高中數(shù)學(xué) 2.1 第1課時(shí) 合情推理練習(xí) 新人教A版選修1-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.1第1課時(shí)合情推理練習(xí)新人教A版選修1-2一、選擇題1．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32C．33 D．27[答案]B[解析]由以上各數(shù)可得每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝32.2．觀察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般結(jié)論是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[答案]B[解析]觀察各等式的構(gòu)成規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，各等式的左邊是2n－1(n∈N*)項(xiàng)的和，其首項(xiàng)為n，右邊是項(xiàng)數(shù)的平方，故第n個(gè)等式首項(xiàng)為n，共有2n－1項(xiàng)，右邊是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.3．下列哪個(gè)平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對(duì)象較合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對(duì)象較為合適．4．觀察右圖圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為()A． B．△C．? D．○[答案]A[解析]圖形涉及○、△、?三種符號(hào)；其中△與○各有3個(gè)，且各自有兩黑一白，所以缺一個(gè)黑色?符號(hào)，即應(yīng)畫(huà)上?才合適．5．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()A．eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr,2) D．不可類比[答案]C6．平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個(gè)圖中的圓的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則下列結(jié)論正確的是()①a5＝15；②數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列；③數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列；④數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an＝an－1＋n(n∈N*)．A．①②④ B．①③④C．①② D．①④[答案]D[解析]由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確．同時(shí)④正確，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯(cuò)誤，故選D.二、填空題7．對(duì)于平面幾何中的命題：“夾在兩平行線之間的平行線段的長(zhǎng)度相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到的命題是：__________________________.[答案]夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段的長(zhǎng)度相等8．(·新疆兵團(tuán)農(nóng)二師華山中學(xué)高二期末)在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四邊形中不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五邊形中eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n邊形A1A2…An中有不等式：________成立．[答案]eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)[解析]不等式的左邊是n個(gè)內(nèi)角倒數(shù)的和，右邊分子是n2，分母是(n－2)π，故在n邊形A1A2…An中有不等式eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)成立．9．(·湖南長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)、沙城一中聯(lián)考)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BD·BC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為_(kāi)_______．[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝△OBC·S△DBC[解析]將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC.三、解答題10．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)，a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1,2，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4).觀察可得，數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此猜想，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,n).一、選擇題11．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如下圖)，則第七個(gè)三角形數(shù)是()A．27 B．28C．29 D．30[答案]B[解析]后面的三角形數(shù)依次在前面的基礎(chǔ)上順次加上2,3,4,5，……，故第七個(gè)三角形數(shù)為21＋7＝28.12．如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，若按這種規(guī)律排列下去，那么第36顆珠子的顏色是()A．白色 B．黑色C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大[答案]A[解析]由圖知，這串珠子的排列規(guī)律是：每5個(gè)一組(前3個(gè)是白色珠子，后2個(gè)是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子，其顏色與第一顆珠子的顏色相同，故它的顏色一定是白色．13．(·長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝()A．eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)[答案]C[解析]將△ABC的三條邊長(zhǎng)a、b、c類比到四面體P－ABC的四個(gè)面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)eq\f(1,2)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)eq\f(1,3)，從而可知選C.證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).14．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)．比如：他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378[答案]C[解析]本題主要考查數(shù)形的有關(guān)知識(shí)．圖1中滿足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋nan＝eq\f(n·n＋1,2)，圖2中滿足bn＝n2，一個(gè)數(shù)若滿足三角形數(shù)，其必能分解成兩個(gè)相鄰自然數(shù)乘積的一半；一個(gè)數(shù)若滿足正方形數(shù)，其必為某個(gè)自然數(shù)的平方．∵1225＝352＝eq\f(49×50,2)，∴選C.二、填空題15．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為_(kāi)_______．[答案]a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9[解析]等比數(shù)列中，“乘積”類比到等差數(shù)列中“和”，故應(yīng)有結(jié)論為a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.16．(·三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)觀察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_(kāi)_______．[答案]1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)[解析]本題考查了歸納的思想方法．觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個(gè)不等式左端有n＋1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，因此第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)，所以第五個(gè)不等式為：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).三、解答題17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，計(jì)算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表達(dá)式．[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；當(dāng)n＝3時(shí)，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)；∴S3＝－eq\f(3,5)；當(dāng)n＝4時(shí)，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7).猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N*)．18．若a1、a2∈R＋，則有不等式eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))2成立，此不等式能推廣嗎？請(qǐng)你至少寫(xiě)出兩個(gè)不同類型的推廣．[解析]本例可以從a1、a2的個(gè)數(shù)以及指數(shù)上進(jìn)行推廣．第一類型：eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3),3)≥(eq\f(a1＋a2＋a3,3))2，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＋a\o\al(2,4),4)≥(eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4))2，…，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n),n)≥(eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))2；第二類型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al(3,2),2)≥(eq\f(a1＋a2,2))3，eq\f(a\o\al(4,1)＋a\o\a