平面向量的數(shù)量積(精練)-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉(必修第二冊)(教師版含解析)_第1頁
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文檔簡介

6.2.2平面向量的數(shù)量積(精練)

【題組一向量的數(shù)量積】

1.(2020?天水市第一中學(xué)高一期末)已知等邊3c的邊長為2,若近=3而,而=覺,則麗.通

等于()

A.—B.---C.2D.—2

33

【答案】D

【解析】等邊△力比的邊長為2,BC=3BE^AD=DC^

:.BD=-(BA+BCYAE=AB+BE=AB+-BC=-BC-BA,

2V733

?.?麗/=;(麗+網(wǎng)心冊—麗卜*萍—麗2_|南麗)

=1xf|x4-4-|x2x2xi),=-2.故選:D.

UUUUUU

2.(2020?陜西渭南市?高一期末)在△A/C中,。為線段的中點,AD=1,8C=3,則人氏AC()

15

A.—B.---C.3D.4

34

【答案】B

【解析】???在aABC中,O為線段BC的中點

\Ab=-(AB^AC]——1———1—

??(2、),可得A3=AQ?一3C,AC=AD+-BC,

\BC=AC-AB22

umuuu/uuoiuun\/uuoiui?\uuu,]uuu,5

/.ABAC=\AD--BC\\AD+-BC\=AD--BC=一彳.故選:B.

3.(2320?湖南益陽市?高一期末)在△A/C中,AB=2五,AC=x/26.G為aABC的重心,則

AGBC=_______?

【答案】6

【解析】如圖,點。是8C的中點,

丁G為5c的重心,??AG=—AD=—x](48+AC)=—(48+4C),5(7=AC-AB,

所以而屈=g(而+/)?(而—而)=;(而2_福2)

故答案為:6

4.(2020?黑龍江大慶市?大慶一中高一期末)如圖,在AA/C中,。是3C的中點,E,尸是AO上的

兩個三等分點且晨反=5,BFCF=-2,則潴.%的值是________.

【答案】|

8

【解析】因為麗.麗=(■!■而-而).(」前-而)=4A?-BU=36尸Q-3函=5,

2244

______11114而2-BC2

BF?CF=(—BC一一4。)(一一BC一一AD)=---------=-2^

23234

因此而2=1,而2=",

82

2222

______1一一1一一4ED--BC-\6FD-BC~5

BE?CE=dBC-ED).—BC-EO===2.

22448

故答案為:!

o

5.(2320?四川內(nèi)江市)在等腰中,斜邊BC=&,ABBC=a>CA=b,那么

ab+bc+ca=—

【答案】-2

【解析】由題可知在等腰5c中,斜邊5C=0,\AB=AC=1,A=^,B=C=^,

即|a|=>/2,|J=|c|=l,

/.6r-^+^-c+c-t7=|a|-|^|-cos(^-C)+0+|c|-|?|-cos(^-B)

lx&=—2.故答案為:-2.

6.(2320?北京101中學(xué)高一期末)如圖,在矩形A3CZ)中,AB=叵,BC=2,點E為BC的中點、,

點尸在邊CO上,若A區(qū)通=&,則亞.麗的值是一

【答案】>/2

【解析】:?衣=亞十方,

ABAF=AB(AD+DF^=ABAD+ABDF=ABDF=yf2^DF\=>j2f

.-.|DF|=I,|CF|=V2-I,

???^BF=(AB+BE^(BC+CF^=ABCF+BEBC

=-0(/-1)+以2=-2+0+2=收

故答案為:、傷.

7.(2020?陜西咸陽市?高一期末)已知兩個單位向量1,5的夾角為120。,3=應(yīng)+(1-1)石.若51=1,

則實數(shù),=.

【答案】1

【解析】?.?兩個單位向量五,5的夾角為120。,

2石=Ixlx——=——,

I2J2

又3=fd+(E-1)方,a?c=\?

及《[S+(f-1)力]=?2+(/—V)ci*b=t—(Z—I)=1,

解得f=l.

故答案為:1.

8.(2320?長沙縣實驗中學(xué)高一期末)已知非零向量7,;滿足42=3口,cos<7,G=;.若

+〃,則實數(shù),的值為.

【答窠】-4

【解析】??,非零向量[滿足4H=3〃,cos〈7,冷=;,;,

.tm+n\=tni'n+n=t\m\\n\cos<w,zz>+177|2

£3TT

二§xj|〃|2+|〃|2=0,解得f=-4,故答案為:-4

【題組二向量的夾角】

1.(2D20?山東臨沂市?高一期末)己知非零向量3,B,若|Z|二0|5|,且£_!_(£—2&,則£與B的夾

角為()

n7Cc萬3K

A.-B.-C.一D.——

6434

【答案】B

【解析】因為£_1_(£一2楊,所以7(£-26=同2一2小萬=同2-2同忸際(萬萬)=0,

因為121=&151,所以cos他行)=2^b\=2^[=*,re[。㈤「?@6)=.故選:B.

2.(2320?鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末)已知編b,^為單位向量,且滿足32+袪+70=0,3與萬的夾角為

則實數(shù)4=.

【答案】%二—8或4=5

【解析】由3。+16+7。=0,可得7c=-(3〃+丸歷,則49c2=9)+2峭~+64〃%?

由.層為單位向量,得了=片=片=],則49=9+萬+6丸8$。,即萬+34-40=0.

解得4=-8或;1=5.

3.(2020?浙江溫州市?高一期末)已知平面向胸,入滿足同=2,忖=?[=1,且(£一辦0一0=5,

£一日與2+日夾角余弦值的最小值等于.

【答案】叵

15

【解析】平面向詞,Z滿足問=2,W=6忖=1,則a=p|2=4石2=時=3,C2=|C|2=1

因為(£一°?(B_g=5

展開化簡可得々石一c(a+5)+J=5,

因為22=慟2=1,代入化簡可得75+5)=4

設(shè)"與3+方的夾角為

則由上式可得〃出一卜|?卜+.?cos0=4

而B斗JR?可=犬|?.知/=8%不

//.A—4

代入上式化簡可得cose=/

々+22萬

令相=£石,設(shè)3與B的夾角為a,aw[0,句,則由平面向量數(shù)量積定義可得

m=a-b=^^cosa=2y/3cosa,ifff-l<cosa<l

所以-2由

ab-4m-4

由余弦函數(shù)的值域可得|cosqK1,即|cos6|=<1

y]l+2a-bd”2m

將不等式化簡可得,?2-10/?+9<0?解不等式可得1KmV9

綜上可得14加工26,即147502G

而由平面向量數(shù)量積的運算可知,設(shè)£-5與£+5夾角為夕,

1孫R+5)

則COSP=

口肝+6\ll-2ab\h+2a.6

當(dāng)分母越大時,cos/7的值越??;當(dāng)?shù)闹翟叫r,分母的值越大

所以當(dāng)&?5=1時,COS/的值最小

1

代入可得cos/?=

V49-4xl215

所以與£+5夾角余弦值的最小值等于好

15

故答窠為:旦

15

4.(2320?延安市第一中學(xué)高一月考)已知向量工坂滿足同=咽=1酒+24=|£-4

(1)求I在[上的投影;

(2)求-與。-2,夾角的余弦值.

【答案】(1)一];(2)典.

24

【解析】⑴卜+2.=卜一.=>(a+2b)2=(a-b)2=>J+5+4b2=a2-2ab+b

2

6ab=-3b9:.ab=--,設(shè)公和B的夾角為0,

£在加上的投影為:WCOS8=£,=-;:

(2)設(shè)1與:一次夾角為。,

a(a-2b]a2-2ab4+1曬

\^\ci-2b\L__4£出+昉2xj4+2+44-

5.⑵20?北京順義區(qū)?高一期末)已知平面向量入石,同=2,W=l,且M與5的夾角為

(1)求5;

(2)求卜+2.;

(3)若汗+2日與次+4(4tR)垂直,求義的值.

【答案】(1)1:⑵26;⑶4

【解析】(1)口/=同-忖卜os^=2xg=l;

(2)???卜+242=(萬+26)2=值2+45.6+452=4+4+4=12,.|^+2^|=25/3:

(3)v(a+2b^±^2a+,.,.(1+2孫(21+肪)=0,

即2^+(4+4)萬?日+2"2=8+(4+2)+24=12+3;1=0,解得:2=-4.

6.(2320?南昌市?江西師大附中高一月考)已知向量£石滿足|£|二|向二1,

\ka+b\=y/3\a-kb\(k>^keR)

⑴若£//卻求實數(shù)上的值;

(2)求向量£與B夾角的最大值.

【答案】(1)2±百:(2)

【解析】⑴因為2//。左>0,所以2萬=史1>0,則£與否同向.

4k

因為|a|=|坂|=1,所以〃石=1,

L2.1-1r-

即^―-=b整理得/一4左+1=0,解得欠=2土石,

4k

所以當(dāng)k=2士有時,a!lb.

(2)設(shè)〃力的夾角為。

八ab-r公+1\(,\\(rr1Yc

則cos0=——=a。b=-----=—kT—I=—Ik—產(chǎn)I+2

|。||加妹4(k)4[14k)

當(dāng)"=H,即%=1時,COS。取最小值3,

又owe《),所以夕=一,

3

即向量£與石夾角的最大值為

7.(2320?全國高一專題練習(xí))已知向量吊02,且卜1卜同=1,弓與g的夾角為m=+02,

〃=3q—2e2.

⑴求證:(2,一J_g;

(2)若同=同,求人的值;

(3)若加J_〃,求丸的值;

⑷若碗與7的夾角為與,求九的值.

【答案】(1)見解析(2)4=2或4=一3.(3)2=i(4)2=2

4

【解析】⑴證明:因為同=同=1,I與1的夾角為?,

2

所以(2q_/)?.=2q/―/2=2k|卜2cosy-|e2|=2xlxlx-i-l=0,

所以Qi-g_L耳.

⑵由麻卜同得(短+力=閩一2寸,即(3_9居+(22+12)3£-3才=0.

因為同=同=1,(£0=3,

—2—2—_*117t1

所以白=e=1,ee=lxlxcos—=-

2x2JA

所以(;l2-9)xl+(2;l+12)xg-3xl=0,

即/^+義一6=0.所以幾=2或4=-3.

⑶由正J_G知說i=0,即(41+可?31一2磯=0,即3412+(3一24年石一2不=0.

1

22一

以1q/Xn

因為同=同=1,怎,0=2G=G==3-2-

所以3幾+(3—2/1)乂3—2=0.4

1T

q6一=5-

⑷由前面解答知錄2=片=1,2--

222

而|司=(26]+1)=Aet+2Aete2+e2=2+2+1

所以同=JV+4+i

2

nin=(A,ex+j?(3e,-2e2j=3Xex+(3-24)qe2-2e2~=32+(3-22)x-i-2=22--

因為(〃2,k)=?,

ITrITr心r\[r------「[

由機(jī)?〃二mncos(m,〃)得2丸一一=,尸+4+1?J7x-,

\/22

化簡得3丸2—52—2=0,

所以2=2或;l=—g.

經(jīng)檢驗知4=不成立,故;1=2.

【題組三向量的投影】

1.(2021?江西上饒市)若向量?與石滿足(。+5)_L白,且同=1,慟=2,則向量2在5方向上的投影為

0

D,如

A.GBC.-1

-43

【答案】B

【解析】利用向量垂直的充要條件有:(&+3)3=]2+15=0,???小方=一1,

ab1

則向量4在5方向上的投影為下「二一5,故選B.

2.(2020?沈陽市第一七。中學(xué)高一期末)已知向量£,如其中同=1,叫=4邛+2.=2,則工

在坂方向上的投影為()

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】由題意,向量B,其中同=1,*2a=4邛+幽=2,

可得(〃-2坂)=p|+4忖—4ab=1+4|^|—4a-^=16...(1)

/——\2?-[2]—12——?—12—?一

\a-\-1bj=a+4"+^ab=1+4Z?+4a-b=4(2)

聯(lián)立⑴(2)解得忖=|,3石=一|,

ab

所以£在坂方向上的投影為瓦二一1.故選:C.

3.(2320?長沙市?湖南師大附中高一月考)已知向量5滿足同=1,|同=3,且]在B方向上的投影

與B在1方向上的投影相等,則,一同等于()

A.V10B.y/5C.4D.5

【答案】A

【解析】設(shè)兩個向量的夾角為6,則同cos9=Wcos。,從而cos9=0,

因為6?0,句,故6后,所以""卜jH+戶=曬?故選:A.

4.⑵20?眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)高一期中)已知同=1,忖=2,但今=60。,則£+坂在£上的投影是

()

A.1B.名區(qū)C.2D.立

77

【答案】C

【解析】因為忖=1,W=2,(0今=60。,所以£B=WWcosV£,B>=1X2XCOS60O=1

_t__2___(a+bYa

+1=2所以£十萬在£上的投影^~~門=2故選:C

5(2023?陜西渭南市?高一期末)已知|。卜百,||=3,卜+目=3&,則向量£在向量坂方向的投影()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【解析】由題意,向量|4=G,忖=3,忖+4=3&,

可得「+耳2=7+片+27坂=3+9+2—$=18,解得£$=3,

ab31

所以向量£在向量B方向的投影后=£=1.故選:A.

Ml3

6.(2020?四川綿陽市?高一期末)在中,麗./=(),點尸為比的中點,且I胡1=1通I,則向

量麗在向量而上的投影為()

A.當(dāng)網(wǎng)B.-當(dāng)網(wǎng)C.-灑D.灑

【答案】D

【解析】根據(jù)題意,AB±AC,又點P為5C中點,故可得PC=P3=PA=A3,

如下所示:

故三角形為等邊三角形,故可得N5=60。,

不妨設(shè)胡=〃,故可得BC=2a,

_______2/x1

則向量麗在向量冠上的投影為弛史=_22=0=3配卜

|BC|2a24lI

故選:D.

7.(2020?營口市第二高級中學(xué)高一期末)已知向量7B滿足|5|=5,S+5|=4,d-b\=6,則向量G在向量5

上的投影為

【答案】-1

【解析】向量瓦行滿足|B|=5,|d+5|=4,|a?-5|=6,

可得(1+5)2=16,3-5)2=36,即為^+戶+2值5=16,罰+52-2永5=36,兩式相減可得永5=-5,

則向量1在向量B上的投影為器=T=-1.故答案為:一1.

|b|5

8.(2020?湖北武漢市?高一期末)設(shè)向量.,入滿足,卜2,忖=1,且》_!_(〃+可,則向量坂在向量[+2坂

上的投影的數(shù)量為______.

【答案】y

【解析】+:.b^a+b^=ab+b=O,:.ab=-^=-1?

.,%.(〃+*)=〃/+2片=1,歸+留=J/+4片=J4+4-4=2,

b^2b\11

「?向量坂在向量2+%上的投影的數(shù)量為一~二大.故答案為::.

卜+判22

9.(20214可南鄭州市)已知平面向量鬲5滿足卜|=1,|可=2,亞+母=百,則7在日方向上的投影等于—

【答窠】

2

【解析】由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算法則有:

(4+5)=22+24-6+5?=1+2q,5+4=3,,訝?5=—1,

u,b-11

據(jù)此可得,a在5方向上的投影等于下|-=~7=-5.

10.(2020?四川高一期末)已知邊長為2的等邊AABC中,則向量而在向量場方向上的投影為一.

【答案】-1

【解析】因為△A6C是等邊三角形,

所以向景福與向最的夾角為120,

因為AABC邊長為2,

所以向量而在向量巨方向上的投影為|福'⑵。=2x,;=-1,

故答案為:—1.

11.(2020嗡國高一課時練習(xí))已知工為一個單位向量,a與e的夾角是120。.若£在工上的投影向量為-2工,

則B卜.

【答案】4

【解析】"為個單位向量,Z與"的夾角是120。由平面向量數(shù)量積定義可得7工=年以―120。=-2,

根據(jù)平面向量投影定義可得同x(-g).工二-2問=4.故答案為:4

12.(2020?福建省福州第一中學(xué)高一期末)已知非零向量"、坂滿足問二2,恢一園=4,£在坂方向上的

投影為1,則、(£+2五)=.

【答窠】18

【解析】?.?同=2,£在加方向上的投影為1,75=2x1=2,

=4,16=2[一邛=4a-4ab+b=4問~一4£7+忖~=4x2?—4x2+,

可得代=2&,因此,尻(£+2可=7很+252=2+2x8=18.故答案為:18.

【題組四向量的模長】

1.(2020?全國高一)已知平面向量加滿足年2,忖=3,若£,坂的夾角為120。,則忻一*()

A.377B.3\/3C.2>/7D.3

【答案】A

【解析】由題意得,恒-q=而/-彳+廣=136+18+9=3"故選:A.

2.(2320?全國高一)若向量d與日的夾角為60。,且同二4柩卜3,則卜+4等于()

A.37B.13C.而D.V13

【答案】C

【解析】因為向量M與1的夾角為60°,且同=4,忖=3,所以

\a+b[=a2+2a^b+b2=同?+2同.|司?cos60+時=42+2x4x3xl+32=37

2

所以,+4=j方,故選:c.

3.(2320?全國高一開學(xué)考試)已知向量入分滿足7萬=0,同=1,W=3,則尸一)|=()

A.0B.2C.2&D.回

【答案】D

【解析】因為向量£,B滿足£4=0,同=1,向=3

則漏—邛=力7—2Z.5+記=J1_O+9=VI^故選:D

4.(2020?銀川市?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)已知向量小心滿足:同=3,網(wǎng)=4,歸+目=屈,

|VV.

則w=_______.

【答案】3.

rF2rr2rrrr.rprr由2rr

【解析】Qa-\-bzX=a2+2a$+%2=a+2a%+p?=32+2^-Z?+42=41?

22

)=8,a-b=^a-b^=17-2:?H=/口二力+,=73-2x8+4=3>

因此,,一4二3,故答案為3.

5.(2320?全國高一單元測試)若平面向量£,坂滿足忖+可=也,卜一目二",則73=_________,

-2-2

a+b=----------

【答案】-14

【解析】由口+耳=血,得了+打電+力=2,①

由卜斗痛,得藍(lán)-2£出+"6,②

①-②得:4).萬二T,,=一1.故1+B?=4.故答案為:①T;②4.

6.(2020?全國高一)己知:/=6,〃=8,則a+b的最大值為__;若。=6,力=8,且。一,二10,

->T

貝ija+b=

【答案】1410

2

+2abcos<a—>,b—>>+|^|

【解析】a+b=(a+b)2=a+2ab+b?

=36+64+2x48cos<ayb>

—>—>

=100+96cos<a,b>

<100+96=196,當(dāng)且僅當(dāng)[W同向時等號成立,

所以a+b<14,

即a+b的最大值為14,

—>—>

由a-b=10兩邊平方可得:

-?->2->->?->/-?2T-->->

a—b=(a-b)2=a—2ab+b=100-2a?人=100,

所以蒜=0,

222

所以〃+Z?=(a+b)2=a+2ab-\-b=100,

—>—>

即a+b=10.

故答案為:14;10

7.(2020?東北育才學(xué)校)已知向量Z,石滿足同=4,石在Z上的投影(正射影的數(shù)量)為-2,則,一的

最小值為_________

【答案】8

【解析】因為B在£上的投影(正射影的數(shù)量)為-2,

所以|B|cos<a,b>=-2,

2一

即I81=------------,而一14cosvB><0,

cos<a,b>

所以|加之2,

因為卜一2閘=(。一2萬尸=a-4ab+4l^=|〃『-4\a\\h\cos<>+41^|2

=16-4X4X(-2)+4|S|2=48+4|^|2

所以W—251N48+4X4=64,即產(chǎn)一%|之8,故選D.

27rli-I\2a+tb\

9.(2020?四川廣元市?高一期末)設(shè)非零向量值與5的夾角是g,且同=萬+4,則?!的最小值

為()

A6R6C1

322

【答案】B

【解析】對于£,坂和£+石的關(guān)系,根據(jù)平行四邊形法則,如圖

a=BA=CD,b=BC,a+b=BD,

vZABC=—,/.ZDCB=-,

33

vp|=|a+S|,.-.|CD|=|BD|=|BC|,

...同明=忖+陽

\2a+tb\加+同觸+時

’5=舸'可'

2萬+醫(yī)n

當(dāng)且僅當(dāng),=1時,??一??的最小值為

\2b\2

故選:B.

10.(2020?浙江杭州市?高一期末)已知平面向量"、坂滿足同=歸+2*6則6|4+|£+目的最大

值為

【答案】2百

【解析】???曰+2麻=f+4£3+4萬2=3+4£不+4片=3,則£%=了,

設(shè))與加的夾角為氏則同卡卜05。二一|甲,/.W=—J5COS。,

Q|^|>0,DW,可得兀,

卜+耳=a+2ab+^=3-15|=3sin2。,則卜+q=6sin。,

所以,^|S|+|a+^|=-3cos^+>/3sin9=25/3sin。一與),

嗎“立,貝哈“后嚀,所以,當(dāng)"臺初,6忖+歸+可取最大值2百.

故答案為:2石.

11.(2020?沙坪壩區(qū)?重慶南開中學(xué)高一期末)己知向量£與向量分的夾角為2,且問=1,Z_L(3£-20.

⑴求懷

(2)若[2々一機(jī)?二J亍,求加.

【答案】(1)代卜3;(2)相=一(或加=1.

【解析】(1)???7(3£—2丐)=3/一275=3—2—4=0,

:.ab=^t^-^=|?|-|S|-cosy=-^|^=^-,|z?|=3.

⑵〔2〃一〃/=占,/.7={la—mb^-—4mab+m2b=4-6m4-9m2,

整理得:3/n2—2tn—1=0,解得:加=-§或加=1.

12.(2020?北京朝陽區(qū)?人大附中朝陽學(xué)校高一月考)已知平面向量滿足:同=2,W=l|.

(1)若他+24僅一5)=1,求的值;

(2)設(shè)向量的夾角為。,若存在fwR,使得|a+區(qū)|=1,求cos。的取值范圍.

【答案】⑴一1;(2)-1,-g。事.

22

【解析】(1)若(M+2方)?值-5)=1,則嚴(yán)+,石_27=1,

又因為同=2,忖=1],所以4+4力一2=1,所以無b=—1;

⑵若|A+/|=1,則冊+2名?力+”/=1,

又因為忖=2,忖=1,所以22?力+/+3=0即/+4fcose+3=0,

所以A=16c。/。一12N0,解得。5?!?@或<:056之立.

22

所以如出仁卜,一

13.(2020?全國高一單元測試)已知向量次二八麗:5,ZAOB=60f且同=|閘=4.

⑴求忖+.,忖叫;

(2)求彳+5與萬的夾角及M—5與。的夾角.

【答案】⑴卜+母=46-一@=4;⑵30。,60°.

【解析】(1)因為向量礪=1,OB=b^NAO8=60',且同=同=4,

所以k+同=(值+6)=a2+2ab+^2=|d|2+2|a||^|cos60+|/?|

=16-2x4x4x1+16=48,

2

所以,+可=45

又卜一耳=(彳-5)=d2-2a-b+b2=|?|2-2|a||^|cos60°+|b|

=16-2x4x4x—+16=16,

2

所以卜一4=4;

⑵記a+B與1的夾角為a,ae[00,180。],1一5與1的夾角為回4e[O'/801,

(,+皿/+1石16+4x4xg=G

則cosa

k+研同4A/3x4165/32

所以a=30"

■詢?nèi)fa^-a-b16-4X4X;{

COSP=n--zr—=--------=-----------=—'

忸叫同4x4162

所以尸=60。.

【題組五平面向量的綜合運用】

1.(2320?北京豐臺區(qū)?高一期末)£,石是兩個單位向量,則下列四個結(jié)論中正確的是()

A.a=bB.ab=\,,片工片D.|a『二lW

【答案】D

【解析】A.工?可能方向不同,故錯誤;

B.a=p|?|^|?cos<a,^>=cos<?,^>,兩向量夾角未知,故錯誤;

C.a=d-=|d|=l,b=bZ=W=1?所以£2=石2,故錯誤;

D.由C知B『=W[=1,故正確,故選:D.

2.(2320?全國高一單元測試)若不是非零向量,日是單位向量,①同>0,②問=1,③向=B,④

a=Ab^^0),⑤工力W0,其中正確的有()

A.①②③B.①@?C.??④D.①②

【答案】D

【解析】???400,???|司>0,①正確;

5為單位向量,故歸|=1,②正確:

a

同表示與萬方向相同的單位向量,不一定與B方向相同,故③錯誤;

。與萬不一定共線,故M=4(4W0)不成立,故④錯誤,

若。與5垂直,則有。-5=0,故⑤錯誤.

故選:D.

3.(2321?重慶)設(shè)2,萬為向量,則'忸5卜同網(wǎng)”是“£//5”()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)向量數(shù)量積運算,上同=M忸k。S0

若卜.5卜同問,即同|5卜。$。卜同w

所以cos。二土1,即。=0?;?80。

所以2/歷

若4//5,則五與5的夾角為o°或180。,所以“同方卜同碓心0。=同W

或=同|司605180。=一同回

即忖石卜MM|COSq

所以“卜?同二同啊”是uallbn的充分必要條件

所以送C

4.(2020?全國高一課時練習(xí))若夕,日,乙均為單位向量,且萬石=-g,c=xa+yb(x,y^R),則x+V

的最大值是()

A.2B.6C.y/2D.1

【答案】A

【解析】???日,B,3均為單位向量,

且a*b=一:,c=xa+yb(x9yGR)f

£2=(x〃+yh)2=x2+y2+Ixya^h=x2+y2-xy=1,

設(shè)x+y=f,y=t-x,得:x2+(z-x)2-x(r-x)-l=0,

/.3x2-3tx+t2-1=0>

???方程3f一3戊+/一1=0有解,

/.A=9r2-12(/2-l)..0,

-3/+12..0,

/.-2a2

的最大值為2.

故選:A.

5.(2020?甘肅蘭州市?蘭州一中高一期末)已知向量£、坂、"滿足£+方+工=6,且同咽<忖,則£*、

b-c>a.c中最小的值是()

A.abB.a-cC."cD.不能魂定

【答案】C

【解析】由2+5+3=。,可得1=一(]+垃,平方可得2。石=^_(萬2+斤)

222

同理可得2^.c=I?一(52+鏟)、2a^c=b-(a+c)t

???mklbKHI,2V52V上則癡、康、萬刀中最小的值是及?.故選:C.

6.(2320?浙江湖州市?高一期末)已知空間向量坂,£和實數(shù)/U則下列說法正確的是()

A.若。.坂=0,則0=?;蚴?。B.若則4=?;颉?/p>

C.若=(5),則《=石或〃=—〃D.若a下=a。c‘則B=c

【答案】B

【解析】對于選項4,若£石=0,則£=0或坂=?;?,故A錯誤;

對于選項C,由(£)2=?『,得|ZH5|,即可得其模相等,但方向不確定,故C錯誤;

對于選項。,由得7@-占=0,則£或5或々,@一工),故。錯誤;對于選項8,

由尤〃=6,可得4=0或。=0,故8止確,

故選:B.

7.(多選)(2021?江蘇高一)若£、B、"是空間的非零向量,則下列命題中H勺假命題是()

A.(ab)c=(bc)a

B.若3出=一問同,則

C.若a.c=bc,則《//B

D.若a.a=BB,則a=B

【答案】ACD

【解析】(a?b)?c是與"共線的向量,(尻")?£是與£共線的向量,£與"不一定共線,月錯,

若£3=響叫,則7與B方向相反,.??£//=8對,

若a.c=b,c,則(a—b),c=O,即(a-&_Lc,不能推出a//b,C錯,

若mi,則|£|=|向,z與?方向不一定相同,不能推出公=:,〃錯,

故選:ACD.

8.(多選)(2020?山東臨沂市?高一期末)己知251是同一平面內(nèi)的三個向量,下列命題中正確的是()

A.\a^b\<\anb\

B.若且方聲。,則。=乙

c.兩個非零向量三,b?若I,-在4I引+15],則4與5共線且反向

D.已知1=(1,2),^=(1,1),且少與4+義呂的夾角為銳角,則實數(shù)丸的取值范圍是(一|,口:

【答案】AC

【解析】對于A,由平面向量數(shù)量積定義可知卜石卜同忸際〈萬同,則|展方國萬||5|,所以力正確,

對于B,當(dāng),與工都和5垂直時,2與己的方向不一定相同,大小不一定相等,所以B錯誤,

對于C兩個非零向量6,B,若海一5|=團(tuán)+出|,可得(?!梗?=(|:|+|11)2,即-2。?力=2|。向,

cos6=-l,

則兩個向量的夾角為江,則2弓B共線且反向,故c正確;

對于D,已知1=(1,2),B=(1,1)且日與5+焉的夾角為銳角,

可得:?(5+勸)>0即|a|2+4.。>0可得5+3幾>。,解得義>——>

當(dāng)1與2+4的夾角為。時,5+/1力=(1+42+團(tuán),所以2+24=2+4=4=0

所以〃與a+Ab的夾角為銳角時義>—故D錯誤;

故選:4C.

9.(2320?浙江高一期末)已知H=W=a-B=2,c=(2-42)?+2^,則/?一々),卜一可的最小值為

【答案一公

【解析】\*c-a=(\-^X)a+Xb,c-b=(2-42)a+(2-l)^,

.e.^c-?j-^c-^j=^(l-42)6r+2^J^(2-42)tz+(2-l)Sj

=(16分-124+2)7+(-8%+74-1)3石+(萬一之)片,

代入卜卜W=〃?坂=2,

原式=5222一38%+6,

1949

.?.當(dāng)人=一時,原式最小值為——.

5252

49

故答案為:一二

52

10.(2020?湖北高一開學(xué)考試)在△A6C中,已知A8=2,|a+而|=|西-函

cos2A+2sii?O于=1,則麗在配方向上的投影為_________.

【答案】上

【解析】因為"+而卜"-詞,所以#+國2=(5-方丫

所以畫?。=0,即0=1

因為cos2A+2sin?=1,所以cos2A+2sin2<^^^=1即cos2A+2sin24=l,即

222

cos2A+cosA=0,所以2cos24+cosA-1=0解得cosA=-l或cos4=」

2

因為A£(0,£],所以COSA=2,即4=巳,所以5=工,

I2)236

因為AB=2,所以BC=2sinA=

所以麗在正方向上的投影為pg=石

故答案為:G

【點睛】

本題考查平面向量的幾何意義,屬于中檔題.

11.(2020?浙江杭州市?高一期末)已知平面向量3,5,其中|£|二2,|5|=1,的夾角是?,則忖一〃卜

;若f為任意實數(shù),則忖+目的最小值為.

【答案】26

【解析】由題意,平面向量5,其中|a|=2,|51=1,的夾角是

可得〃3=p|-|^|cOSy=2xlxCOSy=1,

則,一2同2=p|2+4|^|2-4a-^=4+4-4xl=4,所以卜一2可=2,

又由@+區(qū)|=J(£+r5)2=J/+2f+4=J(f+l)2+3,

所以當(dāng)f=T時,|。+回的最小值為6.

故答窠為:2:-73?

12.(2020?天津市濱海新區(qū)大港太平村中學(xué)高一期末)在△A6C中,AB=2,AC=3,N8AC=120。,

UUUJIMf.1-

。是BC中點,E在邊4c上,AE=2AC,ADBE=-,則|AO|=丸的值為________.

【答案】立1

23

所以福?/=|通'恁]

【解析】因為AB=2,AC=3,ZBAC=120,1°,ACcos120=-3,

由題意而=g(而+*),BE=BA+AE=AAC-AB^

所以|說『=-(AB++2ABAC+AC2j

I7

=_(4-6+9)=-,

所以1A。卜;

由而?礪二!可得"!■(而+衣)(4/—麗)=2/通.衣麗2

=^-|(2-1)-2=32-14'

解得2=1.

3

故答案為:

23

13.(2020?湖北黃岡市?高一期末)已知向量亢與向量聲的夾角為|■,且同=1,|同=3,H?伍一4所)=0.

(1)求;I的值

⑵記向量萬與向量3元一比的夾角為。,求cos20.

【答案】(1)4=3;

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