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考研數(shù)學二分類模擬207一、選擇題1.
設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù),區(qū)域D={(x,y)|x2+y2≤2y},則
A.
B.
C.
D.正確答案:D[解析]積分區(qū)域D={(x,y)|x2+y2≤2y}(如圖)。在直角坐標系下,有
故排除A、B兩個選項。
在極坐標系下有
故選D。
2.
設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù),則二次積分
A.
B.
C.
D.正確答案:B[解析]由題設(shè)可知,,sinx≤y≤1,可轉(zhuǎn)化為0≤y≤1,π-arcsiny≤x≤π。故選B。
注意,當時,y=sinx的反函數(shù)是x=π-arcsiny。
3.
累次積分可寫成______
A.
B.
C.
D.正確答案:C[解析]原積分域為直線y=x,x+y=2與y軸圍成的三角形區(qū)域。故選C。
4.
設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù),則
A.
B.
C.
D.正確答案:C[解析]的積分區(qū)域為兩部分(如圖)
D1={(x,y)|1≤x≤2,x≤y≤2},
D2={(x,y)|1≤y≤2,y≤x≤4-y},
將其寫成一個積分區(qū)域為D={(x,y)|1≤y≤2,1≤x≤4-y}。
所以二重積分可以表示為故選C。
5.
設(shè)D是第一象限由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,圍成的平面區(qū)域,函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù),則
A.
B.
C.
D.正確答案:B[解析]先作出積分區(qū)域的圖形,如圖所示:
可知θ的取值范圍為,r的取值范圍為,另外需要注意極坐標和直角坐標之間的變換公式為dxdy=rdθdr。故選B。
本題在極坐標下,計算第一象限內(nèi)的積分時,r的取值范圍應(yīng)該是從4xy=1到直線2xy=1上,將這兩條曲線的方程分別化為極坐標可得4r2sinθcosθ=1和2r2sinθcosθ=1,解得,所以積分下限是,積分上限是。
6.
設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),若其中區(qū)域Duv為圖中陰影部分,則
A.vf(u2)
B.
C.vf(u)
D.正確答案:A[解析]題干圖形中所示區(qū)域用極坐標表示為
0≤θ≤v,1≤r≤u。
因此可知
根據(jù)變限積分求導可得故選A。
7.
設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),則F'(2)=______A.2f(2)B.f(2)C.-f(2)D.0正確答案:B[解析]交換累次積分的積分次序,得
于是F'(t)=(t-1)f(t),從而F'(2)=f(2)。故選B。
8.
A.1
B.
C.
D.e-1正確答案:B[解析]積分區(qū)域如圖所示
交換積分次序
故選B。
二、填空題1.
正確答案:[解析]積分區(qū)域如圖,則
2.
交換積分次序正確答案:[解析]由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖)-1≤y≤0,1-y≤x≤2。則有
交換積分次序
3.
正確答案:1-sin1[解析]積分區(qū)域D如圖所示,則有
4.
交換積分次序正確答案:[解析]由題干可知,積分區(qū)域如圖所示,則有
5.
設(shè)f(x),g(x)是連續(xù)函數(shù),正確答案:[解析]因為于是
從而有
6.
將化為極坐標下的二次積分為______。正確答案:[解析]如圖所示,則有
7.
已知極坐標系下的累次積分其中a>0為常數(shù),則I在直角坐標系下可表示為______。正確答案:[解析]先將I表示成用D的極坐標表示
因此可知區(qū)域如圖所示。
如果按照先y后x的積分次序,則有
因此可得
三、解答題1.
計算二重積分其中D是由x軸,y軸與曲線所圍成的區(qū)域,a>0,b>0。正確答案:解:積分區(qū)域D如圖的陰影部分所示。
因此
令有x=a(1-t)2,dx=-2a(1-t)dt,故
2.
計算其中D:x2+y2≤2x。正確答案:解:由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱,3exsiny關(guān)于y為奇函數(shù),故
對該積分利用極坐標進行計算可得
3.
計算二重積分其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成。正確答案:解:由題意
令u=cosθ得,原式=
4.
計算二重積分其中
正確答案:解:將極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標,可得積分區(qū)域如圖所示。
D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x},
則有
利用換元法,記x=sint,則上式
5.
求二重積分其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}。正確答案:解:本題所示的積分區(qū)域是
D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}。
由(x-1)2+(y-1)2≤2,得r≤2(sinθ+cosθ),
[解析]適合用極坐標計算的二重積分:區(qū)域上,一般為圓域或是與圓相關(guān);函數(shù)上,一般形如f(x2+y2)或至少含有x2+y2。若上述兩個條件都滿足,則必然要使用極坐標進行計算;如果僅滿足一個,原則上直角坐標和極坐標都可以使用,但從考試的要求來看,一般還是推薦使用極坐標。
6.
求二重積分其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。正確答案:解:積分區(qū)域D如圖所示,D的極坐標表示是0≤θ≤π,0≤r≤2(1+cosθ),因此
7.
計算其中D={(x,y)|0≤y≤min{x,1-x}}。正確答案:解:積分區(qū)域如圖所示,在極坐標中
8.
正確答案:解:設(shè)有
因此
9.
計算二重積分其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}。正確答案:解:D是正方形區(qū)域(如圖)。因在D上被積函數(shù)可表示為
于是要用分塊積分法,用y=x將D分成兩塊:
D=D1∪D2,D1=D∩{y≤x},
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