第15屆WMO世界數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽八年級(jí)A卷復(fù)賽含答案

WMO世界奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽（中國(guó)區(qū)）選拔賽姓名姓名年級(jí)學(xué)校準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)賽區(qū)_________父母姓名、聯(lián)系電話_、---------------------------------------裝-----------------------------訂---------------------------線----------------------------------第15屆WMO世界奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽（中國(guó)區(qū)）選拔賽---------------------------------------------------------------------------------考生須知：每位考生將獲得考卷一份?？荚嚻陂g，不得使用計(jì)算工具或手機(jī)。2.本卷共120分，選擇題每小題4分，填空題每小題5分，解答題共5小題，共50分。3.請(qǐng)將答案寫(xiě)在本卷上。考試完畢時(shí)，考卷及草稿紙會(huì)被收回。4.若計(jì)算結(jié)果是分?jǐn)?shù)，請(qǐng)化至最簡(jiǎn)。八年級(jí)地方晉級(jí)賽復(fù)賽A卷（本試卷滿分120分，考試時(shí)間90分鐘）選擇題（每小題4分，共40分）1．函數(shù)的自變量x的取值范圍是（）A．x≥0 B．x≠1且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥0且x≠2且x≠1某車由甲地等速前往丁地，如圖，過(guò)程是：自甲向東直行8分鐘至乙后，朝東偏南直行8分鐘至丙，左轉(zhuǎn)90°直行15分鐘至?。舸塑囉杉椎匕丛瓉?lái)的速度勻速向東直行可到達(dá)丁地，則此車程需要（）A．19.5分鐘 B．24分鐘 C．25分鐘 D．28分鐘3．如果等式（2x－3）x+3=1，則等式成立的x的值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．如右圖，在一條筆直的小路上有一盞路燈，晚上小雷從點(diǎn)B處徑直走到點(diǎn)A處再遠(yuǎn)離A處時(shí)，小雷在燈光照射下的影長(zhǎng)y與行走的路程x之間的函數(shù)圖象大致是（）A．B．C．D．如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)D、E、F分別是點(diǎn)P關(guān)于AB、BC、AC對(duì)稱的點(diǎn)．若△ABC的內(nèi)角∠BAC=70°，∠ABC=60°，∠ACB=50°，則∠ADB+∠BEC+∠CFA等于（）A．180° B．270° C．360° D．480°6．若實(shí)數(shù)x，y滿足x－y+1=0且1＜y＜2，化簡(jiǎn)得（）A．7 B．2x+2y－7 C．11 D．9－4y如圖，正三角形ABC的三邊表示三面鏡子，BP=AB=1，一束光線從點(diǎn)P發(fā)射至BC上R點(diǎn)，且∠BPR=60°．光線依次經(jīng)BC反射，AC反射，AB反射…一直繼續(xù)下去．當(dāng)光線第一次回到點(diǎn)P時(shí)，這束光線所經(jīng)過(guò)的路線的總長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C． D．278．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF=54°，則∠B的度數(shù)為（）A．54° B．60° C．66° D．72°第5題圖第7題圖第8題圖如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，則（m+n）與（b+c）的大小關(guān)系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．無(wú)法確定第9題圖第10題圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=x上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過(guò)點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y=x交于點(diǎn)A，且BD=2AD，連接CD，直線CD與直線y=x交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A．（，）B．（3，3） C．（，） D．（，）填空題（每小題5分，共30分）11．已知a=，b=，則代數(shù)式(a+b)2－(a－b)2的值為_(kāi)___________．12．如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)等于．13．若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是_____________．14．如圖，點(diǎn)A（1，1），B（2，－3），點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)|PA－PB|最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____________．第12題圖第14題圖第16題圖15．若a＞0，b＞0，且a≠b，a、b滿足，則=_______．16．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，BE∥AC，且DE⊥AD，若BD=2，CD=4，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)______________．解答題（共5小題，共50分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=3，y=4．（8分）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于－1，記為i2=－1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（5+i）×（3－4i）=19－17i．試一試：請(qǐng)利用學(xué)過(guò)的有關(guān)知識(shí)將化簡(jiǎn)成a+bi的形式．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB邊于點(diǎn)E，EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，連接GF，且∠1=∠2，CE與GF交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD于點(diǎn)H．求證：EM=FG+MH．（10分）某超市在端午節(jié)前兩天每天都花4000元購(gòu)進(jìn)咸肉餡和板栗餡粽子若干，已知這兩種粽子每個(gè)的進(jìn)價(jià)相同，第一天超市將咸肉餡粽子按進(jìn)價(jià)的2倍銷售，板栗餡粽子在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提價(jià)50%銷售，當(dāng)天全部售完，發(fā)現(xiàn)咸肉餡粽子銷售了1200個(gè)，共獲利3200元．（1）設(shè)這兩種粽子的進(jìn)價(jià)為每個(gè)a元，求a的值；（5分）（2）如果要求咸肉餡粽子的數(shù)量不能超過(guò)板栗餡粽子數(shù)量的60%，且按第一天的銷售價(jià)格銷售，那么銷售利潤(rùn)最多是多少元？（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為6的正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，直線y=mx+2與OC，BC兩邊分別相交于點(diǎn)D，G，以DG為邊作菱形DEFG，頂點(diǎn)E在OA邊上．（1）如圖①，當(dāng)CG=OD時(shí)，求直線DG的函數(shù)表達(dá)式；（3分）（2）如圖②，連接BF，設(shè)CG=a，△FBG的面積為S．①求S與a的函數(shù)關(guān)系式；（4分）②判斷S的值能否等于等于1？若能，求此時(shí)m的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（6分）

八年級(jí)A卷答案選擇題（每小題4分，共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A10.D3.當(dāng)x+3=0時(shí)，x=－3；當(dāng)2x－3=1時(shí)，x=2；當(dāng)x=1時(shí)，（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0，∴y=x+1，∵1＜y＜2，∴1＜x+1＜2，∴0＜x＜1，∴====|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．∵BP=AB=1，∠BPR=60°，∴PR=1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知當(dāng)光線第一次回到點(diǎn)P時(shí)，光線經(jīng)過(guò)的大致路線如圖所示，∴當(dāng)?shù)谝淮位氐近c(diǎn)P時(shí)，這束光線所經(jīng)過(guò)的路線的總長(zhǎng)為1+2+1+2+1+2=9．8.過(guò)F作FG∥AB∥CD，交BC于G．則四邊形ABGF是平行四邊形，所以AF=BG，即G是BC的中點(diǎn)；連接EG，在Rt△BEC中，EG是斜邊上的中線，則BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AE=AC，連接EP，∵AD是∠A的外角平分線，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．10.過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過(guò)D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴設(shè)AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，則2a－1=1，a=1，即BD=2．∵直線y=x，∴AB=OB=3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=2，則C的坐標(biāo)是（0，3），設(shè)直線CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=－，即直線CD的解析式是y=－x+3，即解得：，即Q的坐標(biāo)是（，）．填空題（每小題5分，共30分）11.112.13.a＜1且a≠－114.(,0)15.16.解方程得x=，∵原方程的解為正數(shù)，∴x＞0，即＞0，當(dāng)x－1=0時(shí)，x=1，代入得a=－1．此為增根，∴a≠－1，解得a＜1且a≠－1．作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連BA'，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PB|最大．由A'（1，－1）、B（2，－3）可得直線BA'的解析式為y=－2x+1，令y=0，則x=，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)．15.∵，∴a－3=2－4b，∴a－5+4b=0，∴（）（）=0，而a≠b，故=0，a=16b，原式=．16.連AE，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵BD=2，CD=4，∴BC=6，由題意得BF=CF=AF=3，DF=1，AB=，∴在Rt△ADF中AD=．設(shè)GE=GB=x，則BE=，GD=x+2，ED2=x2+（x+2）2，AE2=ED2+AD2=x2+（x+2）2+10，又在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2=2x2+（）2=2x2+18，∴x2+（x+2）2+10=2x2+18，解得x=1，∴BE=．解答題（共5小題，共50分）17.解：原式=+=+3++=2+4，當(dāng)x=3，y=4時(shí)，原式=2+4=2+8．18.解：．19.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ECF，∵EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠1，∴BC=BE，∴四邊形BCFE是菱形．∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，∴∠ECF=∠2，∴CM=FM，又∵M(jìn)H⊥CD，連接BF交CE于點(diǎn)O，∵G是BC中點(diǎn)，∴CG=CB，∵CH=CF，∴CG=CH，在△CGM和△CHM中，∴△CGM≌△CHM（SAS），∴∠CGM=∠CHM=90°，即FG⊥BC，∴CF=BF，∵BC=CF，∴BC=CF=BF，∴△BCF是等邊三角形，∴∠BFC=60°，∴∠2=∠BFG=30°，∵BF⊥CE，∴OM=MH，∵OE=OC=FG，∴EM=FG+MH．20.解：（1）設(shè)這兩種粽子的進(jìn)價(jià)為每個(gè)a元，則1.5a×+1200×2a－4000=3200，解得：a=2．（2）由（1）知粽子的進(jìn)價(jià)為每個(gè)2元，則前兩天購(gòu)進(jìn)咸肉餡和板栗餡粽子4000÷2=2000個(gè)，設(shè)利潤(rùn)為W元，銷售板栗粽子x個(gè)，咸肉餡棕售價(jià)4元/