安徽省阜陽市北外附屬新華外國語高級中學2025屆高三上學期第一次段考數學試卷（解析版）

2024-2025學年度北外新華高三年級第一學期第一次段考數學試卷一、單選題共8題共40分1.若集合，，則（）A. B.[0，1]C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，，再求其并集即可．【詳解】由，得，故，由，得，故，故．故選：D．2.下列函數中，既為偶函數，又在（0，+∞）上為增函數的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要判斷函數是否為偶函數，只要檢驗f（-x）=f（x）是否成立即可；然后再根據函數單調性的定義進行判斷即可．【詳解】A：，f（-x）=-x-為奇函數，不符合條件；B：y=f（x）=2-x2，f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），為偶函數，但是在（0，+∞）上單調遞減，不符合題意；C：y=x2+log2|x|，f（-x）=（-x）2+log2|-x|=f（x）為偶函數，且x＞0時，f（x）=x2+log2x在（0，+∞），上單調遞增，符合題意；D：y=2|x|-x2滿足f（-x）=f（x），即為偶函數，但是在（0，+∞）有，不是單調遞增，不符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查了函數的單調性及奇偶性的定義的簡單應用，屬于基礎試題．3.函數與的圖象關于直線對稱，則的單調遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】由條件求得，利用復合函數的單調性同增異減即可得解.【解答】由題意可得函數，則令，求得，故的定義域為，根據復合函數單調性同增異減可知，即轉化為求函數在上的減區(qū)間.所以由二次函數的性質可得函數在上的減區(qū)間為，故選：B.4.已知函數為定義在上的奇函數，對于任意的，且，都有，，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給出的條件求出函數在上的單調性，根據奇偶性求出上的單調性以及零點，進而求出的解集.【詳解】解：由題意函數中，，為奇函數，∴，∵對于任意的，且，都有，∴函數在上單調遞增，在上單調遞增，當時，若，則；若，則，此時.故選：D.5.已知定義在上的函數滿足，則曲線在點處的切線方程為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用方程組法求出函數解析式，然后利用導數求切線斜率，由點斜式可得切線方程.【詳解】因為，所以，聯立可解得，所以，所以.所以曲線y=fx在點處的切線方程為故所求的切線方程為.故選：C.6.已知正實數，滿足，則最大值為（）A. B.1 C.2 D.9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因為，所以,所以，即所以，解得，當且僅當，解得或時等號成立，所以當時有最大值為9.故選:D.7.心形代表浪漫的愛情，人們用它來向所愛之人表達愛意.一心形作為建筑立面造型，呈現出優(yōu)雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，營造出一個精神和自然聚合的空間.圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數的圖象構成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據奇偶性和最值排除錯誤答案即可.【詳解】A選項：，故A錯誤；B選項：記，則，故為奇函數，不符合題意，故B錯誤；C選項：記，則，故為偶函數，當時，，此函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，故C正確；D選項：記，則，故既不是奇函數也不是偶函數，不符合題意，故D錯誤.故選：C.8.已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】，構造函數，利用作差法比較函數的大小確定函數值的大小.【詳解】構造函數，令，，則所以在單增，所以，所以，所以，所以.令,，，所以在為減函數，所以，所以，所以，所以，所以.故選：D.【點睛】方法點睛：比較幾個數值的大小可以將這些數值看作幾個函數的函數值，通過比較函數在某個區(qū)間內的大小確定函數值的大小.函數比較大小可以用導數研究單調性來確定，還可以借助于函數不等式、切線不等式放縮等手段比大小.二、多選題共3題共18分9.下列說法正確的是（）A.函數（且）的圖象恒過定點B.若命題“”為真命題，則實數的取值范圍是C.將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象D.的零點所在的一個區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據對數函數的定義即可求解；對B，由二次函數的性質可判斷；對C，根據三角函數的平移原則即可判斷；對D，根據函數單調性結合零點存在性定理即可判斷.【詳解】對于A，令，解得，，所以恒過定點，故選項A正確；對于B，因為，，為真命題，則，解得，故B錯誤；對于C，函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，故C正確；對于D，因為在上均單調遞增，則在上單調遞增，又，，則根據零點存在性定理知其零點所在的一個區(qū)間為，故D正確.故選：ACD10.若函數既有極大值也有極小值，則（）．A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出函數的導數，由已知可得在上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數的定義域為，求導得，因為函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD11.已知函數，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（）A. B.為偶函數C.的周期為4 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據及得，通過賦值，結合判斷A；根據題意結合偶函數判斷B；通過賦值根據周期函數的定義判斷C；根據函數的周期為6，并且結合及賦值法求得，進而求和判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：根據及得，令，，可得，且，可得，令，則，則，即，可知為偶函數，故B正確；對于C：令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C錯誤；對于D：因為，且，，令，，可得，所以，則，，，，所以，又周期為6，所以，故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中根據問題的條件通過變換函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題.三、填空題共3題共15分12.計算：________.【答案】【解析】【分析】根據對數的運算法則即可計算.【詳解】原式.故答案為：.13.已知函數，函數，若對任意，存在，使得，則實數m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題可得，利用導數求函數的最值問題即得.【詳解】由題意得由題可得，時，故在上單調遞增，，由題可得，時，時，故在上單調遞增，在上單調遞減，，，即，解得故答案為：.14.已知函數，函數，若函數恰有三個零點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導數分析函數的單調性，作出函數的大致圖象，令gx=0可得，或，由條件結合圖象可得的取值范圍.【詳解】當時，，所以，當時，f'x<0，函數在上單調遞減，當時，f'x>0，函數在上單調遞增，且，，，當時，，當時，，當時，與一次函數相比，函數增長速度更快，從而，當時，，所以，當時，f'x>0，函數在上單調遞增，當時，f'x<0，函數在上單調遞減，且，，當時，，當時，，當時，與對數函數相比，一次函數增長速度更快，從而，當，且時，，根據以上信息，可作出函數的大致圖象如下：函數的零點個數與方程的解的個數一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數與方程解的個數相等，而方程的解的個數與函數y=fx的圖象與函數由圖可知：當時，函數y=fx的圖象與函數的圖象有3個交點故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.四、解答題共5題共77分15.已知集合，且.（1）若“命題，”是真命題，求實數的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由命題是真命題，可知，又，可得的取值范圍；（2）由是的充分不必要條件,得是的真子集，又，可得的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以命題是真命題，可知，因為，，，,故的取值范圍是.【小問2詳解】若是的充分不必要條件,得是的真子集，，，解得，故的取值范圍是.16.已知函數滿足．（1）求證：周期函數（2）若，求的值．（3）若時，，試求，時，函數的解析式．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意條件推出，得到函數的周期；（2）由（1）中的函數周期得到；（3）根據函數的周期和時的函數解析式，求出時的函數解析式，再由函數周期及，求出時的函數解析式，得到答案.【小問1詳解】證明：由題意知，則．用代替x得，故是周期為4的周期函數．【小問2詳解】若，則．【小問3詳解】當時，，則，又周期為4，所以．當時，，則，根據周期為4，則．又，所以．所以解析式為17.在國家大力發(fā)展新能源汽車產業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛，2023年底新能源汽車保有量為3375輛．（1）設從2021年底起經過年后新能源汽車保有量為輛，根據以上數據，試從且和且兩種函數模型中選擇一個最恰當的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢，并說明理由，求出新能源汽車保有量關于的函數關系式；（2）2021年底該地區(qū)傳統能源汽車保有量為50000輛，且傳統能源汽車保有量每年下降，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統能源汽車保有量．（參考數據：）【答案】（1）應選函數模型是且，理由見解析，（2）2030年底【解析】【分析】（1）由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，所以應該選擇指數模型，然后將和代入函數中可求出，從而可求得關于的函數關系式；（2）設從2021年底起經過年后傳統能源汽車保有量為輛，則有，由題意得，化簡后兩邊取對數可求得結果.【小問1詳解】由于新能源汽車保有量每年增長得越來越快，因此應該選擇指數模型，應選函數模型是且，由題意得，解得，所以．【小問2詳解】設從2021年底起經過年后傳統能源汽車保有量為輛，則有，令，即，化簡得，解得，故從2021年底起經過9年后，即2030年底新能源汽車的保有量將超過傳統能源汽車的保有量．18.已知函數．（1）討論的單調性；（2）證明：．【答案】（1）答案見解析（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）先求定義域，再求導，分，，和四種情況，求出函數的單調性；（2）變形得到，構造，定義域為，求導，結合零點存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到的單調性和最小值，求出最小值.【小問1詳解】的定義域為，故，若時，令得，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，當時，若時，，故在上單調遞增，若時，，令得或，令得，故在，上單調遞增，在上單調遞減；若時，，令得或，令得，故在，上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】，即，令，定義域為，，其在上單調遞增，又，，由零點存在性定理得，存在唯一的，使得，即，故，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故在處取得極小值，也是最小值，其中，兩邊取對數得，故，所以，證畢.【點睛】關鍵點點睛：由導函數的單調性和零點存在性定理得到，存在唯一的，使得，故，并求出的最小值，證明出不等式.19.設函數的定義域為.給定閉區(qū)間，若存在，使得對于任意，①均有，則記；②均有，則記.（1）設，求；（2）設.若對于任意，均有，求的取值范圍；（3）已知對于任意?與均存在.證明：“為上的增函數或減函數”的充要條件為“對于任意兩個不同的?與中至少一個成立”.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）通過導數求函數在區(qū)間單調性即可；（2）通過導數確定函數的單調性及極值，以及是在處的切線，在分類討論和即可；（3）根據充要條件證明步驟，必要性、充分性分開證明即可.【小問1詳解】因為時，恒成立，故在上為嚴格增函數，因此.【小問2詳解】因為，而，因為，故是在處的切線而存極值點，而，可得到如下情況：

極小值極大值情況一：當時，此時，此時，不符題意舍去.情況二：當時，此時與在上均為嚴格增函數，因此當時，恒成立，因此，而在上成立，進而，故.【小問3詳解】先證明必要性：若為上的嚴格增函數，則任取，，因為，所以或或或，因為為上的嚴格增函數，所以可得：或或或，所以不難可得：，所以或成立.同時對為上的嚴格減函數，同理可證.下面證明充分性：當與其中一式成立時，不可能為常值函數，先任取，總有或，假設存在，使得，記，則，因為存在，則或，不妨設，則，否則當，此時，矛盾，進而可得，則，因此