平面向量的數(shù)量積（精練）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第二冊）（教師版含解析）

6.2.2平面向量的數(shù)量積（精練）

【題組一向量的數(shù)量積】

1.（2020?天水市第一中學(xué)高一期末）已知等邊3c的邊長為2,若近=3而，而=覺，則麗.通

等于（）

A.—B.---C.2D.—2

33

【答案】D

【解析】等邊△力比的邊長為2,BC=3BE^AD=DC^

：.BD=-（BA+BCYAE=AB+BE=AB+-BC=-BC-BA,

2V733

?.?麗/=；（麗+網(wǎng)心冊—麗卜*萍—麗2_|南麗）

=1xf|x4-4-|x2x2xi）,=-2.故選：D.

UUUUUU

2.（2020?陜西渭南市?高一期末）在△A/C中，。為線段的中點(diǎn)，AD=1,8C=3,則人氏AC（）

15

A.—B.---C.3D.4

34

【答案】B

【解析】???在aABC中，O為線段BC的中點(diǎn)

\Ab=-（AB^AC]——1———1—

??（2、）,可得A3=AQ?一3C,AC=AD+-BC,

\BC=AC-AB22

umuuu/uuoiuun\/uuoiui?\uuu,]uuu，5

/.ABAC=\AD--BC\\AD+-BC\=AD--BC=一彳.故選：B.

3.（2320?湖南益陽市?高一期末）在△A/C中，AB=2五,AC=x/26.G為aABC的重心，則

AGBC=_______?

【答案】6

【解析】如圖，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

丁G為5c的重心，??AG=—AD=—x]（48+AC）=—（48+4C）,5（7=AC-AB,

所以而屈=g（而+/）?（而—而）=；（而2_福2）

故答案為：6

4.（2020?黑龍江大慶市?大慶一中高一期末）如圖，在AA/C中，。是3C的中點(diǎn)，E,尸是AO上的

兩個(gè)三等分點(diǎn)且晨反=5，BFCF=-2，則潴.%的值是________.

【答案】|

8

【解析】因?yàn)辂?麗=（■!■而-而）.（」前-而）=4A?-BU=36尸Q-3函=5,

2244

______11114而2-BC2

BF?CF=（—BC一一4。）（一一BC一一AD）=---------=-2^

23234

因此而2=1,而2="，

82

2222

______1一一1一一4ED--BC-\6FD-BC~5

BE?CE=dBC-ED）.—BC-EO===2.

22448

故答案為：!

o

5.（2320?四川內(nèi)江市）在等腰中，斜邊BC=&，ABBC=a>CA=b，那么

ab+bc+ca=—

【答案】-2

【解析】由題可知在等腰5c中，斜邊5C=0，\AB=AC=1,A=^,B=C=^,

即|a|=>/2,|J=|c|=l,

/.6r-^+^-c+c-t7=|a|-|^|-cos(^-C)+0+|c|-|?|-cos(^-B)

lx&=—2.故答案為：-2.

6.（2320?北京101中學(xué)高一期末）如圖，在矩形A3CZ）中，AB=叵,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)、,

點(diǎn)尸在邊CO上，若A區(qū)通=&，則亞.麗的值是一

【答案】＞/2

【解析】:?衣=亞十方，

ABAF=AB(AD+DF^=ABAD+ABDF=ABDF=yf2^DF\=>j2f

.-.|DF|=I,|CF|=V2-I,

???^BF=(AB+BE^(BC+CF^=ABCF+BEBC

=-0(/-1)+以2=-2+0+2=收

故答案為：、傷.

7.(2020?陜西咸陽市?高一期末)已知兩個(gè)單位向量1,5的夾角為120。，3=應(yīng)+(1-1)石.若51=1,

則實(shí)數(shù)，=.

【答案】1

【解析】?.?兩個(gè)單位向量五，5的夾角為120。,

2石=Ixlx——=——，

I2J2

又3=fd+(E-1)方,a?c=\?

及《［S+(f-1)力］=?2+(/—V)ci*b=t—(Z—I)=1,

解得f=l.

故答案為：1.

8.(2320?長沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)已知非零向量7，;滿足42=3口，cos<7,G=；.若

+〃，則實(shí)數(shù)，的值為.

【答窠】-4

【解析】??,非零向量［滿足4H=3〃，cos〈7，冷=；,；，

.tm+n\=tni'n+n=t\m\\n\cos<w,zz>+177|2

￡3TT

二§xj|〃|2+|〃|2=0,解得f=-4,故答案為：-4

【題組二向量的夾角】

1.(2D20?山東臨沂市?高一期末)己知非零向量3，B，若|Z|二0|5|，且￡_!_(￡—2&,則￡與B的夾

角為()

n7Cc萬3K

A.-B.-C.一D.——

6434

【答案】B

【解析】因?yàn)椤阓1_(￡一2楊，所以7(￡-26=同2一2小萬=同2-2同忸際(萬萬)=0,

因?yàn)?21=&151,所以cos他行)=2^b\=2^［=*，re［。㈤「?@6)=.故選:B.

2.（2320?鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末）已知編b,^為單位向量，且滿足32+袪+70=0,3與萬的夾角為

則實(shí)數(shù)4=.

【答案】％二—8或4=5

【解析】由3。+16+7。=0,可得7c=-（3〃+丸歷，則49c2=9）+2峭~+64〃％?

由.層為單位向量，得了=片=片=],則49=9+萬+6丸8$。，即萬+34-40=0.

解得4=-8或；1=5.

3.（2020?浙江溫州市?高一期末）已知平面向胸，入滿足同=2,忖=?[=1,且（￡一辦0一0=5,

￡一日與2+日夾角余弦值的最小值等于.

【答案】叵

15

【解析】平面向詞,Z滿足問=2,W=6忖=1,則a=p|2=4石2=時(shí)=3,C2=|C|2=1

因?yàn)椋ā暌弧?（B_g=5

展開化簡可得々石一c（a+5）+J=5,

因?yàn)?2=慟2=1，代入化簡可得75+5）=4

設(shè)"與3+方的夾角為

則由上式可得〃出一卜|?卜+.?cos0=4

而B斗JR?可=犬|?.知/=8%不

//.A—4

代入上式化簡可得cose=/

々+22萬

令相=￡石，設(shè)3與B的夾角為a，aw[0,句，則由平面向量數(shù)量積定義可得

m=a-b=^^cosa=2y/3cosa,ifff-l<cosa<l

所以-2由

ab-4m-4

由余弦函數(shù)的值域可得|cosqK1,即|cos6|=<1

y]l+2a-bd”2m

將不等式化簡可得,?2-10/?+9<0?解不等式可得1KmV9

綜上可得14加工26，即147502G

而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知，設(shè)￡-5與￡+5夾角為夕,

1孫R+5)

則COSP=

口肝+6\ll-2ab\h+2a.6

當(dāng)分母越大時(shí)，cos/7的值越小；當(dāng)?shù)闹翟叫r(shí),分母的值越大

所以當(dāng)&?5=1時(shí),COS/的值最小

1

代入可得cos/?=

V49-4xl215

所以與￡+5夾角余弦值的最小值等于好

15

故答窠為：旦

15

4.(2320?延安市第一中學(xué)高一月考)已知向量工坂滿足同=咽=1酒+24=|￡-4

(1)求I在［上的投影;

(2)求-與。-2,夾角的余弦值.

【答案】(1)一］；(2)典.

24

【解析】⑴卜+2.=卜一.=>(a+2b)2=(a-b)2=>J+5+4b2=a2-2ab+b

2

6ab=-3b9:.ab=--,設(shè)公和B的夾角為0，

￡在加上的投影為：WCOS8=￡，=-；：

(2)設(shè)1與:一次夾角為。，

a（a-2b]a2-2ab4+1曬

\^\ci-2b\L__4￡出+昉2xj4+2+44-

5.⑵20?北京順義區(qū)?高一期末）已知平面向量入石，同=2,W=l,且M與5的夾角為

（1）求5；

（2）求卜+2.；

（3）若汗+2日與次+4（4tR）垂直，求義的值.

【答案】（1）1：⑵26；⑶4

【解析】（1）口/=同-忖卜os^=2xg=l；

（2）???卜+242=（萬+26）2=值2+45.6+452=4+4+4=12,.|^+2^|=25/3:

（3）v（a+2b^±^2a+,.,.（1+2孫（21+肪）=0,

即2^+（4+4）萬?日+2"2=8+（4+2）+24=12+3；1=0,解得：2=-4.

6.（2320?南昌市?江西師大附中高一月考）已知向量￡石滿足|￡|二|向二1,

\ka+b\=y/3\a-kb\（k>^keR）

⑴若￡//卻求實(shí)數(shù)上的值；

（2）求向量￡與B夾角的最大值.

【答案】（1）2±百：（2）

【解析】⑴因?yàn)?//。左>0,所以2萬=史1>0,則￡與否同向.

4k

因?yàn)閨a|=|坂|=1,所以〃石=1，

L2.1-1r-

即^―-=b整理得/一4左+1=0,解得欠=2土石，

4k

所以當(dāng)k=2士有時(shí),a!lb.

(2)設(shè)〃力的夾角為。

八ab-r公+1\（,\\（rr1Yc

則cos0=——=a。b=-----=—kT—I=—Ik—產(chǎn)I+2

|。||加妹4（k）4[14k）

當(dāng)"=H，即％=1時(shí)，COS。取最小值3，

乃

又owe《)，所以夕=一，

3

即向量￡與石夾角的最大值為

7.(2320?全國高一專題練習(xí))已知向量吊02，且卜1卜同=1，弓與g的夾角為m=+02，

〃=3q—2e2.

⑴求證：(2,一J_g；

(2)若同=同,求人的值;

(3)若加J_〃，求丸的值；

⑷若碗與7的夾角為與，求九的值.

【答案】(1)見解析(2)4=2或4=一3.(3)2=i(4)2=2

4

【解析】⑴證明：因?yàn)橥?同=1,I與1的夾角為?，

2

所以(2q_/)?.=2q/―/2=2k|卜2cosy-|e2|=2xlxlx-i-l=0,

所以Qi-g_L耳.

⑵由麻卜同得(短+力=閩一2寸，即(3_9居+(22+12)3￡-3才=0.

因?yàn)橥?同=1，(￡0=3,

—2—2—_*117t1

所以白=e=1，ee=lxlxcos—=-

2x2JA

所以（；l2-9）xl+（2；l+12）xg-3xl=0,

即/^+義一6=0.所以幾=2或4=-3.

⑶由正J_G知說i=0，即(41+可?31一2磯=0,即3412+(3一24年石一2不=0.

1

乃

一

22一

一

一

所

以1q/Xn

因?yàn)橥?同=1,怎,0=2G=G==3-2-

所以3幾+（3—2/1）乂3—2=0.4

1T

一

q6一=5-

⑷由前面解答知錄2=片=1，2--

222

而|司=(26]+1)=Aet+2Aete2+e2=2+2+1

所以同=JV+4+i

2

nin=(A,ex+j?(3e,-2e2j=3Xex+(3-24)qe2-2e2~=32+(3-22)x-i-2=22--

因?yàn)?〃2,k)=?,

ITrITr心r\[r------「[

由機(jī)?〃二mncos(m,〃)得2丸一一=，尸+4+1?J7x-,

\/22

化簡得3丸2—52—2=0,

所以2=2或；l=—g.

經(jīng)檢驗(yàn)知4=不成立，故；1=2.

【題組三向量的投影】

1.（2021?江西上饒市）若向量?與石滿足（。+5）_L白，且同=1,慟=2,則向量2在5方向上的投影為

0

D,如

A.GBC.-1

-43

【答案】B

【解析】利用向量垂直的充要條件有：（&+3）3=]2+15=0,???小方=一1，

ab1

則向量4在5方向上的投影為下「二一5,故選B.

2.（2020?沈陽市第一七。中學(xué)高一期末）已知向量￡,如其中同=1,叫=4邛+2.=2,則工

在坂方向上的投影為（）

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】由題意，向量B，其中同=1,*2a=4邛+幽=2,

可得（〃-2坂）=p|+4忖—4ab=1+4|^|—4a-^=16...（1）

/——\2?-[2]—12——?—12—?一

\a-\-1bj=a+4"+^ab=1+4Z?+4a-b=4（2）

聯(lián)立⑴（2）解得忖=|,3石=一|,

ab

所以￡在坂方向上的投影為瓦二一1.故選：C.

3.（2320?長沙市?湖南師大附中高一月考）已知向量5滿足同=1，|同=3,且]在B方向上的投影

與B在1方向上的投影相等，則,一同等于（）

A.V10B.y/5C.4D.5

【答案】A

【解析】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為6,則同cos9=Wcos。，從而cos9=0,

因?yàn)??0,句，故6后，所以""卜jH+戶=曬?故選：A.

4.⑵20?眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)高一期中）已知同=1,忖=2,但今=60。，則￡+坂在￡上的投影是

（）

A.1B.名區(qū)C.2D.立

77

【答案】C

【解析】因?yàn)殁?1,W=2,（0今=60。，所以￡B=WWcosV￡,B>=1X2XCOS60O=1

_t__2___（a+bYa

+1=2所以￡十萬在￡上的投影^~~門=2故選：C

忖

5（2023?陜西渭南市?高一期末）已知|。卜百，||=3，卜+目=3&,則向量￡在向量坂方向的投影（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【解析】由題意，向量|4=G,忖=3,忖+4=3&,

可得「+耳2=7+片+27坂=3+9+2—$=18,解得￡$=3，

ab31

所以向量￡在向量B方向的投影后=￡=1.故選：A.

Ml3

6.（2020?四川綿陽市?高一期末）在中，麗./=（）,點(diǎn)尸為比的中點(diǎn)，且I胡1=1通I，則向

量麗在向量而上的投影為（）

A.當(dāng)網(wǎng)B.-當(dāng)網(wǎng)C.-灑D.灑

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，AB±AC,又點(diǎn)P為5C中點(diǎn)，故可得PC=P3=PA=A3,

如下所示：

故三角形為等邊三角形，故可得N5=60。，

不妨設(shè)胡=〃，故可得BC=2a,

_______2/x1

則向量麗在向量冠上的投影為弛史=_22=0=3配卜

|BC|2a24lI

故選：D.

7.（2020?營口市第二高級中學(xué)高一期末）已知向量7B滿足|5|=5,S+5|=4,d-b\=6,則向量G在向量5

上的投影為

【答案】-1

【解析】向量瓦行滿足|B|=5,|d+5|=4,|a?-5|=6,

可得（1+5）2=16,3-5）2=36,即為^+戶+2值5=16，罰+52-2永5=36，兩式相減可得永5=-5,

則向量1在向量B上的投影為器=T=-1.故答案為：一1.

|b|5

8.（2020?湖北武漢市?高一期末）設(shè)向量.，入滿足,卜2,忖=1,且》_!_（〃+可，則向量坂在向量［+2坂

上的投影的數(shù)量為______.

【答案】y

【解析】+:.b^a+b^=ab+b=O,:.ab=-^=-1?

.,%.（〃+*）=〃/+2片=1,歸+留=J/+4片=J4+4-4=2，

b^2b\11

「?向量坂在向量2+%上的投影的數(shù)量為一~二大.故答案為：:.

卜+判22

9.（20214可南鄭州市）已知平面向量鬲5滿足卜|=1,|可=2,亞+母=百，則7在日方向上的投影等于—

【答窠】

2

【解析】由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則有：

（4+5）=22+24-6+5?=1+2q,5+4=3,，訝?5=—1,

u,b-11

據(jù)此可得，a在5方向上的投影等于下|-=~7=-5.

10.（2020?四川高一期末）已知邊長為2的等邊AABC中，則向量而在向量場方向上的投影為一.

【答案】-1

【解析】因?yàn)椤鰽6C是等邊三角形，

所以向景福與向最的夾角為120,

因?yàn)锳ABC邊長為2,

所以向量而在向量巨方向上的投影為|福'⑵。=2x,；=-1,

故答案為：—1.

11.（2020嗡國高一課時(shí)練習(xí)）已知工為一個(gè)單位向量，a與e的夾角是120。.若￡在工上的投影向量為-2工，

則B卜.

【答案】4

【解析】"為個(gè)單位向量，Z與"的夾角是120。由平面向量數(shù)量積定義可得7工=年以―120。=-2,

根據(jù)平面向量投影定義可得同x（-g）.工二-2問=4.故答案為：4

12.（2020?福建省福州第一中學(xué)高一期末）已知非零向量"、坂滿足問二2,恢一園=4,￡在坂方向上的

投影為1，則、（￡+2五）=.

【答窠】18

【解析】?.?同=2,￡在加方向上的投影為1,75=2x1=2，

=4,16=2[一邛=4a-4ab+b=4問~一4￡7+忖~=4x2?—4x2+，

可得代=2&,因此，尻（￡+2可=7很+252=2+2x8=18.故答案為：18.

【題組四向量的模長】

1.（2020?全國高一）已知平面向量加滿足年2,忖=3,若￡,坂的夾角為120。，則忻一*（）

A.377B.3\/3C.2>/7D.3

【答案】A

【解析】由題意得，恒-q=而/-彳+廣=136+18+9=3"故選：A.

2.（2320?全國高一）若向量d與日的夾角為60。，且同二4柩卜3,則卜+4等于（）

A.37B.13C.而D.V13

【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄縈與1的夾角為60°,且同=4,忖=3,所以

\a+b[=a2+2a^b+b2=同?+2同.|司?cos60+時(shí)=42+2x4x3xl+32=37

2

所以,+4=j方，故選：c.

3.（2320?全國高一開學(xué)考試）已知向量入分滿足7萬=0,同=1,W=3,則尸一）|=（）

A.0B.2C.2&D.回

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄俊?B滿足￡4=0,同=1,向=3

則漏—邛=力7—2Z.5+記=J1_O+9=VI^故選:D

4.（2020?銀川市?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知向量小心滿足：同=3,網(wǎng)=4,歸+目=屈，

|VV.

則w=_______.

【答案】3.

rF2rr2rrrr.rprr由2rr

【解析】Qa-\-bzX=a2+2a$+%2=a+2a%+p?=32+2^-Z?+42=41?

22

）=8，a-b=^a-b^=17-2：?H=/口二力+,=73-2x8+4=3>

因此，,一4二3,故答案為3.

5.（2320?全國高一單元測試）若平面向量￡,坂滿足忖+可=也，卜一目二"，則73=_________,

-2-2

a+b=----------

【答案】-14

【解析】由口+耳=血，得了+打電+力=2,①

由卜斗痛,得藍(lán)-2￡出+"6,②

①-②得:4）.萬二T,，=一1.故1+B?=4.故答案為：①T;②4.

6.（2020?全國高一）己知:/=6,〃=8,則a+b的最大值為__；若。=6,力=8,且。一，二10,

->T

貝ija+b=

【答案】1410

2

+2abcos<a—>,b—>>+|^|

【解析】a+b=(a+b)2=a+2ab+b?

=36+64+2x48cos<ayb>

—>—>

=100+96cos<a,b>

<100+96=196，當(dāng)且僅當(dāng)［W同向時(shí)等號成立,

所以a+b<14,

即a+b的最大值為14,

—>—>

由a-b=10兩邊平方可得：

-?->2->->?->/-?2T-->->

a—b=（a-b）2=a—2ab+b=100-2a?人=100,

所以蒜=0,

222

所以〃+Z?=（a+b）2=a+2ab-\-b=100，

—>—>

即a+b=10.

故答案為：14；10

7.（2020?東北育才學(xué)校）已知向量Z，石滿足同=4,石在Z上的投影（正射影的數(shù)量）為-2,則,一的

最小值為_________

【答案】8

【解析】因?yàn)锽在￡上的投影（正射影的數(shù)量）為-2,

所以|B|cos<a,b>=-2,

2一

即I81=------------,而一14cosvB><0,

cos<a,b>

所以|加之2,

因?yàn)椴芬?閘=（。一2萬尸=a-4ab+4l^=|〃『-4\a\\h\cos<>+41^|2

=16-4X4X（-2）+4|S|2=48+4|^|2

所以W—251N48+4X4=64,即產(chǎn)一%|之8,故選D.

27rli-I\2a+tb\

9.（2020?四川廣元市?高一期末）設(shè)非零向量值與5的夾角是g，且同=萬+4，則?!的最小值

為（)

A6R6C1

322

【答案】B

【解析】對于￡,坂和￡+石的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形法則，如圖

a=BA=CD,b=BC，a+b=BD，

vZABC=—,/.ZDCB=-,

33

vp|=|a+S|,.-.|CD|=|BD|=|BC|,

...同明=忖+陽

\2a+tb\加+同觸+時(shí)

’5=舸'可'

2萬+醫(yī)n

當(dāng)且僅當(dāng)，=1時(shí)，??一??的最小值為

\2b\2

故選：B.

10.（2020?浙江杭州市?高一期末）已知平面向量"、坂滿足同=歸+2*6則6|4+|￡+目的最大

值為

【答案】2百

【解析】???曰+2麻=f+4￡3+4萬2=3+4￡不+4片=3,則￡%=了,

設(shè)）與加的夾角為氏則同卡卜05。二一|甲，/.W=—J5COS。,

Q|^|>0,DW，可得兀，

卜+耳=a+2ab+^=3-15|=3sin2。，則卜+q=6sin。，

所以，^|S|+|a+^|=-3cos^+>/3sin9=25/3sin。一與），

嗎“立，貝哈“后嚀,所以,當(dāng)"臺初,6忖+歸+可取最大值2百.

故答案為：2石.

11.（2020?沙坪壩區(qū)?重慶南開中學(xué)高一期末）己知向量￡與向量分的夾角為2，且問=1，Z_L（3￡-20.

⑴求懷

（2）若［2々一機(jī)?二J亍，求加.

【答案】（1）代卜3；（2）相=一（或加=1.

【解析】（1）???7（3￡—2丐）=3/一275=3—2—4=0,

：.ab=^t^-^=|?|-|S|-cosy=-^|^=^-,|z?|=3.

⑵〔2〃一〃/=占，/.7={la—mb^-—4mab+m2b=4-6m4-9m2,

整理得：3/n2—2tn—1=0，解得：加=-§或加=1.

12.（2020?北京朝陽區(qū)?人大附中朝陽學(xué)校高一月考）已知平面向量滿足：同=2,W=l|.

（1）若他+24僅一5）=1,求的值；

（2）設(shè)向量的夾角為。，若存在fwR,使得|a+區(qū)|=1，求cos。的取值范圍.

【答案】⑴一1；（2）-1,-g。事.

22

【解析】（1）若（M+2方）?值-5）=1,則嚴(yán)+,石_27=1，

又因?yàn)橥?2,忖=1],所以4+4力一2=1，所以無b=—1；

⑵若|A+/|=1，則冊+2名?力+”/=1，

又因?yàn)殁?2,忖=1,所以22?力+/+3=0即/+4fcose+3=0，

所以A=16c。/。一12N0，解得。5。《-@或＜：056之立.

22

所以如出仁卜,一

13.（2020?全國高一單元測試）已知向量次二八麗:5,ZAOB=60f且同=|閘=4.

⑴求忖+.，忖叫；

（2）求彳+5與萬的夾角及M—5與。的夾角.

【答案】⑴卜+母=46-一@=4；⑵30。，60°.

【解析】（1）因?yàn)橄蛄康Z=1,OB=b^NAO8=60'，且同=同=4,

所以k+同=（值+6）=a2+2ab+^2=|d|2+2|a||^|cos60+|/?|

=16-2x4x4x1+16=48,

2

所以,+可=45

又卜一耳=（彳-5）=d2-2a-b+b2=|?|2-2|a||^|cos60°+|b|

=16-2x4x4x—+16=16,

2

所以卜一4=4；

⑵記a+B與1的夾角為a,ae[00,180。],1一5與1的夾角為回4e[O'/801,

(,+皿/+1石16+4x4xg=G

則cosa

k+研同4A/3x4165/32

所以a=30"

■詢?nèi)fa^-a-b16-4X4X；{

COSP=n--zr—=--------=-----------=—'

忸叫同4x4162

所以尸=60。.

【題組五平面向量的綜合運(yùn)用】

1.（2320?北京豐臺區(qū)?高一期末）￡,石是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.a=bB.ab=\，,片工片D.|a『二lW

【答案】D

【解析】A.工?可能方向不同，故錯(cuò)誤；

B.a=p|?|^|?cos<a,^>=cos<?,^>,兩向量夾角未知，故錯(cuò)誤；

C.a=d-=|d|=l,b=bZ=W=1?所以￡2=石2,故錯(cuò)誤；

D.由C知B『=W[=1,故正確，故選：D.

2.（2320?全國高一單元測試）若不是非零向量，日是單位向量，①同>0,②問=1,③向=B,④

a=Ab^^0）,⑤工力W0,其中正確的有（）

A.①②③B.①@?C.??④D.①②

【答案】D

【解析】???400，???|司>0,①正確；

5為單位向量，故歸|=1,②正確：

a

同表示與萬方向相同的單位向量，不一定與B方向相同，故③錯(cuò)誤；

。與萬不一定共線，故M=4（4W0）不成立，故④錯(cuò)誤，

若。與5垂直，則有。-5=0，故⑤錯(cuò)誤.

故選：D.

3.（2321?重慶）設(shè)2,萬為向量，則'忸5卜同網(wǎng)”是“￡//5”（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算，上同=M忸k。S0

若卜.5卜同問，即同|5卜。$。卜同w

所以cos。二土1,即。=0?；?80。

所以2/歷

若4//5,則五與5的夾角為o°或180。，所以“同方卜同碓心0。=同W

或=同|司605180。=一同回

即忖石卜MM|COSq

所以“卜?同二同啊”是uallbn的充分必要條件

所以送C

4.(2020?全國高一課時(shí)練習(xí))若夕，日，乙均為單位向量，且萬石=-g,c=xa+yb(x,y^R),則x+V

的最大值是()

A.2B.6C.y/2D.1

【答案】A

【解析】???日，B，3均為單位向量，

且a*b=一：，c=xa+yb(x9yGR)f

￡2=(x〃+yh)2=x2+y2+Ixya^h=x2+y2-xy=1,

設(shè)x+y=f,y=t-x,得：x2+(z-x)2-x(r-x)-l=0,

/.3x2-3tx+t2-1=0>

???方程3f一3戊+/一1=0有解，

/.A=9r2-12(/2-l)..0,

-3/+12..0,

/.-2a2

的最大值為2.

故選：A.

5.（2020?甘肅蘭州市?蘭州一中高一期末）已知向量￡、坂、"滿足￡+方+工=6,且同咽<忖，則￡*、

b-c>a.c中最小的值是（）

A.abB.a-cC."cD.不能魂定

【答案】C

【解析】由2+5+3=。，可得1=一（］+垃，平方可得2。石=^_（萬2+斤）

222

同理可得2^.c=I?一（52+鏟）、2a^c=b-（a+c）t

???mklbKHI，2V52V上則癡、康、萬刀中最小的值是及？.故選：C.

6.（2320?浙江湖州市?高一期末）已知空間向量坂，￡和實(shí)數(shù)/U則下列說法正確的是（）

A.若。.坂=0,則0=?；蚴?。B.若則4=?；颉?/p>

C.若=（5），則《=石或〃=—〃D.若a下=a。c‘則B=c

【答案】B

【解析】對于選項(xiàng)4，若￡石=0，則￡=0或坂=。或，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C,由（￡）2=?『，得|ZH5|，即可得其模相等，但方向不確定，故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)。，由得7@-占=0,則￡或5或々，@一工），故。錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)8,

由尤〃=6，可得4=0或。=0，故8止確，

故選：B.

7.（多選）（2021?江蘇高一）若￡、B、"是空間的非零向量，則下列命題中H勺假命題是（）

A.（ab）c=（bc）a

B.若3出=一問同，則

C.若a.c=bc，則《//B

D.若a.a=BB，則a=B

【答案】ACD

【解析】（a?b）?c是與"共線的向量，（尻"）?￡是與￡共線的向量，￡與"不一定共線，月錯(cuò)，

若￡3=響叫,則7與B方向相反，.??￡//=8對，

若a.c=b,c，則（a—b）,c=O,即（a-&_Lc,不能推出a//b，C錯(cuò),

若mi,則|￡|=|向，z與?方向不一定相同，不能推出公=:,〃錯(cuò)，

故選：ACD.

8.（多選）（2020?山東臨沂市?高一期末）己知251是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，下列命題中正確的是（）

A.\a^b\＜\anb\

B.若且方聲。，則。=乙

c.兩個(gè)非零向量三，b?若I，-在4I引+15],則4與5共線且反向

D.已知1=（1,2）,^=（1,1）,且少與4+義呂的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)丸的取值范圍是（一|，口：

【答案】AC

【解析】對于A,由平面向量數(shù)量積定義可知卜石卜同忸際〈萬同，則|展方國萬||5|,所以力正確，

對于B,當(dāng)，與工都和5垂直時(shí)，2與己的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B錯(cuò)誤，

對于C兩個(gè)非零向量6,B，若海一5|=團(tuán)+出|,可得（。」）2=（|:|+|11）2,即-2。?力=2|。向，

cos6=-l，

則兩個(gè)向量的夾角為江，則2弓B共線且反向，故c正確；

對于D,已知1=（1,2）,B=（1,1）且日與5+焉的夾角為銳角，

可得:?（5+勸）＞0即|a|2+4.。＞0可得5+3幾＞。,解得義＞——＞

當(dāng)1與2+4的夾角為。時(shí)，5+/1力=（1+42+團(tuán)，所以2+24=2+4=4=0

所以〃與a+Ab的夾角為銳角時(shí)義＞—故D錯(cuò)誤；

故選:4C.

9.（2320?浙江高一期末）已知H=W=a-B=2,c=（2-42）?+2^,則/?一々）,卜一可的最小值為

【答案一公

【解析】\*c-a=（\-^X）a+Xb,c-b=（2-42）a+（2-l）^,

.e.^c-?j-^c-^j=^（l-42）6r+2^J^（2-42）tz+（2-l）Sj

=（16分-124+2）7+（-8%+74-1）3石+（萬一之）片，

代入卜卜W=〃?坂=2,

原式=5222一38%+6，

1949

.?.當(dāng)人=一時(shí)，原式最小值為——.

5252

49

故答案為：一二

52

10.（2020?湖北高一開學(xué)考試）在△A6C中，已知A8=2,|a+而|=|西-函

cos2A+2sii?O于=1,則麗在配方向上的投影為_________.

【答案】上

【解析】因?yàn)?+而卜"-詞，所以#+國2=（5-方丫

所以畫?。=0，即0=1

因?yàn)閏os2A+2sin?=1,所以cos2A+2sin2<^^^=1即cos2A+2sin24=l,即

222

cos2A+cosA=0,所以2cos24+cosA-1=0解得cosA=-l或cos4=」

2

因?yàn)锳￡（0,￡］，所以COSA=2，即4=巳，所以5=工，

I2）236

因?yàn)锳B=2,所以BC=2sinA=

所以麗在正方向上的投影為pg=石

故答案為：G

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的幾何意義，屬于中檔題.

11.（2020?浙江杭州市?高一期末）已知平面向量3,5,其中|￡|二2,|5|=1,的夾角是?，則忖一〃卜

；若f為任意實(shí)數(shù)，則忖+目的最小值為.

【答案】26

【解析】由題意，平面向量5，其中|a|=2,|51=1,的夾角是

可得〃3=p|-|^|cOSy=2xlxCOSy=1,

則,一2同2=p|2+4|^|2-4a-^=4+4-4xl=4,所以卜一2可=2,

又由@+區(qū)|=J（￡+r5）2=J/+2f+4=J（f+l）2+3，

所以當(dāng)f=T時(shí)，|。+回的最小值為6.

故答窠為：2：-73?

12.（2020?天津市濱海新區(qū)大港太平村中學(xué)高一期末）在△A6C中，AB=2,AC=3,N8AC=120。,

UUUJIMf.1-

。是BC中點(diǎn)，E在邊4c上，AE=2AC，ADBE=-,則|AO|=丸的值為________.

【答案】立1

23

所以福?/=|通'恁］

【解析】因?yàn)锳B=2，AC=3,ZBAC=120,1°,ACcos120=-3,

由題意而=g（而+*），BE=BA+AE=AAC-AB^

所以|說『=-（AB++2ABAC+AC2j

I7

=_（4-6+9）=-,

所以1A。卜；

由而?礪二!可得"!■（而+衣）（4/—麗）=2/通.衣麗2

=^-|（2-1）-2=32-14'

解得2=1.

3

故答案為：

23

13.（2020?湖北黃岡市?高一期末）已知向量亢與向量聲的夾角為|■，且同=1,|同=3,H?伍一4所）=0.

（1）求；I的值

⑵記向量萬與向量3元一比的夾角為。，求cos20.

【答案】（1）4=3；