數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例及評(píng)析

數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例及評(píng)析

課例1等腰三角形的判定

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，哪位同學(xué)來(lái)敘述一下？

生1:等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角：等腰三

角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

師：很好.下面有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,△/優(yōu)是等腰三角形，AB=AC,一不留心，

它的一部分被墨水涂沒(méi)了，只留下一條底邊比和一個(gè)底角a同學(xué)們想一想，有沒(méi)有辦法

把原來(lái)的等腰三角形/a'重新畫(huà)出來(lái)?大家試試看。

圖I

［學(xué)生先畫(huà)出殘余圖形，略作思索，然后獨(dú)立畫(huà)圖.畫(huà)好后，學(xué)生間相互交流畫(huà)

法.教師在全班巡視，不時(shí)參加學(xué)生間的議論.最后由兩名學(xué)生口答畫(huà)圖的方法］

生2：先用量角器量出NC的度數(shù)，然后以眼為一邊，8為頂點(diǎn)畫(huà)出/B=NC,NB

和ZC的一邊相交得到頂點(diǎn)兒如圖2左所示。

圖2

生3：取回邊上的中點(diǎn)〃，用三角板過(guò)〃作理的垂線，與NC的一邊相交得到交點(diǎn)

A,連結(jié)AB.如圖2右所示.

師：很好!剛才我看了一下，同學(xué)們大都想出了上面兩種畫(huà)法.第一種方法，用角相等

的方法來(lái)畫(huà).第二種方法用過(guò)一邊中點(diǎn)作垂線的方法來(lái)畫(huà)，同學(xué)們，你們認(rèn)為這樣畫(huà)出來(lái)的

三角形都是等腰三角形嗎？

生眾：是的.

師:為什么是等腰三角形呢?這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容一一“等腰三角形的判定”,

［板書(shū)課題］

師：要判定剛才作出的三角形是等腰三角形，應(yīng)當(dāng)給出證明.我們先分析第一種畫(huà)法，

即在兩角相等條件下能否判定畫(huà)出的是等腰三角形?大家想一想，在這里已知是什么？求證又

是什么？

生4：已知：在中，ZB=NC,求證：AB=AC

［評(píng)］第一種畫(huà)法正好可以得出這節(jié)課要學(xué)的判定定理，第二種畫(huà)法則是今后學(xué)習(xí)線段

垂直平分線性質(zhì)的事實(shí)基礎(chǔ).據(jù)了解，當(dāng)時(shí)學(xué)生還有將殘余圖對(duì)折的第三種畫(huà)法，而這又是

等腰三角形對(duì)稱性的體現(xiàn).理論源干生活，對(duì)于初學(xué)平面幾何的學(xué)生來(lái)說(shuō)，選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)讓

他們從個(gè)體的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，可以提高其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.在這里，等腰三角形的判定定

理不是由教師給出，而是學(xué)生憑經(jīng)驗(yàn)畫(huà)圖，那么畫(huà)出的圖形究竟是不是等腰三角形呢?產(chǎn)生

了問(wèn)題，然后從問(wèn)題出發(fā)，得出判定定理.這樣做，改變了學(xué)生只是被動(dòng)接受的狀況，因此,

學(xué)習(xí)的興趣和積極性大有提高。

師：考慮一下，這個(gè)問(wèn)題怎樣來(lái)證明，已知告訴我們的是兩個(gè)角相等，要求證明的是

兩條線段相等。那么，要證明兩條線段相等，常用什么方法？

生眾：三角形全等.

師：圖上有嗎？

生眾：沒(méi)有.

師：那怎么辦？

生眾：添輔助線.

師：同學(xué)們動(dòng)手做一做，怎么添輔助線，又怎么證明？把主要證明過(guò)程寫(xiě)下來(lái).

［學(xué)生練習(xí)，教師巡視了解情況.待全班學(xué)生基本完成證明之后，教師要求學(xué)生相互議

論：還有哪些不同的證明方法?全體同學(xué)對(duì)不同的證法很感興趣，接著，教師請(qǐng)學(xué)生敘述自

己是怎么證明的］

生5：作NA的平分線“，交比1于7,如圖3左所示，在AR4T和AC4T中,

Z=N2（角平分線定義），

<NB=NC（已知），

AT=AT（公共邊），

ABATsAC4T（角角邊）

AB=AC（全等三角性形對(duì)應(yīng)邊Ifl等）.

師；這位同學(xué)添了NA的平分線，通過(guò)“角角邊”來(lái)證明三角形全等，從而得到4層o

還有其他方法嗎？

生6：過(guò)4點(diǎn)作垂足為"如圖3中所示.

AD±BC,ZABD=ZADC.

在AW8和AWOI?,

ZABD=ZADC,

<ZB=ZC,

AD=AD,

.?.AADB=AA￡）C

：.AB^AC

師：這位同學(xué)作了應(yīng)'邊上的高4A兩個(gè)直角三角形全等，還有其它方法嗎？生7：作

比■邊上的中線4帆如圖3右所示，用“邊角邊”證全等

加/是應(yīng)'邊上的中線，BM=CM.

在AAMB和A4MC中

BM=CM,

?AM=AM,

ZB=NC,

嗯［這名同學(xué)發(fā)現(xiàn)不對(duì)，停頓不講了，不少同學(xué)也紛紛指出他的錯(cuò)誤，這是“邊

邊角”，不能證明三角形全等］

［評(píng)］想出如此多樣的證明方法，可見(jiàn)興趣的力量是不可低估的.“知之者，不如好之者;

好之者，不如樂(lè)之者”，由“好"和''樂(lè)”所產(chǎn)生的迫切追求和探索知識(shí)的熱情是克服一切

困難的內(nèi)部動(dòng)力

師：經(jīng)過(guò)證明我們知道，剛才大家通過(guò)畫(huà)圖獲得的那個(gè)幾何命題是正確的，它可以作為

“等腰三角形的判定定理”，同學(xué)們能不能用語(yǔ)言來(lái)正確敘述一下這條判定定理？

生8：有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形.［教師板書(shū)］

師：大家有不同意見(jiàn)嗎?在沒(méi)有說(shuō)明它是等腰三角形之前，能不能講“底角”？

生眾：不能！

［教師擦去“底”字，定理變?yōu)椤坝袃蓚€(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，然后，教師要

求學(xué)生翻開(kāi)課本，集體朗讀課本上的判定定理：“如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩

個(gè)角所對(duì)的邊也相等］

師：課本上講的和同學(xué)們講的似乎有些不同，但實(shí)質(zhì)上是一致的.同學(xué)們講的等腰三角

形沒(méi)講明是哪兩條邊相等，課本上講清楚了，是相等的角所對(duì)的邊相等，所以這條判定定理

又簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”.此外，能不能判定第二種畫(huà)法畫(huà)出的三角形也是等腰三角形呢?這個(gè)

問(wèn)題留給大家課后去考慮.有了這條判定定理，今后我們證明線段相等，又多了一種方法：

在一個(gè)三角形中，如果角相等了，就可以得到所對(duì)的邊也相等.下面我們一起應(yīng)用這條定理

來(lái)研究一些題目：先看第一個(gè)題目：

求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角

形.

想一想，題設(shè)是什么？結(jié)論又是什么？如何寫(xiě)成己知、求證的形式？

生9：題設(shè)是“三角形的一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊”，結(jié)論是“這個(gè)三角

形是等腰三角形”.

師：結(jié)合圖4左，具體說(shuō)一下.

生9：已知：Zl=Z2,AE//BC.求證：AB=AC.

師：這個(gè)題目要求證明一個(gè)三角形中的兩條邊相等，應(yīng)該怎樣證？

生眾：只要證兩個(gè)角相等.

師：題目已知是N1=N2,能不能使已知的兩個(gè)角相等和要證明的兩個(gè)角相等建立聯(lián)

系?思考一下請(qǐng)同學(xué)們回答.

［不少學(xué)生舉手要求回答，此時(shí)教師指定一名學(xué)生口述］

生10：4〃〃BC（已知），N1=N3（兩直線平行，同位角相等），N2=NC（兩直

線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；Z1=Z2,（己知），ZB=ZC（等量代換），（等角對(duì)等

邊）.

［教師隨學(xué)生口述板書(shū)］

師：很好。本題要求證△ABC的兩邊｛氏4C,其實(shí)只要證明NB=NC,由已知的角平

分線性質(zhì)就容易證出。接下來(lái)，我們研究第二個(gè)題目：

如圖4右，歐中，ZB=ZC,BD=CE,求證N1=N2,。

這個(gè)題目是證明兩個(gè)角相等，看清N1和N2在圖中的位置。請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)畫(huà)、想想，如

何充分利用已知條件。

［學(xué)生在圖上比劃，簡(jiǎn)要地記下證明的思路］

師：就做到這里，請(qǐng)哪位同學(xué)把你思考的主要過(guò)程講一講？

生11：要證明N1=N2,,就必須先證明力方亞；要得到力慶魅,,我是通過(guò)三角形全等

的方法來(lái)解決的。

師：哪兩個(gè)三角形？

生11：△/勿和A/Z

師：你用什么方法證它們?nèi)龋?/p>

生11：我是用“邊角邊”的方法。AB-AC,NB=NC,BD=CE.

師：條件中沒(méi)有4?=/，??！

生11：這在△/比1中由N3=NC可得。

師：這位同學(xué)根據(jù)已知條件4=NC,利用剛才學(xué)到的判定定理“等角對(duì)等邊”得出

了AB=AC,再結(jié)合已知條件的第N8=NC,用這三條件推出了△ABD和△ACE全等，于

是》AE,最后在AADE中利用等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對(duì)等角”得出N1=N2。

［教師邊講邊板書(shū)下列思路］

方法一

ZB=ZC=>AB=AC

BD=CE

N8=NC卜n\ABD=AACEnA￡>=AEnN1=Z2.

AB=AC

師：還有沒(méi)有不同的方法？

生12：要證，可以用等角的補(bǔ)角來(lái)證，就是先證NA￡>8=NA￡C

師：NAO6=NAEC是怎么得來(lái)的？

生12：是用三角形全等，就是AABO三AACE得出的。

師：這位同學(xué)的思路是：［教師板書(shū)］

方法二

AABD=AACEnZADB=NA￡C=>N1=N2。

師：還有其他方法嗎？

生13：用全等三角形的對(duì)應(yīng)角來(lái)證。

師：哪兩個(gè)三角形全等？

生13：AAE8和AAZ5C。

師：這兩個(gè)三角形為什么全等？

生13：因?yàn)榉?，所以BI升D后CE+ED,就是止勿，加上Z8=NC,AB=AC,所以

三角形全等。

師：對(duì)，很好！這位同學(xué)先由等式性質(zhì)得出此切，然后根據(jù)N6=NC,結(jié)合今天學(xué)

習(xí)的等腰三角形的判定定理得/定/U,最后利用“邊角邊”得AABE與AACD全等，馬上得

出對(duì)應(yīng)角相等。［板書(shū)］

方法三（略）

師：很好！這道題同學(xué)們想出了很多方法，第一種方法：把N1和N2理解為同一個(gè)三

角形的兩個(gè)內(nèi)角，用“等邊對(duì)等角”的思路結(jié)合三角形全等得到。第二種方法：通過(guò)等角的

補(bǔ)角來(lái)證，也是結(jié)合三角形全等得到。第三種方法：是把/I和N2直接看作兩個(gè)全等三角

形的對(duì)應(yīng)角證出.想出的方法多，說(shuō)明同學(xué)們能夠從不同的途徑去考慮問(wèn)題。

［評(píng)］這兩道基本例題編排得很好。第一道題比較容易做，是等腰三角形判定定理的簡(jiǎn)

單應(yīng)用。它安排在練習(xí)的開(kāi)頭，讓所有學(xué)生都能順利完成，由淺入深是必要的。第二道題則

進(jìn)了一層，證明時(shí)既要應(yīng)用判定定理，又要應(yīng)用性質(zhì)定理，繞了個(gè)彎，而且可有幾條證明途

徑，這可以了解學(xué)生靈活運(yùn)用以往學(xué)過(guò)知識(shí)的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，配置合適的習(xí)題，并且

有效地利用它們，對(duì)于學(xué)生在課堂上獨(dú)立地、積極地進(jìn)行認(rèn)識(shí)活動(dòng)具有重要作用，值得引起

注意。

圖5左圖5右

師:下面我們一起來(lái)研究第三個(gè)題目：如圖5左所示,在△中，已知ZABC=ZACB,

60平分ZB,CO平分NC,請(qǐng)同學(xué)們想想看，在這張圖上，由這兩個(gè)己知條件，你能導(dǎo)出

什么結(jié)論？

生14：可以得出=

師：能不能從道理上說(shuō)明一下？

生14：因?yàn)镹B=NC,80平分N8,CO平分NC,根據(jù)等量的一半相等，可以得到

ZOBC^ZOCB.另外還可以得到如理由是“等角對(duì)等邊工

師：好！現(xiàn)在把這個(gè)題目變化一下，大家看清楚，就在這張圖上，過(guò)。作一條直線妒

和邊比'平行，與4?交于后與"1交于尸，如圖5右所示。

請(qǐng)同學(xué)們考慮兩個(gè)問(wèn)題：①仔細(xì)尋找一下，這張圖中有幾個(gè)等腰三角形?為什么?②添上

去的這條線段打■和圖中的線段EB、叱之間有沒(méi)有關(guān)系?如果有，是怎樣一種關(guān)系？

［學(xué)生思考一兩分鐘后，教師要求他們相互討論，頓時(shí)氣氛熱烈。有些學(xué)生認(rèn)為有兩個(gè)

或三個(gè)等腰三角形，另一些學(xué)生則認(rèn)為共有五個(gè)等腰三角形，還高興地把自己的理由說(shuō)給其

他同學(xué)聽(tīng)。在討論線段EF時(shí)，不同意見(jiàn)更多了。有的說(shuō)。是線段"的中點(diǎn)，因此用是必

或咫的兩倍，還有的說(shuō)房等于嵌尾的和教師在各個(gè)討論組之間巡視，并參加一

些小組討論］

師：好！討論到這里，請(qǐng)同學(xué)們發(fā)表意見(jiàn)。先回答第一個(gè)問(wèn)題：圖中有幾個(gè)等腰三角形?

生15：有五個(gè)。

師：哪五個(gè)？

生15：'ABC、\OBC、ZAEF、bEOB、\FOC。

回答略

師：很好！大多數(shù)同學(xué)都看出有五個(gè)等腰三角形。第二個(gè)問(wèn)題：添上去的線段跖和歇

叱之間有沒(méi)有關(guān)系？如果有，是怎樣一種關(guān)系？

生16：有關(guān)系，EO、FO、EB、FC這四條線段都相等。

師：講講理由看。

生16：因?yàn)锳/SC是等腰三角形，所以。/8：AC-,因?yàn)椤?既是等腰三角形，所以心"；

利用等式性質(zhì)就可以得到H&-FQ又因?yàn)楹汀魇?都是等腰三角形，所以吩被FOFO.

這樣1%、FO、EB、凡1四條線段就都相等了。

師：大家聽(tīng)懂沒(méi)有?這位同學(xué)用了四個(gè)等腰三角形，也就是通過(guò)四組對(duì)邊相等并結(jié)合等

式性質(zhì)推得結(jié)論。還有其他的方法嗎?請(qǐng)同學(xué)們回去思考。根據(jù)這四條線段相等，EF和EB、

叱的關(guān)系是怎樣的？噢！他還沒(méi)有講完

生16："是以或用的2倍。

師：很好。四條線段相等了，）就是班或用的2倍。

生16：還有，Ef^E&rFa

師：對(duì)!還可以得到上凱/匕。我們把這個(gè)題目再改變一下，原來(lái)Z6、NC是相等的，

現(xiàn)在變成不相等，但是，BO、S還是ZB、NC的平分線，還是即/6C。認(rèn)真想一想，這

個(gè)圖形中還有沒(méi)有等腰三角形?若有，又有幾個(gè)?用和仍、兄1之間還有沒(méi)有關(guān)系?如果有，

又是怎樣一種關(guān)系？

生17：沒(méi)有等腰三角形。

師：他認(rèn)為這圖上沒(méi)有了，同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，究竟有沒(méi)有？

生眾：有的。

師：有哪幾個(gè)？

生18：bEOB和bFOC。

師：理由？

生18：因?yàn)閮芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到N￡V廬N08C,因?yàn)?0是角平分線，所以

^EBO=^OBC,所以N員處=N鹵。，△加是等腰三角形。A酥也是等腰三角形的道理是

一樣的。

師：噢！還有等腰三角形，不過(guò)由五個(gè)變成了兩個(gè)。第二個(gè)問(wèn)題，線段跖和EB、FC

之間還有沒(méi)有關(guān)系？

生19：仍有旌既叱這個(gè)關(guān)系。

師：對(duì)，仍有這一種關(guān)系，在等腰三角形△屐中，EO=EB,在等腰三角形△凡匕中，

FO=FC,合起來(lái)就是小砂凡；這個(gè)題目，從原來(lái)兩個(gè)角相等，變成了不等，但是角平分線

和平行線這兩個(gè)條件沒(méi)有改變。bEOB、△/?比1還是等腰三角形，所以還是保持著上既先

的關(guān)系。

［評(píng)］這道討論題比前面兩道題目要求更高一些。第一，它要求學(xué)生能根據(jù)已知條件自

行推測(cè)可能的結(jié)論。第二，通過(guò)圖形的變化、引申，讓學(xué)生在條件變化時(shí)觀察論證結(jié)論的變

化。這些做法，可逐步培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活轉(zhuǎn)換的基本能力，發(fā)展學(xué)生的思維，提高課

堂教學(xué)的時(shí)間利用率。課后，我們?cè)圆煌愋偷念}目進(jìn)行當(dāng)堂效果測(cè)驗(yàn)，平均分為79.51,

可見(jiàn)適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，是使學(xué)生熟練掌握解題技能技巧的有效措施之一。

師：今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么呢?第一，我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的判定定理：“等角對(duì)

等邊”。它與前面我們學(xué)過(guò)的等腰三角形的性質(zhì)定理：“等邊對(duì)等角”，都是說(shuō)同一個(gè)三角形

邊角之間的一種相依關(guān)系，即在一個(gè)三角形中，邊等可以得到角等，角等可以得到邊等。今

天初步應(yīng)用判定定理研究了一些題目。第二，這個(gè)判定定，理是同學(xué)們通過(guò)畫(huà)圖、估計(jì)，然

后加以證明，由自己得出來(lái)的，在證明定理和應(yīng)用定理時(shí)，同學(xué)們都注意從幾種途徑來(lái)思考，

得到了很多解法。在第三個(gè)練習(xí)中，同學(xué)們不僅能夠根據(jù)已知條件自行推測(cè)可能的結(jié)論，而

且能在已知條件發(fā)生變化時(shí)，觀察結(jié)論的變化，這些都是訓(xùn)練我們思維能力的有效方法。請(qǐng)

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)作業(yè)中也要多進(jìn)行這種嘗試。

今天的課外作業(yè)：課本第83頁(yè)，習(xí)題八3,7A組的2、3、4、5、6題。

思考題：第二種畫(huà)法得到的是不是等腰三角形?為什么？思考題不必做在作業(yè)本上，

［評(píng)］該課例是我校一位數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)實(shí)例，也是我校“數(shù)學(xué)教改實(shí)驗(yàn)小組”

總結(jié)出的一種典型數(shù)學(xué)教學(xué)方法。這種方法有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)參

與精神，發(fā)展能力。我校數(shù)學(xué)組以此種教學(xué)方法為樞紐的教改實(shí)驗(yàn)中，已取得了實(shí)踐與理論

認(rèn)識(shí)升華的雙豐收。在全校范圍內(nèi)大面積提高了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

這種方法的程序是：誘導(dǎo)一一嘗試一一變式一一歸納一一回授一一調(diào)節(jié)。具體做法是：

(1)啟發(fā)誘導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

教師根據(jù)教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)，編制問(wèn)題，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，在強(qiáng)烈的求知欲望下，

在注意力高度集中、思想最活躍的狀態(tài)中進(jìn)行嘗試學(xué)習(xí)。

(2)嘗試探求知識(shí)

教師指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展嘗試活動(dòng)。學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、歸納和推演等方法，

嘗試探求新知識(shí)和新方法，解決提出的問(wèn)題。

(3)嘗試變式練習(xí)

通過(guò)變更概念中的非本質(zhì)特征，變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論；變換問(wèn)題的形式或內(nèi)容；配

置與新知識(shí)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，讓學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活應(yīng)變、獨(dú)立

思考的能力。

(4)歸納結(jié)論，納入知識(shí)系統(tǒng)

組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納概括知識(shí)和技能的一般結(jié)論，結(jié)合必要的講解，揭示這些結(jié)論在教

材整體中的相互關(guān)系和結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一性，揭示新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

(5)回授嘗試效果，組織質(zhì)疑和講解

教師通過(guò)觀察、交談、提問(wèn)、分析、課內(nèi)巡視、課堂練習(xí)和考查考試等反饋方法，及時(shí)

了解學(xué)生掌握知識(shí)情況，回授嘗試效果，有針對(duì)性地進(jìn)行質(zhì)疑和講解。

(6)單元教學(xué)效果的回授和調(diào)節(jié)。

在單元學(xué)完之后，再次進(jìn)行教學(xué)反饋，給那些對(duì)這段內(nèi)容學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，予以個(gè)別

指導(dǎo)和幫助。上述幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)相輔相成，組成了一個(gè)有特色的教學(xué)結(jié)構(gòu)，而反饋調(diào)節(jié)更

是貫穿課堂教學(xué)始終。這種教學(xué)方法是我校數(shù)學(xué)組一種基本教學(xué)模式。這種教學(xué)方法所蘊(yùn)含

的原理，如情意原理、序進(jìn)原理、活動(dòng)原理和反饋原理需要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)。

本節(jié)課除了具有前面已經(jīng)評(píng)述過(guò)的創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣以及組織嘗試練習(xí)等

特點(diǎn)外，還采用了講、議、練結(jié)合的方法。教師通過(guò)觀察、提問(wèn)、巡視、談話等活動(dòng)，及時(shí)

了解學(xué)生的學(xué)習(xí)、練習(xí)過(guò)程，隨時(shí)反饋調(diào)節(jié)教法，盡量做到個(gè)別輔導(dǎo)，把學(xué)生的思維發(fā)展與

學(xué)習(xí)效果結(jié)合起來(lái)。

課例2三角形全等的判定

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)際操作理解“學(xué)習(xí)三角形全等的四種判定方法”的必要性.

2.比較熟練地掌握應(yīng)用邊角邊公理時(shí)尋找非已知條件的方法和證明的分析法，初步培養(yǎng)學(xué)

生的邏輯推理能力.

3.初步掌握“利用三角形全等來(lái)證明線段相等或角相等或直線的平行、垂直關(guān)系等”的方

法.

4.掌握證明三角形全等問(wèn)題的規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

應(yīng)用三角形的邊角邊公理證明問(wèn)題的分析方法和書(shū)寫(xiě)格式.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、實(shí)例演示，發(fā)現(xiàn)公理

1.教師出示幾對(duì)三角形模板，讓學(xué)生觀察有幾對(duì)全等三角形，并根據(jù)所學(xué)過(guò)的全等三

角形的知識(shí)動(dòng)手操作，加以驗(yàn)證，同時(shí)寫(xiě)出全等三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

2.在此過(guò)程中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生注意以下幾點(diǎn)：

(1)可用移動(dòng)三角形使其重合的方法驗(yàn)證圖3-49中的三對(duì)三角形分別全等，并根

據(jù)圖中已知的三對(duì)對(duì)應(yīng)元素分別相等的條件，可以證明結(jié)論成立.如圖3-49(c)中，由

AB=AC=3cm,可將aABC繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)到B與C重合；由于NBAD=NCAE=120°,保證AD能與

AE重合；由AD=AE=5cm,可得到D與E重合.因此aBAD可與4CAE重合，說(shuō)明△BAD0^CAE.

(2)每次判斷全等，若都根據(jù)定義檢查是否重合是不便操作的，需要尋找更實(shí)用的判斷方

法一一用全等三角形的性質(zhì)來(lái)判定.

(3)由以上過(guò)程可以說(shuō)明，判定兩個(gè)三角形全等，不必判斷三條邊、三個(gè)角共六對(duì)對(duì)應(yīng)元

素均相等，而是可以簡(jiǎn)化到特定的三個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生歸納出：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相

等的兩個(gè)三角形全等.

3.畫(huà)圖加以鞏固.

教師照課本上所敘述的過(guò)程帶領(lǐng)學(xué)生分析畫(huà)圖步驟并畫(huà)出圖形,理解“已知兩邊及夾角畫(huà)三

角形”的方法，并加深對(duì)結(jié)論的印象.

AD

圖3-49

二、提出公理

1.板書(shū)邊角邊公理，指出它可簡(jiǎn)記為“邊角邊”或“SAS”，說(shuō)明記號(hào)“SAS'的含義.

2.強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：

(1)使用條件：三角形的兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等.

(2)使用時(shí)記號(hào)“SAS”和條件都按邊、夾角、邊的順序排列，并將對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母順

序?qū)懺趯?duì)應(yīng)位置上.

3.板書(shū)定理證明應(yīng)使用標(biāo)準(zhǔn)圖形、文字及數(shù)學(xué)表達(dá)式，正確書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程.

如圖3-50,在ZiABC與中,(指明范圍)

（AB二A'H',（已知）,

^ZA=ZA\＞（列齊條件）

【AC=A'C',（已知），

△ABC?ZSA'B'C'（SAS）.（得出結(jié)論）

三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)

1.充分發(fā)揮一道例題的作用，將條件、結(jié)論加以變化，進(jìn)行變式練習(xí)，

例1已知：如圖3-51,AB=CB,ZABD=ZCBD.求證：^ABD絲Z\CBD.

分析：將已知條件與邊角邊公理對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，只需再有一組對(duì)應(yīng)邊相等即可，這可由

公共邊相等BD=BD得到.

說(shuō)明：（1）證明全等缺條件時(shí)，從圖形本身挖掘隱含條件，如公共邊相等、公共角相等、

對(duì)頂角相等，等等.

（2）學(xué)習(xí)從結(jié)論出發(fā)分析證明思路的方法（分析法）.

分析：△ABDgZXCBD

介

'邊AB=CB（已知）

角ZABD^ZCBD（已知）

〔邊未知

圖3-51

因此只能在兩個(gè)等角分別所在的三角形中尋找與AB,CB夾兩已知角的公共邊BD.

（3）可將此題做條種變式練習(xí)：

練習(xí)1（改變結(jié)論）如圖3-51,已知AB=CB,NABD=NCBD.求證:AD=CD,BD平分NADC.

分析：在證畢全等的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，即AD=CD；對(duì)

應(yīng)角相等/ADB=NCDB,即BD平分NADC.因此，通過(guò)證明兩三角形全等可證明兩個(gè)三角形中

的線段相等或和角相關(guān)的結(jié)論，如兩直線平行、垂直、角平分線等等.

練習(xí)2（改變條件）如圖3-51,己知BD平分NABC,AB=CB.求證：ZA=ZC.

分析：能直接使用的證明三角形全等的條件只有AB=CB,所缺的其余條件分別由公共

邊相等、角平分線的定義得出.這樣，在證明三角形全等之前需做一些準(zhǔn)備工作.教師板書(shū)

完整證明過(guò)程如下：

?ZBD平分/ABC,（已知）

①（準(zhǔn)備條件）

，NABD二NCBD.（角平分或的定義）

②（指明范圍）

在△ABD與△CBD中，

AB=CB,（已知）

③（列齊條件）

</ABDnNCBD,（已證）j

（BD=BD（公共邊）」

△ABD8△CBD.（SAS）\

④（得出結(jié)論）

/AeNC.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；

以上四步是證明兩三角形全等的基本證明格式.

（4）將題目中的圖形加以有規(guī)律地圖形變換，可得到相關(guān)的一組變式練習(xí)，使剛才的

解題思路得以充分地實(shí)施，并加強(qiáng)例題、習(xí)題之間的有機(jī)聯(lián)系，熟悉常見(jiàn)圖形，同時(shí)讓學(xué)生

總結(jié)常用的尋找所缺邊、缺角條件的方法.

練習(xí)3如圖3-52（c）,已知AB=AE,AD=AF,Z1=Z2.求證：DB=FE.

分析：關(guān)鍵由N1=N2,利用等量公理證出NBAD=NEAF.

練習(xí)4如圖3-52（d）,已知A為BC中點(diǎn)，AE//BD,AE=BD.求證：AD〃CE.

分析：由中點(diǎn)定義得出AB=AC；由AE〃BD及平行線性質(zhì)得出NABD=NCAE.

練習(xí)5已知：如圖3-52（e）,AE//BD,AE=DB.求證：AB//DE.

分析：由AE〃BD及平行線性質(zhì)得出NADB=NDAE；由公共邊AD=DA及已知證明全等.

練習(xí)6已知：如圖3—52（f）,AE//BD,AE=DB.求證：AB//DE,AB=DE.

分析：通過(guò)添加輔助線——連結(jié)AD,構(gòu)造兩個(gè)三角形去證明全等.

練習(xí)7己知：如圖3-52（g）,BA=EF,DF=CA,ZEFD=ZCAB.求證：ZB=ZE.

分析：由DF=CA及等量公理得出DA=CF；由NEFD=NCAB及“等角的補(bǔ)角相等”得出

ZBAD=ZEFC.

練習(xí)8已知：如圖3—52（h）,BE和CD交于A,且A為BE中點(diǎn)，EC_LCD于C,BDLCD

于D,CE=±BD.求證：AC=AD.

分析：由于目前只有邊角邊公理，因此，必須將角的隱含條件一一對(duì)頂角相等轉(zhuǎn)化為已

知兩邊的夾角NB=NE,這點(diǎn)利用“等角的余角相等”可以實(shí)現(xiàn).

練習(xí)9已知如圖3—52（i）,點(diǎn)C,F,A,D在同一直線上，AC=FD,CE=DB,EC

±CD,BD±CD,垂足分別為C和D.求證：EF//AB.

在下一課時(shí)中，可在圖中連結(jié)EA及BF,進(jìn)一步統(tǒng)習(xí)證明兩次全等?

小結(jié)：在以上例1及它的九種變式練習(xí)中，可讓學(xué)生歸納概括出目前常用的證明三角形

全等時(shí)尋找非己知條件的途徑.

缺邊時(shí)：①圖中隱含公共邊；②中點(diǎn)概念；③等量公理④其它?

缺角時(shí).：①圖中隱含公共角；②圖中隱含對(duì)頂角；③三角形內(nèi)角和及推論④角平分線定義;

⑤平行線的性質(zhì)；⑥同（等）角的補(bǔ)（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它?

例2已知：如圖3-53,ZXABE和4ACD均為等邊三角形.求證：BD=EC.

分析：先選擇BD和EC所在的兩個(gè)三角形AABD與AAEC,已知沒(méi)有提供任一證兩個(gè)三

角形全等所需的直接條件，均需由等邊三角形的定義提供.

E

圖3-53

四、師生共同歸納小結(jié)

1.證明兩三角形全等的條件可由定義的六條件減弱到至少幾個(gè)？邊角邊公理是哪三個(gè)

條件？

2.在遇到證明兩三角形全等或用全等證明線段、角的大小關(guān)系時(shí)，最典型的分析問(wèn)題

的思路是怎樣的？你體會(huì)這樣做有些什么優(yōu)點(diǎn)？

3.遇到證明兩個(gè)三角形全等而邊、角的直接條件不夠時(shí)，可從哪些角度入手尋找非已知條

件？

五、練習(xí)與作業(yè)

練習(xí)：課本第28頁(yè)中第1題，第30頁(yè)中1,3題.

作業(yè)：課本第32頁(yè)中第6,7,8,9,10題.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.

1.課本第3.5節(jié)內(nèi)容安排3課時(shí)，前兩課時(shí)學(xué)習(xí)三角形全等的邊角邊公理，重點(diǎn)練習(xí)直接

應(yīng)用公理及證明格式，初步學(xué)習(xí)尋找證明全等所需的非己知條件的方法，以及利用性質(zhì)證明

邊角的數(shù)量關(guān)系及直線的位置關(guān)系，第3課時(shí)加以鞏固并學(xué)習(xí)解決應(yīng)用題和兩次全等的問(wèn)

題.

2.本節(jié)將“理解全等三角形的判定方法的必要性“列為教學(xué)目標(biāo)之一，目的是引起教師和

學(xué)生的重視，只有學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到了研究判定方法的必要性，才能從思想上接受判定方法，

并發(fā)揮出他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.

3.本節(jié)課將“分析法和尋找證明全等三角形時(shí)非己知條件的方法”作為教學(xué)目標(biāo)之一，意

在給學(xué)生歸納一些常用的解題思路，以便將它作為證明全等三角形的一種技能加以強(qiáng)化.

4.教材中將“利用證明兩個(gè)三角形全等來(lái)證明線段或角相等”的方法做為例5出現(xiàn)，為時(shí)

過(guò)晚，達(dá)不到訓(xùn)練的目的，因此教師應(yīng)提前到第一、二課時(shí)，就教給學(xué)生分析的方法，并從

各種角度加以訓(xùn)練.

5.教師可將例題1和幾種變式練習(xí)制成投作影片（圖3-52）提高課堂教學(xué)效率.教學(xué)使用

時(shí)，重點(diǎn)放在題目的分析上，并體現(xiàn)出題目之間圖形的變化和內(nèi)在聯(lián)系.

6.本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的兩課時(shí)既教會(huì)學(xué)生分析全等問(wèn)題的思路一一分析法和尋找非已知條件的

方法，又要求他們落實(shí)證明的規(guī)范步驟一一準(zhǔn)備條件，指明范圍，列齊條件和得出結(jié)論，使

學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá).學(xué)生學(xué)生遇到證明三角形全

等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá)。

課例3初二《平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用》習(xí)題課

［教學(xué)目標(biāo)］

1、綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定來(lái)解決兒何問(wèn)題

2、培養(yǎng)學(xué)生分析幾何問(wèn)題的方法

［教學(xué)重難點(diǎn)］讓學(xué)生學(xué)會(huì)證明和根據(jù)需要來(lái)構(gòu)造平行四邊形

［教學(xué)過(guò)程］復(fù)習(xí)

1、平行四邊形的性質(zhì)和判定

2、理解學(xué)習(xí)了平行四邊形后，證明全等和利用平行四邊形的關(guān)系

二、例題講解

例1、4ABC中，延長(zhǎng)中線CE至G,使EG=CE,延長(zhǎng)中線BD至F,使DF=BD,求證：G,A、

F三點(diǎn)共線。

證明思路：

1、證明四邊形GBCA為平行四邊形BC〃GA

2、證明四邊形ABCF為平行四邊形BC〃AF

因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)A作BC的平行線只有一條

.'.GA與AF為同一條直線

即G、A、F為三點(diǎn)共線

［注］通過(guò)證明平行于同一條直線來(lái)證明三點(diǎn)共線

例2、ABCD中，AE_LBD于E,CF_LBD于F,G、H分別為AD、BC的中點(diǎn)，求證：EF和GH

互相平分。

證明：；AE_LBD,G是AD中點(diǎn)

.,.GE=GD=AD且NGED=/GDE

同理HF=HB=BC且NHFB=NHBF

?.?四邊形ABCD是平行四邊形

，AD〃BC,AZGDE=ZHBF

，GE=HF,且/GED=NHFB

，GE〃HF四邊形GEHF為平行四邊形

.?.EF和GH互相平分

［注］結(jié)合直角三角形的性質(zhì)來(lái)構(gòu)造平行四邊形的條件，從而證明對(duì)角線互相平分

例3、已知△ABC中，AB=AC,D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BE=CD,求證：DE

被BC平分。

證明：作EP〃AD交BC于P,連結(jié)EP、EC、PD

，ZEPB=ZACB

XVAB=AC,

,ZB=ZACB

,ZB=ZEPB

，EB=EP=CD

，EP〃CD,

四邊形PDCE是平行四邊形

，DE被BC平分

［注］構(gòu)造平行四邊形，從而證明線段平分

例4、如圖，已知Rtz!\ABC中，ACB=90°,CD±AB,垂足為D,AE平分CAB

交CD于F,過(guò)F作FH〃AB,交BC于II。求證：CE=BH

證明：過(guò)F作FP〃BC,交AB于P

...四邊形BPFH是平行四邊形

，PF=BH

又?.?/CEF=90-NCAE,ZCFE=ZAFD=90-ZDAE,AE平分NCAD

AZCEF=ZCFE,ACF=CE

在4ACF和4APF中，/CAF=NPAF,AF=AF,ZACF=ZB=ZAPF,

.,.△ACF^AAPF(AAS)

.\CF=FPACE=BH

［注］通過(guò)利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等，從而證明兩線段相等

例5、如圖，已知AABC,以BC為邊在點(diǎn)A的同側(cè)作正△DBC,以AC、AB為邊在AABC的外

部作正AEAC和正aFAB。求證：四邊形AEDF是平行四邊形。

證明：

「△ABF為正三角形.,.AB=FB,Zl+Z2=60°

同理,AE=AC,BC=BD,Zl+Z2=60N1=N3

在aBDF和4BCA中，

ABDF^ABCA(SAS)

,FD=ACXVAE=AC/.FD=AE同理，AF=ED，四邊形AEDF是平行四邊形

［注］通過(guò)證明全等來(lái)構(gòu)造平行四邊形的條件

三、課堂總結(jié)

這節(jié)課通過(guò)上述幾個(gè)例題的講解，加強(qiáng)了同學(xué)們對(duì)平行四邊形的理解和運(yùn)用的能力。

四、課后練習(xí)另補(bǔ)充

課例4用換元法解可化為一元二次方程的分式方程

課時(shí)安排：1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生學(xué)會(huì)用換元法解可化為一元二次方程的分式方程

德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的辨正唯物主義觀點(diǎn)，引導(dǎo)他們辨正的看待問(wèn)題

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力

教學(xué)重點(diǎn)：用換元法解可化為一元二次方程的分式方程

教學(xué)難點(diǎn)：使用換元法，即設(shè)元與換元

教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)介：

本節(jié)課內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)用去分母法解可化為一元二次方程的分式方程的基礎(chǔ)上

學(xué)習(xí)的。用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)解的分式方程的特點(diǎn)：主要是方程所含有的兩個(gè)分

式互為倒數(shù)，且分式的分子，分母一般為未知數(shù)次數(shù)不大于2的整式。用換元法不是解分式

方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用換元法把原方

程化簡(jiǎn)，把解一個(gè)較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的方程的問(wèn)題。

教學(xué)方法：本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué)

教學(xué)過(guò)程：分為兩部分

1.復(fù)習(xí)提問(wèn)

解分式方程的基本思想式什么？

解分式方程為什么必須驗(yàn)根？

2.講授新課

我們知道，解分式方程的一般方法是去分母法，但對(duì)一些特殊的分式方程，仍然用去分

母法來(lái)解，難度較大，運(yùn)算過(guò)程較復(fù)雜。

請(qǐng)大家考慮：2與2（aro,b/O）有什么關(guān)系？（學(xué)生回答：這兩個(gè)分式的乘積等于1,

ab

所以2與q是互為倒數(shù)關(guān)系）。接著追問(wèn)：如果設(shè)2=y,那么2等于什么？（學(xué)生回答：

ahab

-=-），又追問(wèn)：y與1有什么關(guān)系？因?yàn)閥與工之積等于1,所以y與1是互為倒數(shù)關(guān)

byyyy

系。我們共同分析下面的分式方程。

例1解方程2（尸+1）+6（：+1）=7

x+1x+1

分析：（1）如果用去分母法解這個(gè)分式方程，兩邊要同乘以（》+1）（—+1）得到一個(gè)難解的

四次方程，因此要尋求簡(jiǎn)捷的解法.

（2）我們觀察分式方程中的兩個(gè)分式有什么特點(diǎn)？抓住方程形式上的特點(diǎn)：方程中含有未

r24-1r4-1

知數(shù)的兩部分的式子~-與-V2-互為倒數(shù)。

X+1X+1

X2H-1r4-11

（3）由于具有上述的倒數(shù)關(guān)系，因此如果設(shè)-----=y則--=一（可以啟發(fā)

X+]X2+\y

學(xué)生回答）

所以原方程化簡(jiǎn)為2y+g=7

y

又可化為一元二次方程2y2-7y+6=0

邊啟發(fā)學(xué)生口述解的過(guò)程邊板書(shū)，然后總結(jié)解這類題的步驟。

例2解方程（上尸+5（上）+6=0

X4-1X+1

分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生觀察、分析這個(gè)分式方程，抓住方程形式上的特點(diǎn)：方程中含有未知數(shù)的兩

部分的式子（上了與（上），每式括號(hào)內(nèi)的分式都相同，一個(gè)式子是另一個(gè)式子的平

X+lX+1

方。由于具有這兩條特點(diǎn)，原方程可用換元法來(lái)解。

解以上例題時(shí)邊啟發(fā)學(xué)生口述解的過(guò)程邊板書(shū)，然后由學(xué)生總結(jié)解這類題的步驟。

用換元法解分式方程的一般步驟：

（1）以觀察、分析方程的特點(diǎn)，尋求換元和簡(jiǎn)捷途徑；

（2）設(shè)輔助未知數(shù)；

（3）用含有輔助未知數(shù)的代數(shù)式表示原方程中另外的代數(shù)式，把原方程化為含輔助未知數(shù)

的新方程；

（4）解關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；

（5）把輔助未知數(shù)的值代入原設(shè)，求出原方程未知數(shù)的值；

（6）驗(yàn)根，并做答。

練習(xí)：課后習(xí)題（118頁(yè)第2題），在學(xué)生解題時(shí)常在未知數(shù)系數(shù)處出現(xiàn)問(wèn)題，在此特給予

糾正并做說(shuō)明。

作業(yè)：課后習(xí)題（119頁(yè)第3題）

小結(jié)：

（1）解分式方程有兩種方法：去分母法，換元法

（2）用換元法解分式方程

換元法適合解分式方程的特點(diǎn)：a.倒數(shù)型b.平方型

解分式方程時(shí)，要善于分析，判斷方程屬于那種類型，然后解方程。

（3）無(wú)論那種方法解分式方程都要驗(yàn)根。

（紅橋區(qū)八十中學(xué)，孫文君）

［評(píng)］這節(jié)課的主要特點(diǎn)是采用探索法進(jìn)行習(xí)題課教學(xué)，注意暴露思維過(guò)程，效果顯

著。具體說(shuō)：（1）探索法是探索或設(shè)計(jì)教學(xué)的重要方法，它是以發(fā)展探究能力為目標(biāo)，以學(xué)

科的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)為內(nèi)容，以探索、發(fā)現(xiàn)為步驟的教學(xué)法。它是突出知識(shí)形成與建構(gòu)過(guò)程的

教學(xué)，必須把學(xué)生置于認(rèn)知主體的地位，讓學(xué)生自己來(lái)探索規(guī)律，在探索中建立自己有特色

的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（2）探索法要緊緊抓住“疑問(wèn)”，把學(xué)生的思維引向深入，疑問(wèn)可以揭示學(xué)生

認(rèn)識(shí)上的矛盾，可以對(duì)學(xué)生心理機(jī)制產(chǎn)生刺激，因此探索過(guò)程就是一個(gè)以問(wèn)題為中心，不斷

提出問(wèn)題，不斷分析問(wèn)題和不斷解決問(wèn)題的過(guò)程。根據(jù)已知與未知、新知識(shí)與舊知識(shí)、現(xiàn)象

與本質(zhì)之間的矛盾來(lái)明確探索課題，巧妙地存疑設(shè)問(wèn)，用懸念激發(fā)學(xué)生情趣，促進(jìn)思考。在

探索中，通過(guò)師生雙邊信息交流，力求把各種情、趣、意因素組織起來(lái)，達(dá)到最大限度發(fā)展

思維的目的，本課的“疑問(wèn)”環(huán)環(huán)相扣，步步深入，從而把用代數(shù)、三角、幾何諸形式解決

問(wèn)題的思路逐步展開(kāi)，使學(xué)生在探索過(guò)程中建立該問(wèn)題的較牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使本節(jié)課的重

點(diǎn)知識(shí)得到鞏固。

初中數(shù)學(xué)典型教學(xué)案例與反思

對(duì)《三角形外角和》的反思

中學(xué)：陳志福

新課程理念如何轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為始終讓我在思考，在嘗試，究竟怎樣教會(huì)學(xué)生思考，

才能使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化呢？聽(tīng)了向壩中學(xué)廖秀麗老師的一節(jié)課體會(huì)頗深。

首先他利用幾條直線相交分別做成的三朵小花，既復(fù)習(xí)了內(nèi)角和定理及其推導(dǎo)過(guò)程，又進(jìn)一

步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想（多邊形內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題），讓學(xué)生觀看花瓣上Nl+/2+N3=?

Zl+Z2+Z3+Z4=?Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=?其實(shí)/I、N2、Z3>/4、N5就是多邊

形的外角，學(xué)生借助平角定義很快得到和為360°此時(shí)再告訴學(xué)生這些角就是外角，讓學(xué)生

觀察外角特征，明確外角定義、外角個(gè)數(shù)、外角和的內(nèi)容，這一切全讓學(xué)生自己完成，使知

識(shí)由難變易，廖老師通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題、放映多媒體課件、課堂討論，中間貫穿鼓勵(lì)性語(yǔ)言，

并讓學(xué)生自己講解，鍛煉學(xué)生勇氣及語(yǔ)言表達(dá)能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，真正培養(yǎng)學(xué)生

的綜合應(yīng)用能力，學(xué)生在可見(jiàn)的情境中，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題，進(jìn)而達(dá)到知識(shí)的理解和

掌握，使學(xué)生真正參與到知識(shí)形成發(fā)展過(guò)程中來(lái)。

其次通過(guò)四道習(xí)題鞏固知識(shí)點(diǎn)后，提出一個(gè)問(wèn)題：“是否存在一個(gè)多邊形，它的每一個(gè)

外角都等于相鄰內(nèi)角的1/6”,課本習(xí)題是1/5,學(xué)生完成書(shū)上習(xí)題時(shí)大部分都先求內(nèi)角度數(shù),

再求邊數(shù)，做此題時(shí)角度為分?jǐn)?shù)，學(xué)生潛意識(shí)認(rèn)為不存在該多邊形，因?yàn)槌槐M，此題正好

糾正了學(xué)生一個(gè)思維誤區(qū)，我認(rèn)為此題非常必要，在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的基礎(chǔ)上，挖掘出一個(gè)

學(xué)生極易犯的錯(cuò)誤，有利于深化學(xué)生知識(shí)，且廖老師用（n-2）X180°=6X360方法解決更

簡(jiǎn)單，更能使思維上升一個(gè)高度.

總的來(lái)看廖老師的課十分成功，集體備課時(shí)對(duì)“如何引入外角？”產(chǎn)生的疑惑，是利

用跑步身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度，還是直接出示定義，她處理的非常到位，真正完成了新舊知識(shí)的銜

接過(guò)渡，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀形象的讓學(xué)生自己探索得出，這種講課思路值得我們借鑒，

新課程倡導(dǎo)教師“用教材”而不是簡(jiǎn)單的“教教材”，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，要融入自

己的科學(xué)精神和智慧，要對(duì)教材知識(shí)進(jìn)行重新組和，選取更好的事例對(duì)教材深加工，設(shè)計(jì)出

活生生的、豐富多彩的課來(lái)，充分有效的將教材的知識(shí)激活，形成有教師教學(xué)個(gè)性的教材知

識(shí)，所以我們可結(jié)合學(xué)生實(shí)際適當(dāng)改變例題，充分發(fā)掘教材中的情感因素，化生為熟，化難

為易，化理為趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的魅力，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和興趣，形成課堂教與學(xué)的合力，

我們要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)，真正成為學(xué)習(xí)的主人，教師要做好學(xué)生學(xué)習(xí)道路上的引路人。

初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)案例分析1

1時(shí)針?lè)轴槉A角問(wèn)題的教學(xué)

最近我們?cè)诮虒W(xué)研究中歸納并試行了一種“四同”教學(xué)研究法，也就是由同一位教師、

在同一個(gè)半天內(nèi)、分別對(duì)同一層次學(xué)生進(jìn)行同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容所展開(kāi)的課堂教學(xué)有效性的研究.

具體過(guò)程是：（1）執(zhí)教教師設(shè)計(jì)和授課；（2）課后點(diǎn)評(píng)和形成性測(cè)評(píng)；（3）執(zhí)教教師修改設(shè)

計(jì)后在平行班級(jí)再次授課；（4）再次進(jìn)行形成性測(cè)評(píng).由于這樣的教研活動(dòng)主題明確、針對(duì)

性強(qiáng)、便于對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行及時(shí)修正，而且形式簡(jiǎn)單、便于組織，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中具

有較高的實(shí)用價(jià)值，在教師培訓(xùn)中廣受歡迎.

下面以初中數(shù)學(xué)《時(shí)針?lè)轴樀膴A角問(wèn)題》的教學(xué)為例，闡述進(jìn)行的一次“四同”教學(xué)研

究.

一、第一節(jié)課的教學(xué)片斷

執(zhí)教老師提出問(wèn)題.

師：請(qǐng)同學(xué)們看問(wèn)題（1）：在5點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？

學(xué)生甲：分針每分鐘旋轉(zhuǎn)1小格；時(shí)針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)1大格（5小格），即每分鐘旋轉(zhuǎn),小格.

12

由于鐘面上每一大格的夾角是30°,每1小格的夾角是6",時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)0.5".20分鐘時(shí)

針旋轉(zhuǎn)了20x0.5°=10°,所以分針于時(shí)針的夾角

a=30"x（5-4）+10"=40".

師：從上面解法可知時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)0.5°分針每分鐘旋轉(zhuǎn)6",我們可以把這個(gè)問(wèn)題看成行

程中的追及問(wèn)題.如果把0時(shí)看成起點(diǎn)，那么到5點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了

0.5"（60x5+20）=160",分針旋轉(zhuǎn)了6"（60x5+20）=1920",由于分針每旋轉(zhuǎn)360"都

與0"重合，使得最后顯示在鐘面上的分針與起點(diǎn)相比，旋轉(zhuǎn)了120",所以分鐘與時(shí)針的夾

角a=160"—120"=40".

師：請(qǐng)同學(xué)們看問(wèn)題（2）,在1點(diǎn)幾分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直？

學(xué)生乙：設(shè)1點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直.

把問(wèn)題（2）看成一個(gè)追及問(wèn)題，把1點(diǎn)看成起點(diǎn).分針、時(shí)針的速度分別是每分鐘6"、0.5".

初始狀態(tài)是時(shí)針先于分針30°,它們同時(shí)行走x分鐘以后，分針先于時(shí)針90",于是有

（6-0.5>=30+90,解得彳=生=212.

1111

學(xué)生丙：時(shí)針落后分針270”時(shí)，兩針也垂直，同樣有（6-0.5）x=30+270,

初始600一6

解得x=---54—.

1111

所以在1點(diǎn)2139分和1點(diǎn)546?分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直.

1111

學(xué)生?。何疫€有一種方法，分針、時(shí)針的速度分別是每分鐘1小格、工小格.在1時(shí)整，時(shí)

12

針先于分針5小格，它們同時(shí)行走x分鐘以后，時(shí)針于分針互相垂直，即分針先于時(shí)針15

小格或45小格，于是得（1一卷■>=20或（1-5Jr=50.

師：好！我們?cè)倏磫?wèn)題（3