2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)期中檢測卷（中）（蘇教版2019必修第一冊）

高一數(shù)學(xué)期中檢測卷

試卷范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、指數(shù)與對數(shù)；總分：150分；難度：中等

一、單選題（共40分）

1.（本題5分）下列各等式中成立的是（）

2_2_

A?a1=>0）B?>0）

5

C,a=±\[^（a>0）D.a2=-yfa（a>0）

2.（本題5分）已知集合4={上>2},B={x\x<m},若4UB=R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍（）

A.m<2B.m<2C.m'>2D.m>2

3.（本題5分）代數(shù)式10"他9+（]g2）2+]g2x]g5+ig5的值是（）

A.90B.91C.101D.109

4.（本題5分）設(shè)xwR,則牛-1|>1”是七>3”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

5.（本題5分）命題“正方形的兩條對角線相等”的否定為（）

A.每個正方形的對角線都不相等

B.存在不是正方形的四邊形對角線不相等

C.存在對角線不相等的正方形

D.每個不是正方形的四邊形對角線都相等

6.（本題5分）已知一元二次方程儂+i=o的兩根都在（0,2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是（)

告

A.-2U[2,-K?)B.u(2,a)

C.l-2D.I-2

2

7.（本題5分）已知命題p：2x+m<0,q:x-2x-3>Of若〃是4的一個充分不必要條件，則〃?的取值范圍

是（）

A.[2收)B.(2,-Ko)C.(-oo,2)D.(YO,2]

8.（本題5分）對于任意兩個數(shù)x,y（x,ywN.）,定義某種運(yùn)算“◎”如下:

x=2m,meN.x=2m-1,meN,

①當(dāng)(或《?討.=x+y；

y=2〃,〃wN,一y=2n-\,neN

x=2m,tneN*,

②當(dāng)《

則集合A={（x,y）k?y=10}的子集個數(shù)是（)

A.2山個B.2"個C.2仁個D.2”個

二、多選題（共20分）

9.（本題5分）若集合片{小2+x-6=0},5={x|at-1=0},且S￡P(guān),則實(shí)數(shù)。的可能取值為（）

A.0B-4C.4D?1

10.（本題5分）（多選）下列計算正確的是)

10

A.B.2”g23=2

~3

2

C.5/衿=y/3D.log3(-4)=41og32

11.（本題5分）下面命題正確的是（

A.%>1”是“L<1”的充分不必要條件

B.命題“若xvl,則fvl”的否定是“存在xvl,則爐之1”.

C.設(shè)x,ycR,則“xN2且”2”是“r+丁24”的必要而不充分條件

D.設(shè)。，力eR,則“。工0”是"必工0”的必要不充分條件

12.體題5分）若x>0,y>o且滿足x+y=孫，則（）

A.x+y的最小值為4B.x+y的最小值為2

C.+的最小值為2+46D.^^+^^的最小值為6+4人

三、雙空題（共5分）

13.（本題5分）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（用幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的

重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”.設(shè)

aX）,6X）,稱空為小匕的調(diào)和平均數(shù).如圖，C為線段A8上的點(diǎn)，且AC=a,CB=b,。為AB中點(diǎn),

以A8為直徑作半圓.過點(diǎn)。作AB的垂線，交半圓于O,連結(jié)O。，ADtBD.過點(diǎn)C作。Z）的垂線，垂

足為E.則圖中線段。。的長度是&b的算術(shù)平均數(shù)學(xué)，線段8的長度是小人的幾何平均數(shù)疝，

線段___________的長度是。，力的調(diào)和平均數(shù)空，該圖形可以完美證明三者的大小關(guān)系為___________.

a+b

四、填空題（共15分）

14.5log.[log4（log5x）]=log5[log4（log3y）]=0,則x+y=（請用到字作答）.

15.（本題5分）已知正實(shí)數(shù)x,V,z滿足V+y2+z2=4,則盯+2”的最大值為.

16.（本題5分）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)100多個,

其中的一個成果是：設(shè)“￡區(qū)，則y=稱為高斯函數(shù)，5］表示不超過X的最大整數(shù)，如［1.7］=L〔-1⑵=-2,

并用"}=x-LH表示x的非負(fù)純小數(shù).若方程W=1-履儀>。）有且僅有4個實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)上的取值范

圍為.

五、解答題（共70分）

17.（本題10分）化簡下列各式：

21g2+lg3

L%(2)"1._.

⑴卜/「「閨Ine+—1g0.364--lg16

x-3

?體題12分）設(shè)全集小R,集合A十晶<0>,B={x|x>l},C={ji\2a<x<i7+3}.

(1)求C04和AD8：

（2）若A=C=A,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

19.（本題12分）給定兩個命題，p：對任意實(shí)數(shù)x都有加+ai+l>0恒成立；q：關(guān)于4的方程/-X+〃=0

有實(shí)數(shù)根；如果命題P，夕只有一個為真，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.（本題12分）解下列一元二次不等式：or-（?+l）x+l<0（?e/?）.

21.（本題12分）佩戴口罩能起到一定預(yù)防新冠肺炎的作用，某科技企業(yè)為了滿足口罩的需求，決定開發(fā)生

產(chǎn)口罩的新機(jī)器.生產(chǎn)這種機(jī)器的月固定成本為400萬元，每生產(chǎn)”臺，另需投入成本MM（萬元），當(dāng)

月產(chǎn)量不足60臺時，〃@）=/+20%（萬元）；當(dāng)月產(chǎn)量不小于60臺時，p（x）=101x+怨^-2060（萬元）.若

每臺機(jī)器售價100萬元，且當(dāng)月生產(chǎn)的機(jī)器能全部賣完.

（1）求月利潤了（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量”（臺）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）月產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤？并求出其利潤.

22.（本題12分）若函數(shù)/⑶與g（x）對任意占e。，總存在唯一的々e。，使f（N）g（X2）=m成立，則稱/㈤

是g（x）在區(qū)間D上的“加階伴隨函數(shù)“；當(dāng)fW=g（x）時，則稱f（x）為區(qū)間D上的“加階自伴函數(shù)”.

（1）判斷f（x）=log2（f+l）是否為區(qū)間［l，"］上的"2階自伴函數(shù)”？并說明理由；

（2）若函數(shù)/（x）=4i為區(qū)間口，句（b>a>0）上的“1階自伴函數(shù)”，求竺W的最小值；

ab

4.

（3）若/（回=—^是8。尸一一2以十17在區(qū)間r［0,2］上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

參考答案

1.B

【分析】

根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的定義判斷.

【詳解】

322--1

涓=77，京="，肝="，忑，只有B正確.

故選：B.

2.D

【分析】

根據(jù)并集的定義，即集合A與集合B中的所有元素即全體實(shí)數(shù)R來求解機(jī)的范圍.

【詳解】

因?yàn)?即集合4與集合8包含了所有的實(shí)數(shù)，那么">2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

特別注意當(dāng)x=2時，是否滿足題目要求，要檢驗(yàn).

3.B

【分析】

應(yīng)用對數(shù)公式和運(yùn)算性質(zhì)即可解題.

【詳解】

原式=10"蟒+（愴2）2+愴2X愴5+愴5

=10xl0lg9+lg2（lg2+lg5）+lg5

=10x9+lg2x|gl0+lg5

=90+ig2+lg5

=90+lgl0

=90+1

=91

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)的基本運(yùn)算，要熟記對數(shù)公式和運(yùn)算法則即可.

4.B

【分析】

先求解出不等式卜-1|>1的解集，然后根據(jù)解集與x>3之間的推出關(guān)系判斷屬于何種條件.

【詳解】

因?yàn)?一1|>1,所以x>2或x〈0,

所以由卜-1|>1不能推出x>3,

但由x>3可以推出卜-1|〉1,

所以平-1|>「是“x>3”的必要不充分條件,

故選：B.

5.C

【分析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題得到答案.

【詳解】

解：命題：”正方形的兩條對角線相等“可改寫為“所有的正方形，其兩條對角線相等“是全稱命題，根據(jù)全稱

命題的否定為特稱命題，可知其否定為“有些正方形，其兩條對角線不相等”即“存在對角線不相等的正方形“

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【分析】

設(shè)/("=/+〃優(yōu)+1,根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)用的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】

設(shè)/(?=/+如+1,則二次函數(shù)f(x)=Y-處+1的兩個零點(diǎn)都在區(qū)間(0,2)內(nèi),

A=wt2-4>0

40<——<2,5

由題意，2>解得-

/(0)=1>02

/(2)=2m+5>0

因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是卜：,-2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用二次方程根的分布求參數(shù)，一般分析對應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向、判別式、對稱軸以及端

點(diǎn)函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

7.A

【分析】

先化筒命題p,q,再根據(jù)，是夕的一個充分不必要條件，由〃4求解.

【詳解】

因?yàn)槊}p：xv-4：%>3或xv-1,

又〃是9的一個充分不必要條件，

所以《47,

解得m>2,

所以"的取值范圍是⑵內(nèi))，

故選：A

8.B

【分析】

根據(jù)新定義確定集合A中元素個數(shù)后可得子集個數(shù).

【詳解】

X=1IV=3|v=5|v=7Y=9Y=2v=4

八或（"或｛V或，今或（[或｛o或｛，或

｛y=9[y=7[y=5[y=）[y=1]y=8[j=6

x=6卜=8

"或"=2，

當(dāng)，是偶數(shù)，)，是奇數(shù)時，,0X=2或{fr9=IO

所以集合A中含有11個元素，它的子集個數(shù)為2".

故選：B.

9.ABD

【分析】

分S=0,S，0兩種情況，根據(jù)子集的定義，分別求得參數(shù)值.

【詳解】

解：-6=0}={-3,2},

①S=0,a=0；

②Sw0,S=Ur=-},

a

1-1

—=-3,a=

a3

1I

廠20,〃=5；

綜上可知：實(shí)數(shù)a的可能取值組成的集合為{；,0,-g}.

_3

故選：AB1).

10.BCD

【分析】

根據(jù)根式運(yùn)算法則、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)得的運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算法則依次判斷各個選項(xiàng)可求得結(jié)果.

【詳解】

1=底=而,A錯誤；2"幅3=￡=|,R正確；

1I

I—((2\i￡

-J圾=[9，==3%=^3'C正確；

4

logs(Y)2=log?16=log32=41og32,D正確?

取選BCD

【點(diǎn)睛】

本題考查根式、指數(shù)塞運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.ABD

【分析】

由充分條件和必要條件的定義可判斷A、C、D,利用全稱命題的否定是變量詞否結(jié)論可判斷B,進(jìn)而可得

止確選項(xiàng).

【詳解】

對于A：當(dāng)時，-<1,充分性成立；當(dāng)時可得或0<0,必要性不成立，所以是4<1”

aaa

是的充分不必要條件，故選項(xiàng)A正確；

對于B：命題“若xvl,則dvl”的否定是“存在JV1,則dzi"，故選項(xiàng)B正確;

對于C：由“XN2且”2”可得出“f+y2“,,，充分性成立；但丁+產(chǎn)“得不出“戈之2且”2"，如取

x=0,y=3,滿足Y+y2>4,但不滿足“M2且”2"，必要性不成立；所以2且”2"是"+,2

的充分不必要條件，故選項(xiàng)c不正確；

對于D：當(dāng)“awO"，b=O時不能得出“而HO”，充分性不成立；當(dāng)而工0時，必要性成立，所以“〃工0”

是“曲工0”的必要不充分條件，故選項(xiàng)D1E確；

故選：ABD.

12.AD

【分析】

將x+y=母，變形為LL1,然后利用T的代換，由x+y=(x+y)己+』利用基本不等式求解；根據(jù)

%y㈠y)

々+々二6沖：2(x+2)，)=?+,再用，，i，，的代換，由4x+2y=(4x+2y〕t+1|利用基本不等式求解.

x-1y-\xy-(x+y)+\\xy)

【詳解】

因?yàn)槿?gt;0,y>0且滿足“+〉=孫，

所以，+工=1,

才y

所以x+y=(x+y)—+—1=2+—+—>2-21-^—=4,

y)xyy

當(dāng)且僅當(dāng)上即x=y=2時取等號,

%y

所以/+y的最小值為4,

因?yàn)橹难匀?/p>

=4x+2j,

所以4x+2y=（4x+2娟+,=6+^-+—>2+2空出=6+4&

\xy）xyVxy

當(dāng)且僅當(dāng)空="，即X=^+l,y=l+&時取等號,

xy2

2x4v

所以1y+'的最小值為6+4&

故選：AD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

?-2ab,t—ra+b

13.DE----<Jab<-----

a+b2

【分析】

利用射影定理判斷出調(diào)和平均數(shù)對應(yīng)的線段，根據(jù)圖象判斷算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系.

【詳解】

依題意三角形是直角三角形，CD工AR；

在直角三角形08中，CD_L0C.

由射影定理得B=ACCB=ab^>CD=x/^b,

由射影定理得CZ)2=OE.O。，即。6=。曰券=?！辏?駕,

2a+b

所以線段。石的長度是匕的調(diào)和平均數(shù)絲.

a+b

在Rt/\OCD中，DE<CD<OD，即——y<yfcib<———，

a+b2

當(dāng)a=b時，DE,CDQD重合,即華=而=字，

a+b2

所以冷瘋呼?

故答案為：DE；2空4而4空

a+b2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查基本不等式，考查中國古代數(shù)學(xué)文化.

14.706

【分析】

由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出x和y的值，即可求解.

【詳解】

因?yàn)閘og3[log4(log5x)]=log5[log4(log3y)]=0,

所以log,(logs%)=1且log4(log3y)=1,

所以log/=4且log3y=4,

所以/=54=625,y=3"=81,

所以=625+81=706,

故答案為：706.

15.2x/5

【分析】

借助均值不等式可得結(jié)果.

【詳解】

???x,九z為正實(shí)數(shù),

?if2=卜+3仔+Z?上甘+再，

xy+2yz<2>/5,當(dāng)且僅當(dāng)y===應(yīng)時，等號成.立,

工——2yz的最大值為2石.

故答案為：2石

1_J

16.

453

【分析】

作出函數(shù)7（力={@的圖象，函數(shù)y=i-E&>0）經(jīng)過定點(diǎn)尸（0,1）的直線，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】

由題意可得函數(shù)/（X）={x}在X軸的正半地的大致圖象如下圖所示,

函數(shù)了=1一日（&>0）經(jīng)過定點(diǎn)P（o,l）的直線，A（3,o）,8（4,0）,

要使方程{*="kx（k>0）有且僅有4個實(shí)數(shù)根，則直線y=1-履代>0）應(yīng)在直線

PA.之間，（含不含《?）,

所以言.〈言，解得

故答窠為：（：，:.

143J

17.（1）0；（2）1.

【分析】

（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)某的計算法則進(jìn)行計算即可；

（2）利用對數(shù)的運(yùn)算法則求解.

【詳解】

解：⑴0.064。m“二(o.43p3_^|)3-1=0.4-'1=0：

21g2+lg3=Ig4+lg3=lgl2=lg|2=1

⑵iM+；lgO.36+；lg]6=]+lgO-6+lg2\gl0+lgL2=^=.

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)事的化簡計算，考查對數(shù)式的化簡運(yùn)算，難度一般，解答時要靈活運(yùn)用指數(shù)哥及對數(shù)的運(yùn)算

法則.

18.(1)CvA={x\x<-2^x>3]fAnB={x|l<x<3}(2)a>3或一l<a<0

【分析】

(1)先解出4,然后進(jìn)行交集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可；

(2)根據(jù)題意可得CGA可討論。是否為空集，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

(1)A={x]-2<x<3},CVA=Jx|x<-2^x>3|,AcB={x|lKx<3}

(2)由4=。=4知。口4

當(dāng)2a>a+3時，即a>3時,C=0,滿足條件；

當(dāng)2a〈a+3時，即a<3時，2。>一2且。一3<3,

綜上，a>3?￡-1<a<0

【點(diǎn)睛】

本題考查描述法的定義，分式不等式的解法，交集、補(bǔ)集的運(yùn)算，以及子集的定義.

考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

19.{.|aV0或」VaV4}

【分析】

分別根據(jù)命題為真時分別求出。的取值范圍，根據(jù)p，q一個為真一個為假，卻可求相應(yīng)。的范圍即得.

【詳解】

根據(jù)題意，對于命題p,對任意實(shí)數(shù)x都有加+如+1>0恒成立,

aX)

則有。=0或

A=/-4a〈o'

解可得g，V4；

對于0關(guān)于4的方程^-1+4=0有實(shí)數(shù)根，

則有J=1-4a>0,解可得a<7,

4

又由題可知命題p和g一真一假.

0<a<4

如果p真，且夕假，則有］,解可得!<aV4,

心一4

4

aVO或a>4

如果q真，且p假，則有41,解可得。<0,

a<—

4

綜合可得：a的取值范圍為｛?|“<0或

4

20.答案見解析.

【分析】

分別討論。=0,?<o,o<a<i,。=1,時不等式解集的情況即可求解.

【詳解】

當(dāng)。=0時，原不等式可化為-x+l<0,解得：x>l,

此時不等式的解集為

當(dāng)awO時，由/-(a+Dx+lvO可得：(a￥-l)(x-l)<0,

當(dāng)a<0時，原不等式可化為卜一￡|(XT)>0,解得：工<5或工>1，

此時不等式的解集為：{x|x<：或x>l},

當(dāng)a>0時，原不等式可化為卜-￡j(x-1)<0,

當(dāng)］>1即0<4<1時，不等式的解集為kII<%<}},

當(dāng)』=1即。=1時，不等式解集為0,

a

當(dāng)5<1即0>1時，不等式的解集為卜15Vx<1卜

綜上所述：當(dāng)〃<0時，不等式的解集為(rlxvL或1>1},

當(dāng)。=0時，不等式的解集為{x|x>l},

當(dāng)0<4<1時，不等式的解集為卜|1VX<T

當(dāng)。=|時，不等式解集為0,

當(dāng),>1時，不等式的解集為卜

2

-x+80^-400,0<x<60,xG

21.(1)y=\6400(2)當(dāng)月產(chǎn)量為80臺時,該企業(yè)能獲得最大月利潤，其

1660-(x4-——),x260,xwN

x

利潤為1500萬元.

【分析】

(1)由給定函數(shù)模型結(jié)合y=100x-〃(")-400即可得解:

(2)分段討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可得解.

【詳解】

解：(1)當(dāng)0<xv60時，y=100x-(x2-20x)-400=-x2+80x-400：

當(dāng)工之60時，y=100x-^10Lv+^^-2060^-400=1660-^+^^J.

-x2+80x-400,0<x<60,xeN

:.y=<6400：

1660-(x+匯以),xN60”N

x

(2)當(dāng)0<x<60時，j=-x2+80x-400=-(x-40)2+1200,

當(dāng)x=40時，》取最大值1200萬元；

當(dāng)1260時，y=1660一(x+^卜1660一2n^^=1500,

當(dāng)且僅當(dāng)x=80時取等號；

又1200<1500,

所以當(dāng)月產(chǎn)量為80臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，其利潤為1500萬元.

答：當(dāng)月產(chǎn)量為80臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，其利潤為1500萬元.

22.(1)不是；(2)|；(3)［一夜,2-6］1］［6，2+夜］.

【分析】

(1)當(dāng)&=1,得/⑴=1,而八%)=：在［1,6］沒有實(shí)數(shù)解，根據(jù)函數(shù)的新定義，即可得出結(jié)論；

(2)由題意得任意％《小句，總存在唯一的94。,目使得4"%2=i，進(jìn)而得對任意占式小々，總存在唯

一的％e［a,0使得七=2—內(nèi)目2—"2—a］,即［2—h2—同，進(jìn)而求得a+b=2,再結(jié)合基本不等式,

即可求得生*的最小值；

ab

(3)求得函數(shù)〃力=貴在區(qū)間［0,2］的值域?yàn)椋跮2］,故g*)=V—2公+標(biāo)_］在［o,2］區(qū)間上的值域必定

包含區(qū)間［1,2］,進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求解.

【詳解】

2

(1)/(x)=log2(x+l),X電，仞，

當(dāng)3=1時,/(1)=1,再由〃1)/5)=2,

lo

得f(%)=g2(￥+1)=+1=&，

*=、5—i，w足口,V7],

故根據(jù)“2階自伴函數(shù)”定義得，

=log2(丁+1)不是區(qū)間[1,6]|-.的"2階自伴函數(shù)

(2