆矩陣，B是三階矩陣，滿足則|B|=______A.1．B.-2．C.3．D.-6．正確答案：C[解析]因為

兩邊左乘A-1，且取行列式得

故應(yīng)選C．

二、填空題1.

正確答案：e-2[解析]

而

所以原極限=e-2．

2.

已知存在且不為零，其充要條件是常數(shù)p=______，此時該極限值為______．正確答案：[解析]作積分變量代換從而

上述極限存在且不為零的充要條件是此時，該極限值等于

3.

正確答案：e-2[解析]

所以原式=e-2．

4.

設(shè)y(x)≠0且為連續(xù)函數(shù)，∫y(x)dx與分別為y(x)與的某兩個原函數(shù)，又設(shè)且y(0)=1，并設(shè)則y(x)=______．正確答案：e-x[解析]由有

兩邊對x求導，得

所以

y2(x)=[∫y(x)dx]2，

y(x)=±∫y(x)dx，

所以y=Ce±x．由題設(shè)y(0)=1，知C=1．又因為故“±”取“-”·所以y=e-x．

5.

設(shè)a為常數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，又設(shè)

存在，則a=______，上述極限值=______．正確答案：-2；2[解析][x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[-π]=-4．所以

因此對于所討論的極限應(yīng)分x→0-與x→0+討論．

所以當且僅當a=-2時上述極限存在，該極限值為2．

6.

設(shè)A是3階方陣，有3個特征值為0，1，1，且不相似于對角矩陣，則r(E-A)+r(A)=______．正確答案：4[解析]因λ=0是單根，所以對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量有且只有一個，即Ax=0的基礎(chǔ)解系只有一個非零解．故r(A)=2．

因λ=1是二重根，又A不相似于對角矩陣，故對應(yīng)線性無關(guān)特征向量也只有一個，即

1=3-r(E-A)，

即r(E-A)=3-1=2．

因此r(A)+r(E-A)=4．

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)平面區(qū)域D是由參數(shù)方程給出的曲線與x軸圍成的區(qū)域，求二重積分其中常數(shù)a＞0．正確答案：[解]先對y后對x積分，擺線縱坐標記為y(x)，于是

上式中的y=y(x)通過參數(shù)式聯(lián)系著．對上式作積分變量代換x=a(t-sint)，從而y(x)成為t的函數(shù)y(t)=a(1-cost)，于是

2.

設(shè)

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，單調(diào)性，極值；

(Ⅱ)討論曲線y=f(x)的凹凸性，拐點，漸近線，

根據(jù)以上(Ⅰ)，(Ⅱ)的討論結(jié)果，畫出函數(shù)y=f(x)的大致圖形．正確答案：[解](Ⅰ)因為二次式x2±x+1的判別式(±1)2-4=-3＜0，所以x2±x+1＞0，f(x)的定義域為(-∞，+∞)．

又f(x)=-f(-x)，所以f(x)為奇函數(shù)．

當時，f'(x)＜0．當時，f'(x)的分子中兩項記為a，b，a＞0，b＞0，考慮

故0＜a＜b．所以當時，仍有f'(x)＜0，從而當0≤x＜+∞時，f'(x)＜0．又f(x)為奇函數(shù)，故當-∞＜x＜0時，f'(x)＜0．所以當x∈(-∞，+∞)時，均有f'(x)＜0，即f(x)在(-∞，+∞)上嚴格單調(diào)減少，f(x)無極值．

f"(0)=0．

所以當-∞＜x＜0時，曲線y=f(x)是凸的，當0＜x＜-∞時，曲線是凹的．點(0，f(0))為拐點．

易知無鉛直漸近線．考慮水平漸近線：

所以沿x→+∞方向有水平漸近線y=-1．由于f(x)為奇函數(shù)，所以沿x→-∞方向有一條水平漸近線y=1．

畫圖如下：

3.

設(shè)f(x)在[0，1]上可導，且滿足試證明：存在ξ(0，1)，使正確答案：[證]由積分中值定理，存在使得

令F(x)=x3f(x)，因為故有f(1)=η3f(η)，即F(1)=F(η)．

顯然F(x)在[0，1]上可導，由羅爾中值定理得，存在使得F'(ξ)=0，即

3ξ2f(ξ)+ξ3f'(ξ)=0，

即故命題得證．

4.

適當選取函數(shù)φ(x)，作變量代換y=φ(x)u，將y關(guān)于x的微分方程化為u關(guān)于x的二階常系數(shù)線性齊次微分方程求φ(x)及λ，并求原方程的通解．正確答案：[解]由y=φ(x)u，有

代入原方程，得

取φ(x)使2φ'(x)+xφ(x)=0．解微分方程取經(jīng)計算可知

于是原方程經(jīng)變換之后，化為即

解之得u=C1+C2x，故原方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)．

5.

正確答案：[解]如圖所示。將D分成三塊，中間一塊記為D3，左、右兩塊分別記為D1與D2，則

而

所以

6.

求由方程2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0所確定的函數(shù)z(x，y)的極值．正確答案：[解]令F(x，y，z)=2x2+2y2+z2+8xz-z+8，且令

解得y=0，4x+8z=0，再與2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0聯(lián)立，解得兩組解為

再求二階偏導數(shù)并以兩組解分別代入，得

所以在第一組點處，B2-AC＜0，故z=1為極小值；在第二組點處，B2-AC＜0，故為極大值．

7.

設(shè)圓盤的半徑為R，厚為h．點密度為該點到與圓盤垂直的圓盤中心軸的距離的平方，求該圓盤的質(zhì)量m；正確答案：[解]如圖(a)以環(huán)細分圓盤，設(shè)環(huán)的寬度為dr，內(nèi)半徑為r，在環(huán)上點密度視為不變，為r2，質(zhì)量元為dm=r2·2πrdr·h．于是該圓盤的質(zhì)量為

圖(a)

8.

將以曲線x=1，x=4及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體記為V，設(shè)V的點密度為該點到旋轉(zhuǎn)軸的距離的平方，求該物體的質(zhì)量M．正確答案：[解]如圖(b)該旋轉(zhuǎn)體可看成由一個個薄片組成，由上題知，每一薄片的質(zhì)量

其中R為x處的旋轉(zhuǎn)半徑，即y，于是質(zhì)量元為

所以物體的質(zhì)量為

圖(b)

設(shè)3維向量組α1，α2線性無關(guān)，β1，β2線性無關(guān)．9.

證明：存在非零3維向量ξ，ξ既可由α1，α2線性表出，也可由β1，β2線性表出；正確答案：[證]因α1，α2，β1，β2均是3維向量，4個3維向量必線性相關(guān)，由定義知，存在不全為零的數(shù)k1，k2，λ1，λ2，使得

k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，

得k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2．

取ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2，

若ξ=0，則k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2=0．

因α1，α2線性無關(guān)，β1，β2也線性無關(guān)，從而得出k1=k2=0，且λ1=λ2=0，這和4個3維向量必線性相關(guān)矛盾，故ξ≠0．ξ即為所求的既可由α1，α2線性表出，也可由β1，β2線性表出的非零向量．

10.

若α1=(1，-2，3)T，α2=(2，1，1)T，β1=(-2，1，4)T，β2=(-5，3，5)T．求既可由α1，α2線性表出，也可由β1，β2線性表出的所有非零向量ξ．正確答案：[解]設(shè)ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2，則得齊次線性方程組k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0．將α2，α2，β2，β2合并成矩陣，并作初等行變換得

解得

(k1，k2，λ1，λ2)=k(-1,2，-1,1)．

故既可由α1，α2線性表出，又可以由β1，β2線性表出的所有非零向量為

其中k是任意的非零常數(shù)

(或其中k是任意的非零常數(shù))．

11.

設(shè)A，B是n階矩陣，A有特征值λ=1，2，…，n．證明：AB和BA有相同的特征值，且AB～BA；正確答案：[證]因為A有n個互不相同的非零特征值λ=1，2，…，n，|A|=n!≠0，故A為可逆矩陣，從而有

|λE-AB|=|A(λA-1-B)|=|A||λE-BA||A-1|=|λE-BA|，

即AB和BA有相同的特征多項式，故有相同的特征值．

又若取可逆矩陣P=A，則有P-1ABP=A-1ABA=BA，故有AB～BA．

12.

對一般的n階矩陣A，B，證明AB和BA有相同的特征值，并請問是否必有AB～BA?說明理由．正確答案：[證]若AB有特征值λ=