1-2-1空間中的點(diǎn)直線與空間向量-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識梳理考點(diǎn)精講精練人教B

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量知識梳理1.點(diǎn)位置向量、直線的方向向量位置向量一般地，如果在空間中指定一點(diǎn)O，那么空間中任意一點(diǎn)P的位置，都可以由向量唯一確定，此時，通常稱為點(diǎn)P的位置向量方向向量一般地，如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量.此時，也稱向量v與直線l平行，記作v∥l2.空間中兩條直線所成的角設(shè)v1，v2分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ，則θ=<v1，v2>或θ=π-<v1，v2>，特別地，sinθ=sin<v1，v2>，cosθ=|cos<v1，v2>|;l1⊥l2?<v1，v2>=?v1·v2=0.求異面直線所成角的方法有：（1）定義法：根據(jù)定義作出異面直線所成的角（并證明），然后解三角形求出角；（2）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，用直線的方向向量的夾角求解異面直線所成的角．3.兩條異面直線的距離一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，A∈l1，B∈l2，AB⊥l1，AB⊥l2，則稱AB為l1與l2的公垂線段.并且空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一.兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的距離.空間直角坐標(biāo)系中求兩條異面直線的公垂線段的長度流程如下：利用向量共線、向量垂直條件建立方程組，求出公垂線段對應(yīng)的向量，準(zhǔn)確找出公垂線段在圖中的位置，運(yùn)用向量求出公垂線段的長度.常見考點(diǎn)考點(diǎn)一直線的方向向量典例1．若在直線上，則直線的一個方向向量為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案．【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量．故選：D．變式1-1．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為，若l1⊥l2，則m等于（

）A． B．2 C．6 D．10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方向向量垂直即可求出的值.【詳解】∵l1⊥l2，∴，即，解得m=10.故選：D.變式1-2．已知點(diǎn)，，，，則直線，的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．異面【答案】D【解析】【分析】計(jì)算、、的坐標(biāo)，由空間向量共線定理可證明選項(xiàng)A，C不正確，再證明三個向量不共面即可求證直線，不相交，即可得直線，的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，，所以，，，因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以、不共線，所以直線，不平行，不重合，故選項(xiàng)A、D不正確；假設(shè)、、三個向量共面，設(shè)，則，此方程組無解，可得、、三個向量不共面，所以直線，不相交，所以直線，異面，故選：D.變式1-3．已知直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則直線的單位方向向量為A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出直線的一個方向向量為，再求出向量的模，根據(jù)單位向量即可求解.【詳解】由題意得，直線的一個方向向量為，則，因此直線的單位方向向量為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方向向量以及單位向量的求法，考查了基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)二求異面直線的夾角典例2．如圖，在正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則異面直線DE與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】連接，則可得為異面直線DE與所成角的平面角或其補(bǔ)角，然后由題意可得DE，從而在中求解即可【詳解】解：連接，則，故為異面直線DE與所成角的平面角或其補(bǔ)角，連接，則，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，故DE，在中，因?yàn)椋?，所以在中，，故，故選：C．變式2-1．在直三棱柱中，，D，F(xiàn)，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，所以，，設(shè)與所成角為，則故選：A變式2-2．在四棱錐中，平面，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA為x軸，直線DC為y軸，直線DP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，用空間向量法求異面直線所成的角．【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA為x軸，直線DC為y軸，直線DP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，，于是，.設(shè)DB與CP所的角為，則.故選：A．變式2-3．如圖所示，在三棱錐P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點(diǎn)，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．過點(diǎn)A作AE∥CB，又CB⊥AB，則AP，AB，AE兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AE，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，?2，0)．因?yàn)镈為PB的中點(diǎn)，所以D(2，0，1)．故=(?4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===?.設(shè)異面直線PC，AD所成的角為θ，則cosθ=|cos〈，〉|=.考點(diǎn)三已知線線角求其他量典例3．已知四棱錐底面是邊長為的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，若線段上存在點(diǎn)(不含端點(diǎn))，使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先依題意建立空間直角坐標(biāo)系，用未知量設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，注意范圍，利用異面直線與成角構(gòu)建關(guān)系，解出范圍即可.【詳解】由是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，取中點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，依題意，設(shè)，，設(shè)，，故，又，異面直線與成的角，故，即，即，，故，又，故.故選：B.變式3-1．如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E為PB的中點(diǎn)，，，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，根據(jù)，得到，解方程即得的值，即得解.【詳解】設(shè)，則，，，，，AE=(-1,1,a，，的坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量所成的角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.變式3-2．已知正方體的棱長為，點(diǎn)在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式列方程求得的值，進(jìn)而可得的長.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，不妨設(shè)，易得，，，，則，．由題意得，整理可得：，解得：或（舍去），所以，，故選：A.變式3-3．已知點(diǎn)，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，，若異面直線與所成角為60°，則線段長為（

）A．3 B．6 C．6或 D．3或【答案】D【解析】先取PB的中點(diǎn)H，結(jié)合已知條件，利用中位線定理將異面直線成角轉(zhuǎn)化成平面角或，再結(jié)合余弦定理即求得線段長.【詳解】如圖，取PB的中點(diǎn)H，則由點(diǎn)，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，，故由中位線定理知，PC//HF，AB//EH，，又異面直線與所成角為60°，故HF與EH成的角或，在中，由余弦定理得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決.鞏固練習(xí)練習(xí)一直線的方向向量1．已知平面上兩點(diǎn)，則下列向量是直線的方向向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量平行的坐標(biāo)表示，以及直線的方向向量的定義可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閮牲c(diǎn)，則，又因?yàn)榕c向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.2．設(shè)的一個方向向量，的一個方向向量，若，則m等于（

）．A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】結(jié)合空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得到，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，即．故選：B.3．已知一直線經(jīng)過點(diǎn)，，下列向量中不是該直線的方向向量的為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)向量共線確定正確選項(xiàng).【詳解】由題知，，則與向量共線的非零向量均為該直線的方向向量.A選項(xiàng)中的向量與不共線，所以不是直線的方向向量.故選：A4．已知直線的方向向量，直線的方向向量，且，則值是（

）A． B．6 C．14 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】∵，∴a//b，∴，∴，，∴.故選：A．練習(xí)二求異面直線的夾角5．在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點(diǎn)，則異面直線EF與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用坐標(biāo)法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，∴，∴，即異面直線EF與所成角的余弦值為.故選：A.6．已知三棱錐中，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立空間直角直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過空間向量的夾角公式求得答案.【詳解】如圖所示：設(shè).因?yàn)?，，兩兩相互垂直，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，∴，，∴.故選：C.7．如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為長方形，，，Q為PC上一點(diǎn)，且，則異面直線AC與BQ所成的角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出后可求線線角的余弦值.【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，故，底面ABCD為長方形，故，所以DP，DC，DA兩兩互相垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，，，，所以，，設(shè)異面直線AC與BQ所成的角為，則，所以異面直線AC與BQ所成的角的余弦值為．故選：A.8．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．0 C． D．【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求出，可證，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)橹比庵?，，，，在中，由余弦定理可得：，，，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為0故選：B.練習(xí)三已知線線角求其他量9．在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E為PB的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】D【解析】由已知以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得的坐標(biāo)，由數(shù)量積公式可得答案.【詳解】由已知兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則，，連接取中點(diǎn)，連接，所以，平面，所以，所以，AE=(-1,1,由，得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積公式求得，考查了學(xué)生的空間想象力.10．四面體中，，，兩兩垂直，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，異面直線與所成角為，且，則該四面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積求夾角的公式以及棱錐的體積公式求解即可.【詳解】分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，解得：該四面體的體積為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量法求線線角以及棱錐的體積公式，屬于中檔題.11．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案