數(shù)學(xué)八年級湘教版上冊第三章實數(shù)電子課件

實數(shù)本章內(nèi)容第3章平方根本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.1動腦筋

某家庭在裝修兒童房時需鋪地墊10.8m2，剛好用去正方形的地墊30塊.

你能算出每塊地墊的邊長是多少嗎？？每塊正方形地墊的面積是10.8÷30=0.36(m2).即邊長×邊長=0.36.由于0.62=0.36，

因此面積為0.36m2的正方形地墊的邊長是0.6m.

在實際問題中，有時要找一個數(shù)，使它的平方等于給定的數(shù).由此我們抽象出下述概念：

如果有一個數(shù)r，使得r2=a，那么我們把r叫作a的一個平方根，也叫作二次方根.0.32=0.09結(jié)論

若r2=a，則r是a的一個平方根.結(jié)論

例如，由于22=4，因此2是4的一個平方根.探究

4的平方根除了2以外，還有其他的數(shù)嗎？

為什么-2也是4的平方根？因為(-2)2=4，因此-2也是4的一個平方根.

除了2和-2以外，4的平方根還有其他的數(shù)嗎？

除了2和-2以外，4的平方根還有其他的數(shù)嗎？

因為邊長大于2的正方形，它的面積一定大于4，所以，比2大的數(shù)都不是4的平方根.邊長為2邊長為4<邊長為1>

邊長小于2的正方形，它的面積一定小于4，因此，比2小的正數(shù)都不是4的平方根.邊長為2類似地，

由于(-b)2=b2，因此，-2以外的負數(shù)都不是4的平方根.

顯然0不是4的平方根.

所以，4的平方根有且只有兩個：2與-2.

如果r是正數(shù)a的一個平方根，那么a的平方根有且只有兩個：r與-r.結(jié)論

我們把a的正平方根叫作a的算術(shù)平方根，記作，讀作“根號a”；

這樣，正數(shù)a的平方根可以用“

”來表示.

把a的負平方根記作，讀作“負根號a”.例如，4的平方根是2與-2，即零的平方根是多少？負數(shù)有平方根嗎？說一說

由于02=0，而非零數(shù)的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.我們把0的平方根也叫作0的算術(shù)平方根，記作，即.

由于同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，且02=0，即在迄今為止我們所認識的數(shù)中，任何一個數(shù)的平方都不會是負數(shù)，因此負數(shù)沒有平方根.

求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫作開平方.

開平方與平方互為逆運算，根據(jù)這種關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方根.+1-1+2-2+3-3149開平方平方舉例例1

分別求下列各數(shù)的平方根：

36，，1.21.解

由于62=36，

因此36的平方根是6與-6.36是正數(shù)（1）36

有兩個平方根

即解（2）

由于

2=，有兩個平方根

因此

的平方根是與.解

由于1.12=1.21，有兩個平方根（3）1.21

因此1.21的平方根是1.1與-1.1.即即舉例例2

分別求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

100，，0.49.解

由于102=100，（1）100

算術(shù)平方根就是正平方根

因此；解（2）

由于

2=，算術(shù)平方根就是正平方根.解

由于0.72=0.49，算術(shù)平方根就是正平方根.（3）0.49

因此；

因此.練習(xí)1.分別求64，，6.25的平方根.解

由于82=64

所以64的平方根是8與-8.（1）64

由于

所以

的平方根是

與

.（2）

由于82.52=6.25

所以6.25的平方根是2.5與-2.5.（3）6.252.分別求81，，0.16的算術(shù)平方根.

由于

因此

.（2）解

由于92=81

因此.（1）81

由于0.42=0.16

因此.（3）0.163.判斷下列說法是否正確.正確.（4）(-4)2的平方根是-4.（1）

是的一個平方根；（2）

是6的算術(shù)平方根；（3）

的值是±4；正確.不正確.不正確，是±4.做一做

將一個長為4cm，寬為2cm的長方形紙片剪拼成一個正方形.

最后得到的這個正方形的面積是多少呢？它的邊長是整數(shù)嗎？正方形的面積為8cm2，由于22=4，32=9，又4＜8＜9，且面積較大的正方形的邊長也較大，因此面積為8cm2的正方形的邊長不是整數(shù).

最后得到的這個正方形的面積是多少呢？它的邊長是整數(shù)嗎？動腦筋觀察下列結(jié)果：

2.82=7.84，2.92=8.41；

2.822=7.95242.832=8.00892.8282=7.9975842.8292=8.003241……

從上述數(shù)據(jù)，你能猜出面積為8的正方形的邊長是多少嗎？

面積為8的正方形，它的邊長應(yīng)該比2.828大，比2.829小，……結(jié)論

由此猜想，面積為8cm2的正方形，它的邊長是一個小數(shù)點后面的位數(shù)可以不斷增加的小數(shù).

事實上，我們可以說明這個邊長不是分數(shù)，從而它既不是有限小數(shù)，也不是無限循環(huán)小數(shù)，這種小數(shù)叫作無限不循環(huán)小數(shù).

我們把無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).小提示

由于正方形的邊長的平方等于它的面積，因此面積為8cm2的正方形的邊長可以記作cm.

從上述分析知道，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，即是一個無理數(shù).

圓周率

…，也是一個無理數(shù).與有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負之分，

…，…，…都是無理數(shù).例如，，，是正無理數(shù)，

，，是負無理數(shù).

根據(jù)實際需要，我們往往用一個有限小數(shù)來近似地表示一個無理數(shù).

例如…，用四舍五入法，分別取到小數(shù)點后面第二位，第三位，…，得到，，…，我們稱3.14，3.142是的精確到小數(shù)點后面第二位，第三位的近似值.

3.14，3.142，3.1416，…都是的近似值，稱它們?yōu)榻茢?shù).

利用計算器可以求一個正數(shù)的算術(shù)平方根或它的近似值.小提示

我們可以用計算器求一個正數(shù)a的平方根，其操作方法是按順序進行按鍵輸入：舉例例3用計算器求下列各式的值.1.用計算器求下列各式的值：解練習(xí)2.面積為6cm2的正方形，它的邊長是多少？

用計算器求邊長的近似值（精確到0.001cm）？

正方形的面積是6cm2，因此它的邊長為

cm.解用計算器計算：顯示2.4494897所以，3.用計算器分別求，，，，的近似值（精確到0.001）.解中考試題例1

9的算術(shù)平方根是（）.A.-3

B.3C.±3

D.81B解

因為32=9，所以9的算術(shù)平方根是3.

即.

故，應(yīng)選擇B.中考試題例2

4的平方根是

.±2解

因為(±2)2=4，所以4的平方根是±2.

即.

故，答案是±2.中考試題例3

若2m-4與3m-1是同一個數(shù)的平方根，則m為().A.-3B.1C.-3或1D.-1C解

依題意，得(2m-4)+(3m-1)=0,解之，得m=1.或2m-4=3m-1.解之，得m=-3.故，應(yīng)選擇C.

根據(jù)平方根的性質(zhì)，一個正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本題隱含一個條件，也就是說，2m-4與3m-1也可能是其中的一個平方根，即2m-4=3m-1.分析立方根本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.2

如圖，一個正方形的體積為8cm3，它的棱長是多少？

由于23=8，因此體積為8cm3的正方體，它的棱長是2cm.？說一說

在實際問題中，有時要找一個數(shù)，使它的立方等于給定的數(shù).由此我們抽象出下述概念：

如果一個數(shù)b，使得b3=a，那么我們把b叫作a的一個立方根，也叫作三次方根.a的立方根記作

，讀作“立方根號a”或“三次根號a”．由于(-2)3=-8，因此-2是-8的一個立方根，即

例如，由于23=8，因此2是8的一個立方根，即求一個數(shù)的立方根的運算，叫作開立方.

開立方與立方也互為逆運算，根據(jù)這種關(guān)系，可以求一個數(shù)的立方根.+3-3+5-527-27125-125開立方立方

例1

求下列各數(shù)的立方根：

1，

，0，-0.064舉例（1）1

由于

13=1，

因此.

因此.解

由于

，解（2）（3）0

因此.（4）-0.064

因此.

由于

03=0，解

由于

(-0.4)3=-0.064，解

一般地，在迄今為止我們所認識的數(shù)中，每一個數(shù)有且只有一個立方根；

一個正數(shù)有一個正的立方根，一個負數(shù)有一個負的立方根，0的立方根是0.

利用計算器可以求一個數(shù)的立方根或它的近似值.舉例例2

用計算器求下列各數(shù)的立方根:343，-1.331.

按鍵顯示：7

所以.

解（1）343

按鍵顯示：-1.1

所以.

（2）-1.331

解實際上，許多有理數(shù)的立方根都是無理數(shù)，但我們可以用有理數(shù)來近似地表示它們.如，，…都是無理數(shù)，

例3用計算器求的近似值（精確到0.001）.舉例按鍵解顯示：1.25992105所以，.

練習(xí)1.

求下列各數(shù)的立方根：

1，，-0.125.解2.

用計算器求下列各數(shù)的立方根：

-1000，216，-3.375.

解3.用計算器求下列各數(shù)的近似值（精確到0.001）解中考試題例1

一個數(shù)的平方等于64，則這個數(shù)的立方根是

.±2解

因為(±8)2=64,所以這個數(shù)為±8.所以這個數(shù)的立方根為.故，應(yīng)填寫±2.中考試題例2

有下列說法：①有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；②不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)；③負數(shù)沒有立方根；④是17的平方根.其中正確的有().A.0個

B.1個

C.2個

D.3個B解

①應(yīng)改為實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；②不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，如π是無理數(shù)；③負數(shù)的立方根為負數(shù)；都是17的平方根，只有④正確.故，應(yīng)選擇B.中考試題例3

下列算式：①；②；③；④

.其中正確的有().A.0個

B.1個

C.2個

D.3個B解因為，所以①錯；因為中被開方數(shù)是負數(shù)，所以②錯；因為，所以③正確；因為，所以④錯.故，應(yīng)選擇B.實數(shù)本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.3下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？說一說

是有理數(shù).

是無理數(shù).，0，1.414，，，，，0.1010010001…（相鄰兩個1之間逐次增加一個0）

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).結(jié)論結(jié)論

實數(shù)

有理數(shù)

無理數(shù)

整數(shù)

分數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）

在七年級上冊我們已經(jīng)學(xué)過：任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示，那么無理數(shù)是否也可以用數(shù)軸上的點來表示呢？-2-1012345試一試：

你能在數(shù)軸上表示出嗎？

事實上：每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示.因此綜上所述可知：

每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示.結(jié)論反過來，還可以說明：結(jié)論

數(shù)軸上每一個點都表示唯一的一個實數(shù).

實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng).結(jié)論上面兩個結(jié)論合起來可以簡潔地說成：小提示

實數(shù)分為正實數(shù)、零、負實數(shù).

與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，規(guī)定正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0.原點0正實數(shù)負實數(shù)

數(shù)軸上表示正實數(shù)的點在原點右邊，表示負實數(shù)的點在原點左邊.

與有理數(shù)一樣，如果兩個實數(shù)只有符號不同，那么其中的一個數(shù)叫作另一個數(shù)的相反數(shù)，也說它們互為相反數(shù).

例如，和-互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.我們把實數(shù)a的相反數(shù)記作-a.

例如，

在數(shù)軸上，實數(shù)的絕對值意義也與有理數(shù)一樣：

正實數(shù)的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.

設(shè)a表示一個實數(shù)，則｜a｜=a，當a>0時，0，當a=0時，-a，當a<

0時.舉例

例1求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對值:解：由絕對值的意義得：練習(xí)1.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的框內(nèi)：有理數(shù)…無理數(shù)…2.求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對值：解：3.判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）.（1）任何一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)；（）（2）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（）（3）實數(shù)可以分為正實數(shù)和負實數(shù)兩類.（）√××

把數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)也可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且非負數(shù)可以進行開平方運算，任意實數(shù)都可以進行開立方運算.

在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則、運算律等，對于實數(shù)仍然成立.做一做填空：設(shè)a，b，c是任意實數(shù)，則（1）a+b=

（加法交換律）；（2）(a+b)+c=

（加法結(jié)合律）；（3）a+0=0+a=

；（4）a+(-a)=(-a)+a=

；（5）ab=

（乘法交換律）；（6）(ab)c=

（乘法結(jié)合律）；b+aa+(b+c)a0baa(bc)（7）

1·a=a·1=

；（8）a(b+c)=

（乘法對于加法的分配律），

(b+c)a=

（乘法對于加法的分配律）；（9）實數(shù)的減法運算規(guī)定為a-b=a+

；（10）對于每一個非零實數(shù)a，存在一個實數(shù)b，滿足

a·b=b·a=1，我們把b叫作a的＿＿＿＿＿＿＿＿；（11）實數(shù)的除法運算（除數(shù)b≠0），規(guī)定為

a÷b=

a·

；（12）實數(shù)有一條重要性質(zhì)：如果a≠0，b≠0，那么ab＿＿＿＿＿0.a

ab+acba+ca(-b)倒數(shù)≠

實數(shù)也可以比較大?。簩τ趯崝?shù)a，b，如果a-b>0，則稱a大于b（或者b小于a），記作a>b（或b<a）；小提示

同樣地，如果a-b<0，則稱a小于b，記住a<b.

正實數(shù)大于一切負實數(shù)；兩個負實數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小.

從而數(shù)軸上右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.原點0正實數(shù)負實數(shù)<

每個正實數(shù)有且只有兩個平方根，它們互為相反數(shù).結(jié)論

0的平方根是0.

在實數(shù)范圍內(nèi)，負實數(shù)沒有平方根.

在實數(shù)范圍內(nèi)，每個實數(shù)a有且只有一個立方根.

前面所學(xué)的有關(guān)數(shù)、式、方程（組）的性質(zhì)、法則和解法，對于實數(shù)仍然成立.舉例

例2計算下列各式的值：解：舉例例3用計算器計算：（精確到小數(shù)點后面第二位）.解按鍵：顯示：3.16227766.精確到小數(shù)點后面第二位得：3.16.

在實數(shù)運算中，如果遇到無理數(shù)，并且需要求出結(jié)果的近似值時，可按要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)代替無理數(shù)，再進行計算.動腦筋不用計算器，與2比較哪個大？與3比較呢？

，2可以看作分別是面積為5，4的正方形的邊長，容易說明：面積較大的正方形，它的邊長也較大因此同樣，因為5<9，所以練習(xí)1.計算：解(1)4.(2)-2.2.用計算器計算（精確到0.01）：（1）；（2）；（3）.（1）解用計算器計算，所