2019-2023歷年高考真題分類專題12 數(shù)列（解析版）

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題11數(shù)列數(shù)列作為高考必考題，高考題型一般作為1小1大或者是2小1大模式。主要考點(diǎn)：考點(diǎn)01數(shù)列概念及通項(xiàng)考點(diǎn)02等差等比數(shù)列應(yīng)用考點(diǎn)03數(shù)列求和考點(diǎn)04數(shù)列情景類問(wèn)題考點(diǎn)05數(shù)列新定義問(wèn)題考點(diǎn)06數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問(wèn)題考點(diǎn)01數(shù)列概念及通項(xiàng)一選擇題1．(2021年高考浙江卷·第10題)已知數(shù)列滿足．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即．故選A．二、填空題1．(2022高考北京卷·第15題)己知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】①③④【解析】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)?，解得，①?duì)；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不等比數(shù)列，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對(duì)；假設(shè)對(duì)任意，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì)．故答案為：①③④．考點(diǎn)02等差等比數(shù)列應(yīng)用一選擇題1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，．故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為．故選：B．2．(2019·全國(guó)Ⅰ·理·第9題)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，，則 ()A．B．C．D．【答案】A解析：，所以，故選A．3．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為 ()A．3 B．18 C．54 D．152【答案】C解析：由題意可得：當(dāng)時(shí)，，即，①當(dāng)時(shí)，，即，②聯(lián)立①②可得，則．故選：C．2．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 ()．A．120 B．85 C． D．【答案】C解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．4．(2023年全國(guó)甲卷理科·第5題)設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則 ()A． B． C．15 D．40【答案】C解析：由題知,即,即,即．由題知,所以．所以．故選:C．5．(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則 ()A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以．故選：D．6．(2019·全國(guó)Ⅲ·理·第5題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則 ()A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則，解得，，故選C．另解：數(shù)感好的話由，立即會(huì)想到數(shù)列：，檢驗(yàn)是否滿足，可以迅速得出．二、填空題1．(2019·全國(guó)Ⅲ·理·第14題)記為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________．【答案】4．【解析】因，所以，即，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．2．(2019·江蘇·第8題)已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是.【答案】16【解析】由，得，從而，即，解得，所以.3．(2019·北京·理·第10題)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．【答案】(1)0；(2)-10．【解析】等差數(shù)列中，，得，則公差，∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，大于0，所以的最小值為或，值為．3．(2023年全國(guó)乙卷理科·第15題)已知為等比數(shù)列，，，則______．【答案】解析：設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)椋瑒t，則，則，則，故答案為：．4．(2019·全國(guó)Ⅰ·理·第14題)記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則．【答案】解析：由，得，所以，又因?yàn)椋裕?．(2020江蘇高考·第11題)設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值是_______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知，故．故答案為：考點(diǎn)03數(shù)列求和一選擇題1．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C解析：在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題．二、填空題1．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第11題)已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．【答案】10解析：因?yàn)?，所以．即?．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第15題)將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【答案】解析：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：．3．(2019·上海·第8題)已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足，則______.【答案】【解析】由得：()【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列求和，的遞推式．∴為等比數(shù)列，且，，∴.三解答題：1．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第18題)已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見解析．解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．(2)方法1：由(1)知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，．方法2：由(1)知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，．2．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前20項(xiàng)和．【答案】；．【解析】(1)由題設(shè)可得又，，故即即所以為等差數(shù)列，故．(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，所以?．(2019·全國(guó)Ⅱ·理·第19題)已知數(shù)列和滿足，，，．證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；求和的通項(xiàng)公式．【答案】見解析；，.【官方解析】由題設(shè)得，即．又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．由知，，．所以，．【分析】可通過(guò)題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；可通過(guò)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.【解析】由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，因?yàn)?，所以，?shù)列是首項(xiàng)、公差為等差數(shù)列，.由可知，，，所以，.4．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第19題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析；(2)．解析：(1)由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;(2)由(1)可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴．5．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·第20題)設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)解析：(1)，，解得，，又，，即，解得或(舍去)，．(2)為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或(舍去)當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，．6．(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】(1)解：因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．(2)解：由(1)可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．7．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第17題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的n的最小值．【答案】【解析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為．8（2023年全國(guó)乙卷）1．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.9．(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷（山東）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．解析：(1)由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)．所以．10．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求通項(xiàng)公式；(2)求．【答案】(1)；(2)解析：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．(2)由于：，故：．11．(2023年全國(guó)甲卷理科·第17題)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)解析：(1)因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．(2)因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．12.(2020天津高考·第19題)已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記的前項(xiàng)和為，求證：；(Ⅲ)對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得．從而的通項(xiàng)公式為．由，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為．(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以．(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：．因此，．所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為．考點(diǎn)04數(shù)列情景類題目一、選擇題1．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第0題)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石) () ()A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C解析：設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以．故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題．2．(2022新高考全國(guó)II卷·第3題)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則 () ()A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9【答案】D解析：設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故．故選D．3．(2021高考北京·第6題)《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C解析：由題意，五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，，可得，可得，又由長(zhǎng)與寬之比都相等，且，可得，所以．故選：C．二、填空題1．(2023年北京卷·第14題)我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項(xiàng)的和為____________．【答案】①．48②．384解析：方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)?，則；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以．故答案為：48；384．2．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______．【答案】5【解析】(1)對(duì)折次可得到如下規(guī)格：，，，，，共種；(2)由題意可得，，，，，，設(shè)，則，兩式作差得，因此，,故答案為；．考點(diǎn)05數(shù)列新定義問(wèn)題1．(2023年北京卷·第21題)已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù)．(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【答案】(1)，，，(2)(3)證明見詳解解析：(1)由題意可知：，當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：，，，．(2)由題意可知：，且，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，又因?yàn)?，則，即，可得，反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，則，又因?yàn)?，則，假設(shè)不成立，故，即數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．(3)(ⅰ)若，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)?，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，使得?ⅱ)若，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有．①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)?，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，使得；綜上所述：存在使得．2．(2019·上?！さ?1題)數(shù)列有項(xiàng)，，對(duì)任意，存在，若與前項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱具有性質(zhì).(1)若，求可能的值；(2)若不為等差數(shù)列，求證：中存在滿足性質(zhì)；(3)若中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)，這三項(xiàng)和為，使用表示.【答案】(1)3,5,7；(2);(3)【解析】(1)由題意，①若具有性質(zhì)，則②若具有性質(zhì)而不具有性質(zhì)，則即；③若不具有性質(zhì)，則必有即；此時(shí)若具有性質(zhì)，則；若不具有性質(zhì)，則綜上所述，可能的值為3、5、7假設(shè)中不存在滿足性質(zhì)的項(xiàng)，即對(duì)任意均有；下面數(shù)學(xué)歸納法證明，是等差數(shù)列；①當(dāng)時(shí)，成立；②設(shè)當(dāng)且時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴痪哂行再|(zhì)，故而又存在故，，即；綜上所述，當(dāng)中不存在滿足性質(zhì)的項(xiàng)時(shí)，時(shí)等差數(shù)列成立；故其逆否命題：當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，中存在滿足性質(zhì)的項(xiàng)成立.由題意，不妨設(shè)這三項(xiàng)為，其中;且故數(shù)列為等差數(shù)列；為等差數(shù)列；為等差數(shù)列，為等差數(shù)列；若存在或或的情況則去掉相應(yīng)的、、每組等差數(shù)列的公差均為；且、、故當(dāng)數(shù)列去掉這三項(xiàng)后，構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為，項(xiàng)數(shù)97項(xiàng)的等差數(shù)列；故這97項(xiàng)的和；故這100個(gè)數(shù)的和3．(2019·江蘇·第20題)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“－數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列滿足：，求證:數(shù)列為“－數(shù)列”；(2)已知數(shù)列{bn}滿足:，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和．①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②設(shè)為正整數(shù)，若存在“－數(shù)列”，對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，求的最大值．【答案】見解析【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.(2)①因?yàn)?，所以由得，則由，得當(dāng)時(shí)，由，得整理得．所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.②由①知，，.因?yàn)閿?shù)列為“–數(shù)列”，設(shè)公比為，所以，.因?yàn)椋?，其?當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．設(shè)f(x)=，則．令，得.列表如下：x(1，e)e(e，+∞)+0–f(x)極大值因?yàn)?，所以．取，?dāng)時(shí)，，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立．因此所求的最大值不小于5．若，分別取，得，且，從而，且，所以不存在.因此所求的最大值小于6.4．(2019·北京·理·第20題)已知數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第項(xiàng)(<<…<)，若，則稱新數(shù)列為的長(zhǎng)度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長(zhǎng)度為1的遞增子列．(Ⅰ)寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；(Ⅱ)已知數(shù)列的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．若p＜q，求證：＜；(Ⅲ)設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若的長(zhǎng)度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，且長(zhǎng)度為末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)()，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】(Ⅰ)滿足題意的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列為：1，3，5，6．(Ⅱ)對(duì)于每一個(gè)長(zhǎng)度為的遞增子列，都能從其中找到若干個(gè)長(zhǎng)度為的遞增子列，此時(shí)，設(shè)所有長(zhǎng)度為的子列的末項(xiàng)分別為：，所有長(zhǎng)度為的子列的末項(xiàng)分別為：，則，注意到長(zhǎng)度為的子列可能無(wú)法進(jìn)一步找到長(zhǎng)度為的子列，故，據(jù)此可得：．(Ⅲ)滿足題意的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是，下面說(shuō)明此數(shù)列滿足題意．很明顯數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列，且各項(xiàng)均為正整數(shù)，任意兩項(xiàng)均不相等．長(zhǎng)度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明長(zhǎng)度為末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)：當(dāng)時(shí)命題顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即長(zhǎng)度為末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)，則當(dāng)時(shí)，對(duì)于時(shí)得到的每一個(gè)子列，可構(gòu)造：和兩個(gè)滿足題意的遞增子列，則長(zhǎng)度為k+1末項(xiàng)為2k+1的遞增子列恰有個(gè)，綜上可得，數(shù)列是一個(gè)滿足題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式．注：當(dāng)時(shí)，所有滿足題意的數(shù)列為：，當(dāng)時(shí)，數(shù)列對(duì)應(yīng)的兩個(gè)遞增子列為：和．考點(diǎn)06數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問(wèn)題一、選擇題1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則 ()A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B解析：法1：因?yàn)?，故，?duì)于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對(duì)部分成立，故A不成立．對(duì)于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立．而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：B．法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對(duì)于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏希?，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)椋?，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：B．2．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是 ()A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D解析：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D3．(2022高考北京卷·第6題)設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù)．若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列．所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”．所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件．故選,C．4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期．對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是 ()A． B． C． D．【答案】C解析：由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題．5．(2023年全國(guó)乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則 ()A．－1 B． C．0 D．【答案】B解析：依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，．故選：B二解答題1．(2023年天津卷·第19題)已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為．解析：(1)由題意可得，解得，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求和得．(2)(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時(shí)，，取，則，即，當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，據(jù)此可得，綜上可得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，據(jù)此猜測(cè)，否則，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無(wú)法保證，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無(wú)法保證，綜上，數(shù)列的公比為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為：．2．(2022新高考全國(guó)I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；(2)∴3．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第17題)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,其中為常數(shù)．(1)證明:;(2)是否存在,使得為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由．【答案】【解析】(1)由題設(shè),,兩式相減

,由于,所以．

(2)由題設(shè),,可得,由(1)知

假設(shè)為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列,∴,解得;

證明時(shí),為等差數(shù)列:由知

數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列

令則,∴

數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列

令則,∴

∴(),

因此,存在存在,使得為等差數(shù)列．

4．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第20題)已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】(I)；(II)證明見解析．解析：(I)依題意，而，即，由于，所以解得，所以．所以，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．所以()．所以(II)依題意設(shè)，由于，所以，故．所以．由于，所以，所以．即，．5（2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．6．(2022高考北京卷·第21題)已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？