2019-2023歷年高考真題分類專題04 導數(shù)及其應用（解答題）（文科）（解析版）

資料收集整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料收集整理【淘寶店鋪：向陽百分百】五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題04導數(shù)及應用（解答題）函數(shù)導數(shù)應用是高考必考知識點，解答題主要是壓軸題的形式出現(xiàn)，常考題型如圖所示：考點01利用導數(shù)求函數(shù)單調性，求參數(shù)一、解答題1．（2023·年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即可得解；（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為的恒成立問題，構造函數(shù)，利用導數(shù)證得即可.方法二：構造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.2．（2023年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，據此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當時，由于，故，在區(qū)間上單調遞減，此時，不合題意;令，則，當，時，由于，所以在區(qū)間上單調遞增，即在區(qū)間上單調遞增，所以，在區(qū)間上單調遞增，，滿足題意.當時，由可得，當時，在區(qū)間上單調遞減，即單調遞減，注意到，故當時，，單調遞減，由于，故當時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.（2）由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．3．（2022年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可得解；（2）求導得，按照、及結合導數(shù)討論函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調性，把函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)的單調性與極值的問題.4．（2022年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)值求出即可；（2）設出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構造函數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.5．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）設函數(shù)，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調性.（2）根據及（1）的單調性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調性可得，故即.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉化中注意等價轉化.6．（2020年全國高考Ⅰ卷（文）數(shù)學試題）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導，分別令導數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調增區(qū)間和減區(qū)間；（2）若有兩個零點，即有兩個解，將其轉化為有兩個解，令，求導研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結果.【詳解】（1）當時，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）若有兩個零點，即有兩個解，從方程可知，不成立，即有兩個解，令，則有，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，而時，，當時，，所以當有兩個解時，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.【點睛】本題考查的是有關應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結合，將問題轉化為曲線和直線有兩個交點，利用過點的曲線的切線斜率，結合圖形求得結果.7．（2020年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據三角形面積公式得結果；（2）方法一：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，當a=1時，由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設,則∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內單調遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當時，恒成立．令，只需證當時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內單調遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構思想將原不等式化成，再根據函數(shù)的單調性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構，可將原不等式化成，再根據函數(shù)的單調性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可．考點02恒成立問題1．（2023年全國新高考Ⅱ卷（文））（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構建，，求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調性，進而可得結果；（2）根據題意結合偶函數(shù)的性質可知只需要研究在上的單調性，求導，分類討論和，結合（1）中的結論放縮，根據極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；構建，則，構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，即對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當時，，則在上單調遞增，結合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當時，取，則，由（1）可得，構建，則，且，則對恒成立，可知在上單調遞增，且，所以在內存在唯一的零點，當時，則，且，則，即當時，，則在上單調遞減，結合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：1.當時，利用，換元放縮；2.當時，利用，換元放縮.2．（2020年全國高考Ⅱ卷（文）數(shù)學試題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據三角形面積公式得結果；（2）方法一：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，當a=1時，由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設,則∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內單調遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當時，恒成立．令，只需證當時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內單調遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構思想將原不等式化成，再根據函數(shù)的單調性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構，可將原不等式化成，再根據函數(shù)的單調性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可．3．（2019·全國Ⅰ卷數(shù)學試題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求導得到導函數(shù)后，設為進行再次求導，可判斷出當時，，當時，，從而得到單調性，由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置，證得結論；（2）構造函數(shù)，通過二次求導可判斷出，；分別在，，和的情況下根據導函數(shù)的符號判斷單調性，從而確定恒成立時的取值范圍.【詳解】（1）令，則當時，令，解得：當時，；當時，在上單調遞增；在上單調遞減又，，即當時，，此時無零點，即無零點

，使得又在上單調遞減

為，即在上的唯一零點綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調遞增；在上單調遞減且，，，①當時，，即在上恒成立在上單調遞增，即，此時恒成立②當時，，，，使得在上單調遞增，在上單調遞減又，在上恒成立，即恒成立③當時，，，使得在上單調遞減，在上單調遞增時，，可知不恒成立④當時，在上單調遞減

可知不恒成立綜上所述：【點睛】本題考查利用導數(shù)討論函數(shù)零點個數(shù)、根據恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構造函數(shù)的方式，將問題轉變成函數(shù)最值與零之間的比較，進而通過導函數(shù)的正負來確定所構造函數(shù)的單調性，從而得到最值.4．（2019年全國高考Ⅱ卷（文））已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）先對函數(shù)求導，根據導函數(shù)的單調性，得到存在唯一，使得，進而可得判斷函數(shù)的單調性，即可確定其極值點個數(shù)，證明出結論成立；（2）先由（1）的結果，得到，，得到在內存在唯一實根，記作，再求出，即可結合題意，說明結論成立.【詳解】（1）由題意可得，的定義域為，由，得，顯然單調遞增；又，，故存在唯一，使得；又當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；因此，存在唯一的極值點；（2）[方法一]【利用對稱性轉化為研究兩個函數(shù)根的問題】的根的情況問題可轉化為函數(shù)與的圖像在區(qū)間內的交點情況．．當時，在區(qū)間內單調遞增；又因為，所以當時，，則時，單調遞減；當時，，則當時，單調遞增．又，所以函數(shù)與的圖像，如圖8所示，只有兩個交點，橫坐標分別為和，且，即和為的兩個實根．又因為，當時，，由于，所以，即，所以兩個實根互為倒數(shù)．[方法二]【分類討論】由（1）知，．又，所以有且僅有兩個實根，可令．下面證明，由，得，顯然有，．（*）（1）當時，，（*）式不成立；（2）當時，，（*）式不成立；（3）當時，，（*）式成立．綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)．[方法三]【利用函數(shù)的單調性結合零點存在定理】的定義域為，顯然不是方程的根，所以有兩個實根等價于有兩個零點，且定義域為．而，所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞增．當時，，，所以在區(qū)間內有唯一零點，即，所以．結合單調性知在區(qū)間內有唯一零點，所以有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù)，即有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)．【整體點評】(2)方法一：對稱性是函數(shù)的重要性質，利用函數(shù)的對稱性研究函數(shù)體現(xiàn)了整體思想；方法二：分類討論是最常規(guī)的思想，是處理導數(shù)問題最常規(guī)的手段；方法三：函數(shù)的單調性和零點存在定理的綜合運用使得問題簡單化.考點03三角函數(shù)相關導數(shù)問題2022年8月11日高中數(shù)學作業(yè)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、解答題1．（2023·全國甲卷）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調遞減(2)【分析】（1）代入后，再對求導，同時利用三角函數(shù)的平方關系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；（2）法一：構造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調遞減.（2）法一：構建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點睛】關鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.2．（2023·全國新課標Ⅱ卷）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構建，，求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調性，進而可得結果；（2）根據題意結合偶函數(shù)的性質可知只需要研究在上的單調性，求導，分類討論和，結合（1）中的結論放縮，根據極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；構建，則，構建，則對恒成立，則在上單調遞增，可得，即對恒成立，則在上單調遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當時，，則在上單調遞增，結合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當時，取，則，由（1）可得，構建，則，且，則對恒成立，可知在上單調遞增，且，所以在內存在唯一的零點，當時，則，且，則，即當時，，則在上單調遞減，結合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：1.當時，利用，換元放縮；2.當時，利用，換元放縮.3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點，（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當時，曲線和有公共點即為在上有零點，求導后分類討論結合零點存在定理可求.（ii）曲線和有公共點即，利用點到直線的距離得到，利用導數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點處的切線方程為即.（2）（i）當時，因為曲線和有公共點，故有解，設，故，故在上有解，設，故在上有零點，而，若，則恒成立，此時在上無零點，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無零點，故，設，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點，且時，；時，；故時，；時，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為在上有零點，故，故，而，故即，設，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因為曲線和有公共點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，故，所以，下證：對任意，總有，證明：當時，有，故成立.當時，即證，設，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當時，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下零點問題，注意利用函數(shù)的單調性結合零點存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構建不等式關系，再利用分析法來證明目標不等式.4．（2021年全國高考Ⅰ卷數(shù)學試題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求導得到導函數(shù)后，設為進行再次求導，可判斷出當時，，當時，，從而得到單調性，由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置，證得結論；（2）構造函數(shù)，通過二次求導可判斷出，；分別在，，和的情況下根據導函數(shù)的符號判斷單調性，從而確定恒成立時的取值范圍.【詳解】（1）令，則當時，令，解得：當時，；當時，在上單調遞增；在上單調遞減又，，即當時，，此時無零點，即無零點

，使得又在上單調遞減

為，即在上的唯一零點綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調遞增；在上單調遞減且，，，①當時，，即在上恒成立在上單調遞增，即，此時恒成立②當時，，，，使得在上單調遞增，在上單調遞減又，在上恒成立，即恒成立③當時，，，使得在上單調遞減，在上單調遞增時，，可知不恒成立④當時，在上單調遞減

可知不恒成立綜上所述：【點睛】本題考查利用導數(shù)討論函數(shù)零點個數(shù)、根據恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構造函數(shù)的方式，將問題轉變成函數(shù)最值與零之間的比較，進而通過導函數(shù)的正負來確定所構造函數(shù)的單調性，從而得到最值.考點04導數(shù)類綜合問題一、解答題1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的單調區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】（1）先對求導，利用導數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調區(qū)間；（3）結合（2）中結論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，即的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；所以在上有一個極小值點；當時，，所以，則單調遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關鍵點睛：本題第3小題的解題關鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調性，尋找特殊點判斷即可得解.2．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當時，證明：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求斜率；（2）問題化為時，構造，利用導數(shù)研究單調性，即可證結論；（3）構造，，作差法研究函數(shù)單調性可得，再構造且，應用導數(shù)研究其單調性得到恒成立，對作放縮處理，結合累加得到，即可證結論.【詳解】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時.（3）設，，則，由（2）知：，則，所以，故在上遞減，故；下證，令且，則，當時，遞增，當時，遞減，所以，故在上恒成立，則，所以，，…，，累加得：，而，因為，所以，則，所以，故；綜上，，即.【點睛】關鍵點點睛：第三問，作差法研究單調性證右側不等關系，再構造且，導數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結合放縮、累加得到為關鍵.3．（2022年全國新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據導數(shù)可得函數(shù)的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據（1）可得當時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關系，根據存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當，由（1）討論可得、僅有一個解，當時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個零點，且：當時，即即，當時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調遞減，在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；③時，首先，證明與曲線有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為其次，證明與曲線和有2個交點，即證明有2個零點，，所以上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為再次，證明存在b，使得因為，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點，因為，，所以在上存在零點，取一零點為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列，因為所以，又因為在上單調遞減，，即，所以，同理，因為，又因為在上單調遞增，即，，所以，又因為，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.4．（2022·全國新高考Ⅱ卷（文））已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調性；(3)證明：對任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調遞增.(3)證明見解析【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結論可知在[0,+∞）上單調遞增，即得證.【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調遞增，∴，∴∴在上單調遞增，又因為，∴，所以命題得證.6．（2021·全國乙卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性；(2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導函數(shù)的判別式，當時，在R上單調遞增，當時，的解為：，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增；綜上可得：當時，在R上單調遞增，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調性研究中對導函數(shù)，要依據其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.7．（2021年全國高考Ⅱ卷（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；(2)由題意結合(1)中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當時，構造函數(shù)，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．8．（2020·全國高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調性．【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調遞減，沒有遞增區(qū)間【分析】（1）[方法三]不等式轉化為，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進而進行求解即可；（2）對函數(shù)求導，把導函數(shù)的分子構成一個新函數(shù)，再求導得到，根據的正負，判斷的單調性，進而確定的正負性，最后求出函數(shù)的單調性.【詳解】（1）[方法一]【最優(yōu)解】：等價于．設，則．當時，，所以在區(qū)間內單調遞增；當時，，所以在區(qū)間內單調遞減．故，所以，即，所以c的取值范圍是．[方法二]：切線放縮若，即，即當時恒成立，而在點處的切線為，從