滬教版 九年級數(shù)學 二次函數(shù)與一元二次方程

華二久函數(shù)與一元二為方程呈

售課前刪忒

【題目】課前測試

已知拋物線y=(m-1)x2+(m-2)x-1.

(1)當m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？

(2)若拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C(0,-1)，且，ABC=2,求m的值.

【答案】(l)m/O且mwl;(2)m=總或m=w.

53

【解析】

分析：(1)根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系，將拋物線與x軸的交點問題轉(zhuǎn)化為根的

判別式，列出不等式解答.

(2)利用根與系數(shù)的關系求得線段AB的長度，然后由三角形的面積公式列出關于m的方

程，通過解放方程求得m的值.

解：(1)1,拋物線與x軸有兩個交點，

：4>0,且m-I/O,

/.(m-2)2-4x(m-1)(-1)>0m/1,

整理得m2>0且mwl,

解得m/O且m/1.

故m，O且mwl時，拋物線與x軸有兩個交點;

(2)設人短，0),B(b,O).則

.2~in?1

a+b=--,ab=--.

mTIF

貝（JAB=|a-b|R（a+b）2_《ab=J得產(chǎn)一4x±=|"|

所以看AB9C=4X|4X1=2,

zdIF

解得|11=言或|11=言.

【總結】此題考查了拋物線與x軸的交點，注意：二次函數(shù)與一元二次方程的關系，還考查

了一元二次方程根的判別式，難度不大，是基礎題.

【難度】3

【題目】課前測試

已知：關于x的函數(shù)y=kx2+k2x-2的圖象與y軸交于點C,

（1）當k=-2時，求圖象與x軸的公共點個數(shù)；

（2）若圖象與x軸有一個交點為A,當AAOC是等腰三角形時，求k的值.

【答案】（1）一個；（2）1＜的值為-1+y或-1-&或1.

【解析】

分析：（1）A=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點（或者把k=2代入函數(shù)關系，直

接求得拋物線與x軸的交點橫坐標）；

（2）根據(jù)AAOC是等腰直角三角形易求點A的坐標為（2,0）或（-2,0）.把點A的

坐標代入函數(shù)解析式，通過方程來求k的值；

解（1）方法一：當k=-2時，函數(shù)為y=-2x2+4x-2,

?.b2-4ac=42-4x（-2）x（-2）=0

二圖象與x軸公共點只有一個.

方法二：當k=-2時，函數(shù)為y=-2x2+4x-2,

令y=0,則-2x2+4x-2=0,

解得:X1=X2=1,

二圖象與X軸公共點只有一個；

（2）當AAOC是等腰三角形時,

?.zAOC=90°,0C=2,

..可得OA=OC=2

.?點A的坐標為（2,0）或（-2,0）.

把x=2,y=0代入解析式得2k2+4k-2=0,

解得ki=-I+V2,ki=-1-V2，

把x=-2,y=0代入解析式得-2k2+4k-2=0,

解得ki=-ki=l.

-k的值為-1+正或-1-正或1.

【總結】本題考查了拋物線與x軸的交點，等腰三角形的性質(zhì).熟悉判別式和二次函數(shù)與x

軸交點的關系是解題的關鍵.

【難度】3

翦知識史位

適用范圍滬教版，初三年級，成績中等以及中等以上

知識點概述通過本節(jié)的學習，需要掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系，會用圖象法求

一元二次方程的近似解；會求拋物線與X軸交點的坐標，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)

系；經(jīng)歷探索驗證二次函數(shù)y=ax1+bx+c(aw0)與一元二次方程的關系的過程，學會用

函數(shù)的觀點去看方程和用數(shù)形結合的思想去解決問題.

適用對象成績中等以及中等以下

;主意事項：學生主要想聽二次函數(shù)與一元二次方程的關系，包括二次函數(shù)與坐標軸交點，

求一元二次方程近似解及綜合運用等方面的內(nèi)容，這些內(nèi)容在中考時會以選擇、填空和解答

的形式來考查，難度在中等或中等偏上，需要熟練掌握.

重點選講：

「?一?一?一?一?一?一?一?一?一?一?一?一?一?一—一?一?一?一,

①二次函數(shù)與坐標軸交點

iI

②利用圖象法求一元二次方程的解

③二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應用

超知識椅起

藍is□出場鋰1：二業(yè)函數(shù)與一元二久方程的關系

?L二次函數(shù)圖象與X軸交點情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)y=。必+6x+c(ar0)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y=0,求

。必+加;+c=0中x的值的問題.此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方

程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關系如下表:

一元二次方程

判別式二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c(aw0)

ax2+bx+c=0(〃w0)

△=b-4ac

圖象與X軸的交點坐標根的情況

y

與X軸交于（再,0）,（%2,0）（再<%2）

〃〉0

O有兩個不相等的實數(shù)根

兩占且x--b￡b—ac

A>0m八、、，??兒>■）一，

iy1,22a-b±ylb2-4ac

%=2a

a<0

0此時稱拋物線與X軸相交

a>0

P4與x軸交于（一2",。）這一點,此時

°有兩個相等的實數(shù)根

△二0

yb

X\=%2=~~

_稱拋物線與X軸相切2a

a<02Aa、

o/V

\y

a>0u.

oX與x軸無交點，此時稱拋物線與X軸

A<0無實數(shù)根

-y相離

a<0c八

2.拋物線與直線的交點問題

拋物線與X軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題.我們把它延伸到求拋

物線y=加++c(aw0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)y=Ax+偽/w0)的交點問

題.

拋物線y^ax2+Z?x+c(a/0)與y軸的交點是(0,c).

拋物線y+6x+c(aH0)與一次函數(shù)y=依+偽(kH0)的交點個數(shù)由方程組

y=kx+b.1,

9的解的個數(shù)決定.

y=ax'+bx+c

當方程組有兩組不同的解時o兩函數(shù)圖象有兩個交點；

當方程組有兩組相同的解時o兩函數(shù)圖象只有一個交點；

當方程組無解時O兩函數(shù)圖象沒有交點.

總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題.

-◎-如出椅鋰2：小J用二左函數(shù)求一元二左方程的丘彳隊解

嗒用圖象法解一元二次方程—+於+c=0(aw0)的步驟：

L作二次函數(shù)丁=加+法+c(gO)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程a-+8x+c=0(a。0)的根的取值范圍.即確定拋物線

y^ax2+bx+c(a^0)與x軸交點的橫坐標的大致范圍；

I

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依

次取值，用表格的形式求出相應的y值.

4.確定一元二次方程a/+bx+c=0(a。0)的近似根.在(3)中最接近0的y值所對應的x

值即是一元二次方a/+分■+<?=0(a。0)的近似根.

i

◎to識*昭鋰3：地物線與x軸兩交點間距離公式

/?

i

I1Z

拋物線與X軸兩交點間距離公式：

當△>()時，設拋物線丁=/+法+。與x軸的兩個交點為A(X1,0),B(4,0),則苞、X2

是一元二次方程依2+區(qū)+o=0的兩個根.由根與系數(shù)的關系得不=-一，玉%2=一?

aa

.'.IABI=|%2_玉I=J(%2-%)2-Ja+%2)2-4中2

俐魅晡蟲

【題目】題型1:二次函數(shù)圖象與坐標軸交點

已知拋物線y=2(k+1)x2+4kx+2k-3,求：

(l)k為何值時，拋物線與x軸有兩個交點；

(2)k為何值時，拋物線與x軸有唯一交點；

(3)k為何值時，拋物線與x軸沒有交點.

【答案】(l)k>-3且kw-1;(2)k=-3;(3)k<-3.

【解析】

分析：(1)當判別式442-4ac>0時，且2(k+1)/0時，拋物線y=2(k+1)x2+4kx+2k

-3與x軸有兩個交點，解不等式組即可求出k的取值范圍；

(2)當判別式△=b2-4ac=0時，且2(k+1)HO時,拋物線y=2(k+1)x2+4kx+2k-

3與x軸有唯一交點，解方程與不等式即可求出k的取值范圍；

(3)當判別式442-4ac<0時，且2(k+1)N0時,拋物線y=2(k+1)x2+4kx+2k-

3與x軸沒有交點，解不等式組即可求出k的取值范圍.

解：(1)?.拋物線y=2(k+1)x2+4kx+2k-3與x軸有兩個交點，

.-.△>0,且2(k+1)H0,

(4k)2-4x2(k+1)(2k-3)>0且b-1,

整理得,k+3>0,

解得,k>-3且kN-1.

故k>-3且七-1時，拋物線與x軸有兩個交點；

(2)?:拋物線與x軸有唯一交點，

.-.△=0，且2(k+1)/0,

(4k)2-4x2(k+1)(2k-3)=0且kR-1,

整理得,k+3=0,

解得，k=-3.

故k=-3時，拋物線與x軸有唯一交點；

(3)?.拋物線與x軸無交點，

.-.△<0,且2(k+1)W0,

(4k)2-4x2(k+1)(2k-3)<0,且kw-1,

整理得,k+3<0,

解得，k<-3.

故k<-3時，拋物線與x軸沒有交點.

【總結】本題考查了拋物線與x軸的交點.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aw

0)的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系：Z\=b2-4ac決定拋物線與x軸的

交點個數(shù).-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；Zi=b2-4ac=0時，拋物線與

x軸有1個交點；△=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

【難度】3

題型1變式練習1:二次函數(shù)圖象與坐標軸交點

二次函數(shù)丫=|11乂2+(2m-1)x+m+1的圖象總在x軸的上方，m的取值范圍是.

【答案】m>1.

【解析】

分析：為了使得二次函數(shù)y=mx2+(2m-1)x+m+1的圖象總在x軸的上方，只須滿足二

次函數(shù)的拋物線開口向上且與x沒有交點即可，據(jù)此列出不等關系即可求實數(shù)m的取值范

圍.

解:?二次函數(shù)y=mx2+(2m-1)x+m+1的圖象總在x軸的上方,

m>0

△二b2-4ac<CO'

m>0

即：,

A=(2m-1)-4XmX(irr^lXO

解得：m>U,

o

故答案為：m>春.

o

【總結】本小題主要考查二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法等基礎知識，考

查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、屬于基礎題.

【難度】3

【題目】題型1變式練習2:二次函數(shù)圖象與坐標軸交點

如圖所示，二次函數(shù)y=-2x2+4x+m的圖象與x軸的一個交點為A(3,0),另一個交點

為B,且與y軸交于點C.

(1)求m的值及點B的坐標;

(2)求"ABC的面積;

(3)該二次函數(shù)圖象上有一點D(x,y)，使SAABD=S“ABC,請求出D點的坐標.

【答案】(1)m=6,B(-1,0);(2)12;(3)D點坐標為(0,6).(2,6).(1+

祈，-6)、(1-祈，-6).

【解析】

分析：(1)先把點A坐標代入解析式，求出m的值，進而求出點B的坐標;

(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點C的坐標，進而求出△ABC的面積;

(3)根據(jù)SAABD=S“ABC求出點D縱坐標的絕對值，然后分類討論，求出點D的坐標.

解：(1).,函數(shù)過A(3,0),

-18+12+m=0,

二.m=6,

.?該函數(shù)解析式為：y=-2x2+4x+6,

二當-2x2+4x+6=0時,xi=-1,X2=3,

.?.點B的坐標為(-1,0);

(2)C點坐標為(0,6),SAABC=^^=12；

(3),.-SAABD=SAABC=12,

c4X|h|一

--?SAABD=---------=12,

??|h|=6,

①當h=6時:-2x2+4x+6=6,解得:xi=0,X2=2

??.D點坐標為(0,6)或(2,6),

②當h=-6時：-2x2+4x+6=-6,解得:xi=l+b,X2=l-*歷

9點坐標為(1+祈，-6)、(1-V7,-6)

.?D點坐標為(0,6)、(2,6)、(1+祈,-6)、(1-V7,-6).

【總結】本題主要考查了拋物線與x軸交點的知識,解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)，解答(3)問需要分類討論，此題難度一般.

【難度】3

【題目】題型2:利用圖象法求一元二次方程的解

已知二次函數(shù)y=-x2-2x+2.

(1)填寫表，并在給出的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；

x...■4■3?2■1012...

(2)結合函數(shù)圖象,直接寫出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間

x...-4-3-2-1012

y...-6-1232-1-6

(2)兩個近似根在-3--2之間和0~1之間.

【解析】

分析：(1)根據(jù)函數(shù)解析式可完成表格，再根據(jù)表格中X、y的對應值可畫函數(shù)圖象；

(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標是相應的一元二次方程的解，可得一元二次方

程的近似根.

解：（1）填表如下：

x...-4-3-2-1012

y...-6-1232-1-6

(2)由圖象可知，方程-x2-2x+2=0的兩個近似根是-3~-2之間和0~1之間.

【總結】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標是

相應的一元二次方程的解.

【難度】3

【題目】題型2變式練習1:利用圖象法求一元二次方程的解

在實驗中我們常常采用利用計算機在平面直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3,

利用兩圖象交點的橫坐標來求一元二次方程x2+x-3=0的解，也可以在平面直角坐標系中

畫出拋物線y=x2-3和直線y=-x,用它們交點的橫坐標來求該方程的解.所以求方程

■1-X2+3=0的近似解也可以利用熟悉的函數(shù)和的圖象交點的橫坐標來求得.

【答案】y=《,y=x2-3.

【解析】

分析：根據(jù)在平面直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3，利用兩圖象交點的橫坐

標來求一元二次方程x2+x-3=0的解，進而得出方程旦-x2+3=0的近似解也可以利用熟悉

X

的函數(shù)的交點得出.

解：?利用計算機在平面直角坐標系中畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3,利用兩圖象交點

的橫坐標來求一元二次方程x2+x-3=0的解，也可在平面直角坐標系中畫出拋物線y=x2

-3和直線y=-x,用它們交點的橫坐標來求該方程的解.

，求方程0-x2+3=0的近似解也可以利用熟悉的函數(shù)：y=2和y=x2-3的圖象交點的橫坐

XX

標來求得.故答案為：y=|,y=x2-3.

【總結】此題主要考查了圖象法求一元二次方程的近似根，利用方程的解得出與函數(shù)的關系

是解題關鍵.

【難度】3

【題目】題型2變式練習2:利用圖象法求一元二次方程的解

關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3(a/0)的一個根為x=2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象的對稱軸是直線x=2,則該圖象的頂點坐標為.

【答案】(2,3).

【解析】

分析：由于方程ax2+bx+c=3的一個根為x=2，代入得到一個式子，然后再根據(jù)二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，得y=4a+2b+c=3,從而得到拋物線的頂點坐標.

解：..關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=2,

.,.4a+2b+c=3,

,?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,

，頂點的橫坐標為2,

將x=2代入二次函數(shù)解析式得：y=4a+2b+c

■■y=3,

.??函數(shù)的頂點坐標為:(2,3).

故答案為(2,3).

【總結】此題主要考查了一元二次方程與函數(shù)的關系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標就是方程

的根，若方程無根說明函數(shù)與x軸無交點，另外還考查的函數(shù)的對稱軸及頂點坐標.

【難度】3

【題目】題型3:二次函數(shù)與一元二次方程綜合

若xi、X2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的兩個根，則方程的兩個根xi、

X2和系數(shù)a、b、c有如下關系：xi+x=--,xi.x=-,我們把它們稱為根與系數(shù)的關系

2a2a

定理，請你參考上述定理，解答下列問題：

2

設二次函數(shù)y=ax+bx+c(a/0)的圖象與x軸的兩個交點為A(xi,0),B(x2,0).拋

物線的頂點為C,且AABC為等腰三角形.

(1)求A、B兩點之間的距離(用字母a、b、c表示)

(2)當AABC為等腰直角三角形時，求b2-4ac的值；

(3)設拋物線y=x2+kx+l與x軸的兩個交點為A、B，頂點為C,且NACB=90。，試問如

何平移此拋物線，才能使NACB=60。?

【答案】(1)Vb^~4ac.(2)4;(3)向下平移2個單位長度

|a|

【解析】

分析：(1)令二次函數(shù)解析式中y=0,根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出"xi+X2=--,xi?X2=

a

J",利用配方法即可求出|X2-Xl|的值，由此即可得出結論；

a

(2)利用配方法將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，由此即可求出點C的坐標，再根據(jù)等腰

2I2

直角三角形的性質(zhì)可得出2刈4哼b:女,利用換元解方程即可求出b2-4ac的

4a|a|

值；

(3)由(2)的結論即可得出關于k的方程，解方程即可得出拋物線的解析式，畫出函數(shù)圖

象,由此可得出若要使NACB=60。，則需把拋物線往下平移，設平移的距離為n(n>0),

則平移后的拋物線的解析式為y=x2-2yx+1-n,結合(1)(2)的結論即可得出關于n

的一元二次方程，解方程即可得出結論.

解：(1)々y=ax2+bx+c(a/0)中y=0,貝有ax2+bx+c=0,

1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^O)的圖象與x軸的兩個交點為A(xi,0),B(x2,0),

bc

-Xl+X2=----,X1*X2=一，

aa

?.|X2-X1|=J(X/X2)2-4X[X2=J(《)2-4.

2

(2)1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c=a(x+^)2+4a(^~b-,

2

l

.??點c的坐標為(-2,4a7b),

2a4a

,.?△ABC為等腰直角三角形，

.n乂|4ac-b"?_Vb2-4ac

"14a1--'

令Jb2-4ac=m，則有m2-2m=0,

解得：m=2,或m=0,

???二次函數(shù)與x軸有兩個不相同的交點,

?-m=Vb2-4ac=2，

/.b2-4ac=4.

(3)■,-zACB=90°,

.'.b2-4ac=k2-4-4,

解得：k=±20.

選k=-2正，畫出圖形，如圖所示.

若要使NACB=60。，則需把拋物線往下平移，設平移的距離為n（n>0）,則平移后的拋物

線的解析式為y=x2-2-./2X+1-n,

由（1）可知AB=4^MZ=2近用,

|a|

2

由（2）可知點C（-上，4al7b），即（正，-1-n）,

Na4a

?「△ABC為等腰三角形，且NACB=60。，

'''"yc=-7~AB,即1+D=A/3V1+r），

解得：n=-1（舍去），或n=2.

故將拋物線向下平移2個單位長度,能使NACB=60°.

【總結】本題考查了根與系數(shù)的關系、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及解一

元二次方程，解題的關鍵是：（1）利用配方法求出|X2-xi|的值；（2）利用換元法解方程；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出關于n的方程.本題解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目

時，利用等腰直角（等邊）三角形的性質(zhì)得出邊與邊的關系是關鍵.

【難度】4

【題目】題型3變式練習1:二次函數(shù)與一元二次方程綜合

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點M、N,頂點為R,若^MNR恰好是等邊

三角形，則b2-4ac=.

【答案】12.

【解析】

分析：當AMNR為等邊三角形時，解直角AMER，得RE=?ME=^MN，據(jù)此列出方程，

解方程即可求出b2-4ac的值.

解：如圖，過R作RE^MN于E.則MN=2ME.

當AMNR等邊三角形時，RE=VSME=^MN,

.b2-4acVb2-4ac

4a2a

,/b2-4ac>0,

..b2-4ac=12.

故答案是：12.

【總結】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點及根與系數(shù)的關系定理，綜合

性較強，難度中等.

【難度】4

【題目】題型3變式練習2:二次函數(shù)與一元二次方程綜合

若拋物線y=ax2+c與x軸交于點A(m,0)、B(n,0)，與y軸交于點C(0,c)，則

稱AABC為"拋物三角線”.特別地，當mnc<0時，稱^ABC為"正拋物三角形"；當mnc

>0時，稱SBC為"倒拋物三角形".那么，當△ABC為"倒拋物三角形"時，a、c應分

別滿足條件.

【答案】a>0,c<0.

【解析】

分析：根據(jù)m、n關于y軸對稱，則mn<0,則c的符號即可確定，然后根據(jù)拋物線與x

軸有交點，則可以確定開口方向，從而確定a的符號.

解：:拋物線丫=2*2+<：的對稱軸是y軸，

...A(m,0)、B(n,0)關于y軸對稱，

/.mn<0,

又,：mnc>0,

.■.c<0,即拋物線與y軸的負半軸相交，

又拋物線y=ax2+c與x軸交于點A(m,O)、B(n,0),

，函數(shù)開口向上，

.a>0.

故答案是：a>0,c<0.

【總結】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確確定二次函數(shù)的開口方向是本題的關鍵.

【難度】3

【題目】題型3變式練習3:二次函數(shù)與一元二次方程綜合

拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A、B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,且0A:

OB=1:3,OB=OC,那么a的值是.

【答案】1或-1.

【解析】

分析：此題需要分類討論：①當點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸；②點A、B均

在x軸的正半軸上時來求a的值.

解：令x=0,則y=3,即點C的坐標是(0,3)，則OC=3.

①如圖1,點A、B均在x軸的正半軸上時.

?.OA:OB=1:3,OB=OC,

.-.OA=1,OB=3,

令y=0,則ax2+bx+3=0,

.-.1,3的該方程的兩個根,

解得，a=l;

②如圖2,當點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸上時.

■.0A:OB=1:3,OB=OC,

,.OA=1,0B=3,

令y=0,則ax2+bx+3=0,

-1,3的該方程的兩個根，

03

-3=—,

a

解得，a=-1;

綜合①②知，a的值是1或-1.

故答案是：1或-1.

【總結】本題考查了拋物線與x軸的交點.解答該題時需要分類討論，以防漏解或者錯解.另

外注意數(shù)形結合數(shù)學思想的應用.

【難度】3

【題目】興趣篇1

已知：拋物線y=x2+(a-2)x-2a(a為常數(shù)，且a>0).

(1)求證：拋物線與x軸有兩個交點；

(2)設拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B(A在B左側)，與y軸的交點為C.

①當AC=2在時，求拋物線的解析式；

②將①中的拋物線沿x軸正方向平移t個單位(t>0),同時將直線I:y=3x沿y軸正方向

平移t個單位，平移后的直線為r,移動后A、B的對應點分別為A；B二當t為何值時,

在直線I'上存在點P，使得AABP為以AB為直角邊的等腰直角三角形.

【答案】(1)證明：令y=0,則x2+(a-2)x-2a=0

△=(a-2)2+8a=(a+2)2

'.a>0,

/.a+2>0

>0

方程x2+(a-2)x-2a=0有兩個不相等的實數(shù)根；

二拋物線與x軸有兩個交點

R1

(2)①y=x2-4;②1:空■或t苴.

【解析】

分析：(1)令拋物線的y值等于0，證所得方程的△>0即可；

(2)①令拋物線的解析式中y=0,通過解方程即可求出A、B的坐標,進而可得到0A的

長；易知C(0,-2a),由此可得到0C的長，在RfOAC中，根據(jù)勾股定理即可得到關

于a的方程，可據(jù)此求出a的值，即可確定拋物線的解析式；

②根據(jù)平移的性質(zhì)，可用t表示出直線I,的解析式以及A；B，的坐標；由于拋物線在向右平

移的過程中,開口大小沒有變化，因此AB的長度和AB相等，由此可得到AB的長；若△

ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形,那么可有兩種情況：

①NPA'B'=90°,此時PA'=AB;@zPB'A'=90°,此時PB'=A'B';

根據(jù)PA；PB，的表達式及AB的長，即可求出t的值.

(1)證明:令y=0,則x2+(a-2)x-2a=0

△=(a-2)2+8a=(a+2)2

'.a>0,

..a+2>0

：4>0

???方程x2+(a-2)x-2a=0有兩個不相等的實數(shù)根；

二拋物線與x軸有兩個交點

(2)①令y=0，則x2+(a-2)x-2a=0,

解方程，得X1=2,X2=-a

'.A在B左側，且a>0,

.,拋物線與x軸的兩個交點為A(-a,0),B(2,0).

?.?拋物線與y軸的交點為C,

.?.C(0,-2a)

.'.AO=a,CO=2a;

在Rt^AOC中,A02+C02=(275)2,a2+(2a)2=20,

可得a=±2;

/a>0,

：.a=2

.?拋物線的解析式為y=x2-4;

②依題意,可得直線I'的解析式為y=3x+t,A'(t-2,0),B,(t+2,0),A'B'=AB=4

???M'B'P為以AB為直角邊的等腰直角三角形，

.?.當NPAB=90。時,點P的坐標為(t-2,4)或(t-2,-4)

.-.|3(t-2)+t|=4

解得或tg

當NPB'A'=90°時,點P的坐標為(t+2,4)或(t+2,-4)

.-.|3(t+2)+t|=4

51

解得或(不合題意，舍去)

綜上所述，t="|■或t].

【總結】此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到根的判別式、勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，需注意的是在等腰直角三角形的直角頂點不確定的情

況下，要分類討論，以免漏解.

【難度】4

【題目】興趣篇2

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(2,4),頂點的橫坐標為￡,它的圖象與x軸

22

交于兩點B(xi,0)、C(X2,0)，與y軸交于點D,且XI+X2=13.試問：y軸上是否

存在點P，使得WOB與ADOC相似(。為坐標原點)？若存在，請求出過P、B兩點直線

的解析式；若不存在，請說明理由.

【答案】存在,y=2x+4或y=-2x-4或y=yx+l或y=--1或y=-3x+9

或y=3x-9或y=--^-x+1或y==x-1.

【解析】

分析：需注意的是，由于本題沒有明確B、C的位置關系，所以要分類討論；由于B、C是

拋物線與X軸的交點；根據(jù)韋達定理即可求出兩個橫坐標的和與積，進而可根據(jù)X12+X22=13

求出第一個關于拋物線系數(shù)的等量關系式；將A點坐標代入拋物線的解析式中，可得到第

二個關于拋物線系數(shù)的等量關系式；再聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求出待定系數(shù)的值，

由此可確定拋物線的解析式，進而可求出拋物線與坐標軸的交點坐標；假設拋物線上存在符

合條件的P點，使得WOB與ADOC相似，由于這兩個三角形中，NPOB=NDOC=90。，所

以要考慮到兩種情況：①APOBsADOC,②APOBsACOD;根據(jù)不同的相似三角形所得到

的不同比例線段，可求出P點的坐標，進而可用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式.

解:?.y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點B(xi,0),C(X2,0),

bc

..Xl+X2=,X1X2=一；

aa

X/X12+X22=13,即(X1+X2)2-2X1X2=13,

...(")2一2?￡=13,①

aa

4a+2b+c=4,②

b1?

W?、?/p>

解由①、②、③組成的方程組，

得a=-1,b=l,c=6;

.'.y--x2+x+6;

與x軸交點坐標為(-2,0),(3,0),

與y軸交點D坐標為(0,6);

設y軸上存在點P，使得WOBJADOC,則

(1)當B(-2,0),C(3,0),D(0,6)時，

有空年,OB=2,0c=3,OD=6;

OCOD

.QP=4;即點P坐標為(0,4)或(0,-4);

當P坐標為(0,4)時，可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx+4,

有0=2k+4，得k=2;

.-.y=2x+4;

當P點坐標為（0,-4）時，可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx-4;

有0=-2k-4,

得k=-2;

..y--2x-4

或罌嗡，°B=2,OD=6,OC=3

■■.OP=1,這時P點坐標為（0,1）或（0,-1）;

當P點坐標為（0,1）時，可設過p、B兩點直線的解析式為y=kx+l;

有0=-2k+l,

得k《.

11

?,-y=yx+l

當P點坐標為（0,-1）時，可設過p、B兩點直線的解析式為y=kx-1;

有0=-2k-1,

得k=《;

11

，y=-yx-1;

（2）當B（3,0）,C（-2,0）,D（0,6）時，同理可得

y=-3x+9或y=3x-9或丫=-b+1或y=￡x-1.

【總結】此題主要考查了根與系數(shù)的關系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形

的判定和性質(zhì)等重要知識點，要注意的是在遇到相似三角形的對應邊和對應角不明確的情況

下，一定要分類討論，以免漏解.

【難度】4

【題目】備選試題1

已知拋物線y=(x-1)2向下平移m個單位長度，與x軸有兩個交點,已知這兩個交點之

間的距離為8,則m=.

【答案】16.

【解析】

分析：根據(jù)"左加右減，上加下減"的規(guī)律寫出平移后拋物線的解析式，結合”這兩個交點

之間的距離為8"來求m的值.

解：拋物線y=(x-1產(chǎn)向下平移m個單位長度后的拋物線解析式為:y=(x-l)2-m.即

y-x2-2x+l-m.

設該拋物線與x軸的兩個交點橫坐標分別為a、b,則

a+b=2,ab=l-m,

所以8T(a+b)2-4ab=V4-4+4ro，

解得m=16.

故答案是：16.

【總結】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加

下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.

【難度】3

【題目】|

「選試題2

如圖，拋物線丫=2*2+5乂(a/0)交*軸正半軸于點A,直線y=2x經(jīng)過拋物線的頂點M.已

知該拋物線的對稱軸為直線x=2,交x軸于點B.

(1)求a,b的值.

(2)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點，且在對稱軸的右側，連接OP,BP.設點P的橫坐

.求K關于m的函數(shù)表達式及K的范圍.

【答案】

【解析】

分析：(1)根據(jù)直線y=2x求得點M(2,4),由拋物線的對稱軸及拋物線上的點M的

坐標列出關于a、b的方程組，解之可得；

(2)作PH±x軸，根據(jù)三角形的面積公式求得S=-m2+4m，根據(jù)公式可得K的解析式，

再結合點P的位置得出m的范圍，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

解：(1)將x=2代入y=2x,得：y=4,

.?點M(2,4),

［上=2

由題意，得：2a",

4a+2b=4

.lbb=4T；

(2)如圖，過點P作PH±x軸于點H,

??點P的橫坐標為m,拋物線的解析式為y=-x2+4x,

，PH=-m2+4m,

.B(2,0),

.-.OB=2,

.-，S=loB*PH

=^-x2x(-m2+4m)

=-m2+4m,

S

.-.K=—=-m+4,

m

由題意得A(4,0),

.M(2,4),

.2<m<4,

?.K隨著m的增大而減小，

.-.0<K<2.

【總結】本題主要考查拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及

一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點.

【難度】3

【題目】備選試題3

已知：如圖一次函數(shù)y=yx+l的圖象與X軸交于點A,與y軸交于點B;二次函數(shù)y=5

x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=[x+l的圖象交于B、C兩點,與x軸交于D、E兩點且D

點坐標為(1,0)

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求拋物線上存在點P,使S，BDC=SWBC,求出P點坐標(不與已知點重合)；

(3)在x軸上存在點N,平面內(nèi)存在點M，使得B、N、C、M為原點構成矩形時，請直

接寫出M點坐標.

【答案】(1)y=|x2--|x+l;(2)(3,1)或(2+祈,今反)或(2-祈，寫^)；

39

(3)(3,4)或(1,4)或(,，-2)或(,，2).

【解析】

分析：(1)先求得點B的坐標，然后將B、D的坐標代入二次函數(shù)的解析式求得b、c的

值即可

(2)過點D作y軸平行線交BC與點F,過點P作PGIIy軸，交拋物線與點G.先求得DF

131

的長，設點p(X,分2-2-X+1)，則G(x,j"X+l).可求得GP的長(用含x的式子

表示)，然后依據(jù)APBC的面積=ADBC的面積