2021屆高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題1數(shù)列理含解析

1數(shù)列（理）一、典例例1．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，且，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，所以，，，解得或(舍去)，則，．（2）因?yàn)?，所以①①，得②?②，得，故．例2．已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列且首項(xiàng)，等比數(shù)列前三項(xiàng)依次為，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，或（舍），，又，，公比，．（2），，，．例3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，其中，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，，因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以．所以，化簡得，因?yàn)楣?，所以，所以，所以．?）因?yàn)?，所以，，所以，即．二、模擬練習(xí)1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，給出條件：①；②，且．若__________，請?jiān)谶@兩個(gè)條件中選一個(gè)填入上面的橫線上并解答．（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）選條件①，方法一：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得，．因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．方法二：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，．滿足，則，解得．所以，．選條件②，方法一：當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減得，即，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，又當(dāng)時(shí)，，解得．方法二：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，等比數(shù)列的公比為，且，，所以，解得．（2）由（1）可知，，即因此，．2．在①；②；③，，．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解決該問題．問題：已知數(shù)列滿足______（），若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】．【解析】若選①：因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，②①②，得，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，解得，所以．所以，所以，③，④③④，得，所以．若選②：因?yàn)?，①，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②①②，得，因?yàn)榉仙鲜?，所以對一切都成立．所以，所以，③，④③④，得，所以．若選③：由，，知數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，則，即，所以，解得，所以．所以，所以，①，②①②，得，所以．3．在①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③，，成等差數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，______．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方案一：選條件①．設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知．因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，即，又，所以，解得（舍去）或．又，所以，所以．方案二：選條件②．設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知．因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，所以，又，所以，解得（舍去）或．又，所以，所以．方案三：選條件③．設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知．因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即．又，所以，解得（舍去）或，所以，所以．（2）由（1）知，所以．4．已知數(shù)列對任意的都滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，即，又由當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）可得，所以，即數(shù)列的前項(xiàng)和為．5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中．（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由，，得，那么，以上個(gè)式子相乘，可得，，又滿足上式，所以的通項(xiàng)公式．（2）若在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則，即為，整理得，所以，，兩式相減得，所以．6．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，且，又，則，所以，則，由可得，兩式相減得，，又，所以，故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以．（2）設(shè)，記的前n項(xiàng)和為．則，，兩式相減得，，所以．7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，滿足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差是d，數(shù)列是的公比是q．由題意得，所以，所以；∴，，∴，∴．（2）由（1）知∴．8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，是與的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（